永州市2019年高考第一次模拟考试文数试卷

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷

数学（文科）

命题人：席俊雄（东安一中） 陈全伟（东安一中）

李 毅（永州一中） 池德良（蓝山二中）

审题人：蒋 健（市教科院） 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,1}A =-，{1,2}B =-，则A

B =

A ．{1}-

B ．{1,2}

C ．{1,1,2}-

D ．{1,1,1,2}--

2．若复数()i a i z ?+=（a R ∈,i 为虚数单位）的虚部为2，则a =

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．1

3．抛物线24y x =的准线方程为

A ．1x =-

B ．1y =-

C ．2x =-

D ．2y =-

4．在等差数列{}n a 中，若158a +a =，则3a =

A ．5-

B ．2-

C ．1

D ．4 5．已知两线性相关变量x 和y 之间的几组数据如下表：

若根据上表数据所得线性回归方程为?0.1y

x m =+，则m = A ．2.5

B. 3.4

C ．4.7 D. 7.9

6．双曲线22

149

x y -=的渐近线方程为 A ．32y x =±

B ．23y x =± C. 94

y x =±

D. 4

9

y x =±

7．若锐角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos =

θ

A

． B

C. D.

8．已知函数32()36f x x x ax =+++，若2x =-是()f x 的极值点，则a 等于

A. 0

B. 1

C. 2 D ．3

9．函数()y f x =是R 上的奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若()()1f m f ≥，则实数m 的取值范围是

A ．1m ≤-

B ．11m -≤≤

C ．1m ≤

D ．1m ≤-或1m ≥ 10．Rt ABC ?中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体

的侧面积为 A ．10π

B ．20π

C ．30π

D ．40π

11．某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形为全等的等腰直角三角形，若该棱锥的体

积等于4

3

，则图中等腰直角三角形的直角边长为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．设函数2

2,1

()log 1x x f x x, x >?≤=??，()()2g x f x x a =++. 若()g x 存在两

个零点，则a 的取值范围是

A.(],4-∞

B. (]2,4

C. [)4,-+∞

D.

[)4,2--

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量(2,3)a =-r ，(,2)b x =-r

，若a b ⊥r r ，则实数x 的值为 .

14．若实数x ，y 满足001x y x y ≥??

≥??+≤?

，则2z y x =-的最小值为 ．

15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11

2

a =-

，若423S S =，则24a a ?= . 16．用一个边长为8的正三角形硬纸片ABC ，沿着各边中点

连线,,EF FG GE 翻折成如图所示的“支架”，使点,,A B C 分别到达点111,,A B C 的位置，平面111,,A EG B EF C GF 都与平面ABC 垂直. 现将半径为2

的小球放在“支架”上（点

正视图 侧视图

俯视图

（第10题图）

（第16题图）

111,,A B C 都在球面上）

，则球心O 与平面ABC 的距离为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17

题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分. 17．（本题满分12分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

222a b c ab +-=.

（1）求角C 的大小；

（2）已知4a =

，c =，求ABC ?的面积.

18．（本题满分12分）如图 ，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，

2BC =

，CD =

，PA =

AC =BD 是线段AC 的中垂线，BD

AC O =，G 为线段PC 上的

点.

（1）证明：平面BDG ⊥平面PAC ；

（2）若G 为PC 的中点，求四面体G BCD -的体积.

19．（本题满分12分）为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加

比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其

中成绩的分组区间为[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100. （1）求频率分布直方图中m 的值；

（2）在所抽取的1000名学生中，用分层抽样的方法在成绩为[]80,100的学生中抽取

了一个容量为5的样本，再从该样本中任意抽取2人，求2人的成绩均在区间

[]90,100内的概率；

（3）若该市有10000名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间[]

90,100内的人数.

（第18题图） O D

C G

A

P

B

m

20．（本题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率2

2

=

e ，短轴长

为.

（1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆C 的弦AP 、AQ 的中点分别为M 、N ，且点A 的坐标为)1,2(，若直线MN

的斜率为1，求证：直线AQ AP ,的斜率之和为定值.

21．（本题满分12分）已知函数2

()ln f x ax x =+.

（1）求()f x 的单调区间；

（2）设()()g x xf x =，当12,(0,)x x ?∈+∞，且12x x >时，有

1212

()()

2g x g x x x -<-，求

实数a 的取值范围.

（二）选考题：10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做第一题计分. 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A

的极坐标为)4

,

2(π

，曲线1C 的极坐标方程为a =-

)4

cos(π

θρ，且曲线1C 过点A ，

曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2-=. （1）求a 的值及曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线2C 上的点到曲线1C 的距离的最大值.

23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()1f x x =+.

（1）解不等式：()2f x x ≤；

（2）若不等式()2f x x a --≥的解集为非空集合，求实数a 的取值范围.

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷

数 学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的

横线上. 13．3- 14．2- 15．1或

1

4

16+ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：（1）222a b c ab +-=，

2221

cos 22

a b c C ab +-∴==， ………………………………………………………3分

(0,)C ∈π，3C ∴=

π

……………………………………………………………5分

（2）由正弦定理得sin sin A C

a c

=

即sin sin 41C

A a c =?==，

(0,)A ∈π，2

A ∴=

π

………………………………………………………8分

2b ∴, ………………………………………………………10分

11

222

ABC S bc ∴==??=?……………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）BD 是线段AC 的中垂线，

O ∴是AC 的中点，BD AC ⊥. PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，

BD ∴⊥平面PAC ，………………………………………………………………4分 又 BDG BD 平面?，

∴平面BDG ⊥平面PAC .………………………………………………………6分 （2）连接GO ，

G 为PC 的中点， O 是AC 的中点，

G

P

∴PA GO //，

∴GO ⊥平面BCD ，且2

3

21=

=

PA GO ，………8分

2AC CO =∴=

由题意知AC

BD ⊥，

3BD BO DO =+

∴2

3

3332121=

??=?=

?CO BD S BCD ， …………………………………10分

113

334

BCD BCD V GO S ?-∴=?==四面体G .…………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）依题意可知组距为10，

由(0.0250.050.01)101m +++?=解得0.015m = .…………………………3分 （2）抽取了一个容量为5的样本成绩在区间[)80,90的人数为：

0.15

530.150.1

?

=+人，记3人为a 、b 、c .

成绩在区间[)80,90的人数为：0.1

520.150.1

?

=+人，记2人为d 、e .……5分 任取2人的基本事件为：

ab 、ac 、ad 、ae 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，共计10个. 其中在区间[]90,100的基本事件为：de ，共计1个 …………………………7分

所以2人的成绩均在区间[]90,100的概率为：1

10

.……………………………9分 （3）由100000.01101000??=人， 即估计成绩在区间[]90,100的人数为1000人. …………………………12分

20.（本小题满分12分） 解：（1）依题意：2

2==

a c e ，得222a c =，

………………………………………2分 由2222222b a c a b c ?=?

=??=+?

得226,3a b ==， ………………………………………………4分 所以椭圆C 的方程为：13

62

2=+y x ……………………………………………5分

（2）设点),(),,(2211y x Q y x P ，

依题意可设直线PQ 的方程为t x y +=，代入椭圆方程并化简得：

0624322=-++t tx x ，

则1243

t

x x +=-，212263t x x -= ………………………………………………8分

∴2

1

21212122112211--++

--+=--+--=

+x t x x t x x y x y k k PB PA 12121212(3)()244

2()4

t x x x x t x x x x -++-+=

-++ ……………………………………10分

224412

(3)()44

3304262433

t t t t t t ---+-+==---?+ 所以直线AQ AP ,的斜率之和为定值0 .…………………………………………12分 21．（本小题满分12分）

解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2121

2ax f x ax x x

+'=+=， ……………………1分

当0a ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增. ………………3分

当0a <时，由(

)0f x x '>?<(

)0f x x '

在? ?

上单调递增，在?+∞???上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；

当0a <时，()f x

在? ?

上单调递增，在?+∞???

上单调递减. …5分

（2）

120x x >>，不等式

1212

()()

2g x g x x x -<-恒成立，

∴1212

()()22g x g x x x -<-，即1122()2()2g x x g x x -<-恒成立， ()()2F x g x x ∴=-在()0,+∞上单调递减， ………………………………7分 ()0F x '∴≤在()0,+∞上恒成立.

()3l n

2F x a x x x x

=+-， ()23ln 10F x ax x '∴=+-≤，即2

1ln 3x

a x

-≤

在()0,+∞上恒成立. …………9分 令()21ln x h x x -=，则()3

2ln 3

x h x x -'=， 当32

0,x e ??∈ ???时，()0h x '<，()h x ∴在320,e ?? ???

上单调递减，

当32,x e ??∈+∞ ???时，()0h x '>，()h x ∴在3

2,e ??

+∞ ???上单调递增，

()332max 1

2h x h e e -??∴==- ???

， ……………………………………………………11分

3311

326

a e a e --∴≤-?≤-，

故a 的取值范围是31,6e ?

?-∞- ??

?. …………………………………………………12分

22.（本小题满分10分）

解：（1）将点A 的极坐标为)4

,

2(π

代入1C 的极坐标方程a =-

)4

cos(π

θρ，

得2=

a ……………………………………………………………………………2分

曲线2C ：θρcos 2-=化为直角坐标方程为：1)1(22=++y x ，……………5分

（2）由（1）可得1C ：2)4

cos(=-π

θρ化为直角坐标方程为：2=+y x ，

∴曲线1C 为直线. …………………………………………………………………6分

由（1）知曲线2C 为圆，且圆心为()1,0-，半径为1，

曲线2C 的圆心()1,0-到直线1C 的距离为：

22

32

3==

d ， …………………………………………………………………8分 ∴曲线2C 上的点到曲线1C 的距离的最大值为：22

31+ .……………………10分 23.（本小题满分10分）

解：（1）()2f x x ≤? 101212x x x x x +≥?+≤??+≤?或10

(1)2x x x +

…………………3分

1x ?≥，∴()2f x x ≤的解集为{}1x x ≥. ……………………………………5分

（2）()212f x x a x x a --≥?+--≥

()()12123

x x x x +--≤+--

= ……………………………………………8分 3a ∴≤ …………………………………………………………………………10分 （注：此问用零点分区间法求12x x +--的最大值，同等给分）