在数学概念教学中有效渗透形式化思想

在数学概念教学中有效渗透形式化思想

——高年级数学概念教学有感

【内容提要】在高年级数学中，有很多公式或数量关系的概念教学，要学生对这些公式或数量关系在解决问题中用得灵活，我们就要在适时、适当、适应原则下培养数学形式化思想。如何做到“有效”渗透，笔者以高年级概念教学为例，在“语言表达”、“逐步抽象”、“知识迁移”、“变题训练”中谈谈自己的具体做法。

【关键词】概念教学形式化思想有效

【研究背景】

这个学期，我们数学科组的教研小专题是“概念教学”，在高年级数学中，有很多公式或数量关系的概念教学，这些公式或数量关系是基于数学问题情境的进一步抽象和一般化，学生在这过程中不断概括、迁移，是数学思维、探索、理解的基本途径，也是学生构建更高一层数学概念的基本方式。要学生对这些公式或数量关系在解决问题中用得灵活，我们就要在适时、适当、适应原则下培养数学形式化思想。

【正文】

数学的形式化思想从通俗的角度来说首先是一种意识，一种用语言去表达数学问题、概念、命题、结构本身，使得计算、推理、迁移等数学行为成为可能的一种基本的思考方向；其次是一种方法，这种方法在意识的指导下建立新的数学模型，实现数学化地解决问题，极大地提高解题效率；再次是一种过程，随着学习的不断深入，数学形式化程度越来越高，也就是在不同阶段，数学形式化思想有不同的表现形式，至少是一定层次上的数学化。

如何在概念教学中有效渗透基本思想，结合自己的教学实践，对“形式化”思想的渗透特别深刻。现结合高年级概念教学为例，探讨有效渗透数学形式化思想的方法和策略。

一、在“语言表达”中渗透形式化思想

留心观察一下我们的数学课堂教学,不难发现,学生普遍存在着愿意做题而不愿说理,或能解题却说不出所以然的现象。从思维与语言的关系看,思维的模糊、不清楚很大程度上阻碍了学生语言表达能力的提高；反过来,语言表达能力的欠缺亦严重阻碍了学生思维能力的培养。因此,在数学课堂教学中对学生进行说话的训练是非常有必要的。又因为数学语言是简洁而严谨的，所以数学的说话经常是有模式可套的，学生在说的过程中潜移默化地运用了形式化思想。

比如在教学《因数和倍数》两个概念时我们由2×6=12这一乘法算式导入，教师可以直接概括性地说：“因为2×6=12，所以我们说2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数”。这样就自然地引出了因数和倍数两个概念，也用一句简洁严谨的话把因数和倍数的关系完整地表达出来，让学生也有了模仿的语言形式。接着让学生看着3×8=24，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数……。

学生在说的过程中感性认识了因数和倍数的关系，感受到因数和倍数不是单独存在的，它们是

互相依赖，缺了谁也不完整。在形式化语言表达中学生理解了因数和倍数的关系、训练了学生说话表达的能力、也在潜移默化中形成形式化思想的过程。

又比如说在教学《分数的产生和意义》时，为了让学生充分理解分数的意义及“单位1”所代表的含义，我也是训练学生用一句简洁严谨的话把分数的意义表达出来，看下图：

“说”是对学生进行数学语言训练的重要手段，有助于提高学生思维的有序性和灵活性。在形式化思维的指引下，学生能模仿把表示分数的意义的这句话说完整，加深学生对分数的意义的理解。

二、在“逐步抽象”中渗透形式化思想

小学数学概念教学中，不论是公式的推导或者数学概念的概括，往往需要通过实例解读、说明，在经历了现实世界的定义后逐渐转化为形式化的数学语言，在解决问题后又将还原于现实世界。换句话说，小学数学思维经历了“直观——形式化——直观”的过程，当然，前一个直观指感性直观，后一个直观则是思维直观，是在理性基础上的重建。

比如说《分数与除法的关系》这节课中，引导学生得出分数与除法的关系后进行巩固练习，在基础练习部分我会先出示一般除法与分数互换的练习，再接着由数字过渡到数字与字母结合，最后直接抽象成字母与字母的结合（如下图），

这样的题目由具体形式慢慢过渡到抽象的形式，这样的题目思维含量更大，由直观思维转向了抽象思维，从而培养了学生的形式化思想，让学生从形式到本质理解了分数与除法的关系。

又比如说《平行四边形的面积》，在经验探索后得出平行四边形的面积=底×高，用字母表示为s=ah。为了发散学生的思维，老师会引导学生延伸到另外两条公式：a=s÷h，h=s÷a。

通过这样从具体的一道平行四边形面积的计算公式s=ah，再利用因数和积的关系，也可以根据乘法与除法的关系，学生就能抽象出a=s÷h，h=s÷a这两道公式的模型，这就是一直以来形式化思想渗透的结果，也为以后学习其他平面图形或立体图形的面积提供了学习模型和思维模型。

三、在“知识迁移”中渗透形式化思想

学生自身经验是数学学习的土壤。小学生的年龄特征决定了其在认知活动中以具体形象思维为主，逐渐向抽象逻辑思维发展。因此，在培养形式化思想的过程中也应该充分尊重学生的思维特点，在具体的情景和丰富的实例中，体验感受，理解抽象，实现知识的迁移。

如《简便运算定律》的迁移，四年级已经学习了整数的各种简便计算的运算定律，也实现了由具体情境抽象成用字母来表示运算定律。在这个学习经验上，当五、六年级学习小数和分数的简便计算时，由学生根据运算定律的形式化可以自然实现知识的迁移，老师不用再重新讲交换律和结合律是怎样得出来的，只需要学生回忆起运算公式a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)……,有了这些用字母来表示的运算定律，学生就能自然过渡到在小数和分数的简便计算中，这些简便运算定律在小数或分数计算中同样适用。

在形式化思想的引导下，学生实现了由整数简便计算过渡到小数和分数的简便计算，在这知识的迁移过程中，学生的形式化思想又得到了培养，可见形式化思想有利于学生进一步学习。

四、在“变题训练”中渗透形式化思想

数学教学中的变题训练,主要是指对例题、习题进行变通推广,使学生在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识原数学问题,把学生的知识、能力、思想引入纵深,从而提高教学效率,并培养学生的创新能力，在这个变题训练过程中形式化思想的渗透也更为明显、更加重要。

1、“模仿”的变题训练，建立模型。

一些定义型的概念，它有固定的模式，在提练出模型后需要学生利用生活经验举例，以巩固对这一概念的认识和理解。因此，在渗透形式化思想的过程中我们要注重一般的变题训练，建立形式化的一般模型。

比如说《分数与除法的关系》，通过直观操作、演示分饼的过程后得出3÷4=4

3，接着就让学生模仿写出几个除法算式，并根据分数与除法的关系直接写出计算得数。通过举例，架起了分数与除法关系之间的桥梁，构建了分数与除法的关系模型。也为后面的公式a ÷b=

b a (b ≠0)的建模埋下基础。

谁能否认这样的过程是形式化思想培养的过程呢？ 又比如在讲《分数的基本性质》的时候，先让学生看图写分数，然后比较

21、42、84三个分数的大小，得出21=42=8

4，最后观察三个分数的分子和分母的变化规律（如下图）。（找到分子和分母都同时乘2，分数的大小不变）

最后根据这个等式的形式，让学生再写一个同样的等式。如43=86=1612，75=1410=21

15等。 学生能从例题中按模式写出几个相等的分数，说明他们不只看出了分数的分子和分母之间的变化规律，而且也初步了解了分数的基本性质，更加会应用分数的基本性质了，在“举例”中渗透形式化思想，使学生不只停留在文字上的理解分数的基本性质这个概念，更让学生会运用这个概念，创新学生思维，发展学生的能力。

2、“类比”的变题训练，概括模型。

形式化思想作为一种数学思维，更多情况下是“隐形”存在的。我们期待学生能够自觉地发现规律，得到启示，但是有的时候无法实现，或者是得到了错误的结论，这个时候需要教师的导向和启示。

如在五年级下册学习分数的意义这节概念课时，当要介绍分数单位时，我出示了以下的题目：

在学生说出答案后老师说：我们把

71，151，302

1叫做分数单位，观察一下这些分数单位，你发现了什么？ 在71、151、3021等分数模型下，通过总结对比，把分数单位的数学模型概括出来，让学生真正理解书本上所定义的分数单位——“把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。”由具体的数字模型抽象出语言表达，再从抽象的语言表达中说出具体的分数单位。

又如在教分数的意义时，为了让学生区分率与数量的区别，我设计了以下的练习：

把一堆苹果平均分给8个人，

师：为什么平均每人都是分这堆苹果的8

1？ 生：因为都是把一堆苹果平均分给8个人。 师：为什么平均每人都是分这堆苹果的8

1，而分出来的数量有的是1个，有的是2个，也有的是n ÷8个的？

生：因为单位“1”的量发生了变化，所以8

1所表示的数量也发生变化。 借助于学生的形式化思维，把这类题目的模式都建立起来，易于比较和理解，在具体的情境中培养了学生的抽象思维。以上的两个教学片段体现了从直观——抽象——直观的思维过程，也是数学形式化思想的培养过程。

3、“深层”的变题训练，提升模型。

如果数学思维一直停留在一般的模仿与概括，这样的形式化思想还只是表层的，不利于学生思维的发展，只有从“模仿”到“深层”的变题训练，才能实现思维的发展，促进能力的提升，更是形式化思想培养的最终目标。

比如从分数的基本性质延伸到分数的大小比较时，经常出现这样的题目： 31＜（ ）＜2

1，这个答案有无数个，你只要把分母的最小公倍数无限地扩大下去，你就会发现有无数个分数都符合条件，或者你在数轴上标出21和31，学生也很容易理解无数个答案的理由。讲清算理后老师再出5

1＜（ ）＜4

1，学生很容易模仿解题的模型做出答案，因为学生建立了这类题的解题形式：两个相邻的自然数之间你只要把两个自然数相乘再×n 倍就能找到想要的答案，当然还有其他的做法也可以找到答案，在这里就不一一写出来了。

当学生完全掌握了并习惯了这种形式后，我再出一题特殊的题目： 要使31＜()1＜7

1，答案有（ ）个。 A 没有 B 3个 C 4个 D 无数个

受之前的形式化解题的影响，学生大部分都选了D 无数个，最后让学生举例，学生就会知道选错了。由“一般化”的形式解题到“特殊化”的形式解题，让学生的思维来一个大转弯，在思维的

冲突下，我们的形式化就不仅停留在同类型的“题海战术”中，而是思维能力提升。

恰当合理的变题训练能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,有利于学生掌握基础知识,灵活解题，是形式化思想的进一步提升，更可以培养学生的应变能力,开拓思路,活跃思维。

总之,数学的研究对象不仅仅是实际生活中的事例,更为主要的是抽象的关系形式和模型。教师是小学生数学学习的直接影响者，也是小学生模仿的主要对象。教师接受并且承认形式化思想的重要性，善用形式化的思想进行教学，这无疑为学生打开了一扇窗。通过这样的形式化,使得学生数学能力得到迁移,知识框架得到完善，概念教学更高效。

【参考文献】

[1]《小学数学教师》，上海:上海教育出版社2011年第3期

[2]《小学数学教师》，上海:上海教育出版社2012年第5期

[3]郑毓信.再谈“淡化形式，注重实质”——〈淡化形式，注重实质〉读后.数学通报,1994,(08).