江苏省宿迁市马陵中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
2014-2015学年江苏省宿迁市马陵中学高一（上）期中数学试卷
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．（5分）设集合A={ 1，2，3}，B={ 2，4}，则A∪B=．
2．（5分）若A=[﹣1，3]，则A∩Z=．
3．（5分）如图所示，已知A，B均为集合U={1，2，5，7，11}的子集，且A∩B={2}，（?U B）∩A={11}，则集合A等于．
4．（5分）函数的定义域是．
5．（5分）已知a=20.8，b=20.3，，则a，b，c三者由小到大的顺序为．
6．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是．（填序号）
①y=﹣x+1；②y=；③y=x2﹣4x+5；④y=．
7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=．8．（5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是．（填图象编号）
9．（5分）若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是．
10．（5分）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=．
11．（5分）为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文→明文
已知加密为y=a x（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“8”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“16”，则原发的明文是．
12．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
13．（5分）已知函数f（x）=a x+log a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a2+6，则a=．
14．（5分）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是．
二．解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；
（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．
16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax+1=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若B?A，求实数a的值．
17．（14分）讨论函数f（x）=（a≠0）在区间（﹣1，1）上的单调性．
18．（16分）设函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（）+f（x）=0．
19．（16分）某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示．
第t天 4 10 16 22
Q（万股）36 30 24 18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？
20．（16分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．
（1）当a=时，判断证明f（x）的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，试求实数a的取值范围．
2014-2015学年江苏省宿迁市马陵中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．（5分）设集合A={ 1，2，3}，B={ 2，4}，则A∪B={1，2，3，4}．
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：直接利用并集的运算法则，求出两个集合的所有元素的集合即可．
解答：解：集合A={ 1，2，3}，B={ 2，4}，则A∪B={1，2，3，4}．
故答案为：{1，2，3，4}．
点评：本题考查集合的基本运算，并集的求法，基本知识的考查．
2．（5分）若A=[﹣1，3]，则A∩Z={﹣1，0，1，2，3}．．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：直接由交集的运算得答案．
解答：解：∵A=[﹣1，3]，Z是整数集，
∴A∩Z=[﹣1，3]∩Z={﹣1，0，1，2，3}．
故答案为：{﹣1，0，1，2，3}．
点评：本题考查了交集及其运算，是基础题．
3．（5分）如图所示，已知A，B均为集合U={1，2，5，7，11}的子集，且A∩B={2}，（?U B）∩A={11}，则集合A等于{2，11}．
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
专题：集合．
分析：由韦恩图可知，集合A=（A∩B）∪（C U B∩A），直接写出结果即可．
解答：解：用Venn图的表示，因为A∩B={2}，所以2∈A，又因为C U B∩A={11}，所以11∈A，则集合A等于{2，11}．
故答案为：{2，11}．
点评：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力．
4．（5分）函数的定义域是{x|x＞﹣1且x≠1}．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：欲求此函数的定义域，可由x+1＞0，且1﹣x≠0，解出x的取值范围，最终得出答案．解答：解：∵x+1＞0，且1﹣x≠0，∴x＞﹣1且x≠1，
故答案为：{x|x＞﹣1且x≠1}．
点评：本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．
5．（5分）已知a=20.8，b=20.3，，则a，b，c三者由小到大的顺序为c＜b＜a．
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：a=20.8＞b=20.3＞20=1，c=ln＜ln1=0，由此能比较a，b，c三者的大小关系．
解答：解：∵y=2x为增函数，
∴a=20.8＞b=20.3＞20=1，
∵y=lnx为增函数，
∴c=ln＜ln1=0，
∴c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a
点评：本题考查对数值大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是②．（填序号）
①y=﹣x+1；②y=；③y=x2﹣4x+5；④y=．
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据一次函数，幂函数，二次函数，反比例函数的单调性即可找出在（0，2）上递增的函数．
解答：解：y=﹣x+1在R上为减函数；
y=在（0，2）上为增函数；
y=x2﹣4x+5在（0，2）上为减函数；
y=在（0，2）上为减函数．
故答案为：②．
点评：考查一次函数、幂函数、二次函数、以及反比例函数的单调性．
7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=﹣3．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：将x≤0的解析式中的x用﹣1代替，求出f（﹣1）；利用奇函数的定义得到f（﹣1）与f（1）的关系，求出f（1）．
解答：解：∵f（﹣1）=2+1=3
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴f（1）=﹣3
故答案为：﹣3．
点评：本题考查奇函数的定义：对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x）．
8．（5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是②．（填图象编号）
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据图象的平移和翻折即可得到
解答：解：f（x）=2x﹣2的图象由y=2x图象向下平移一个单位，
而y=|f（x）|的图象是由f（x）的图象横坐标不变，在x轴上方的图象不变，在x轴下方图象折到x轴上方，
故函数y=|f（x）|的图象可能是②
故答案为：②
点评：本题考查了图象的平移和翻折，属于基础题
9．（5分）若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是{a|或}．
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求出二次函数的对称轴，由题意知，区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，列出不等式解出实数a的取值范围．
解答：解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，
f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或a≤，
故答案为：{a|a≥，或a≤}．
点评：本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
10．（5分）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=337．
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，再由定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，能求出f（1）+f（2）+f （3）+…+f的值．
解答：解：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f （2）=2，
定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f=335（﹣1+0﹣1+0+1+2）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=335+1+2﹣1+0
=337．
故答案为：337．
点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．
11．（5分）为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文→明文
已知加密为y=a x（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“8”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“16”，则原发的明文是4．
考点：进行简单的合情推理．
专题：计算题；推理和证明．
分析：明文“3”，即x的值，得到密文为“6”，即y的值，求得a=2，密码对应关系为：y=2x，按此规则可求出原发的明文．
解答：解：依题意可知明文“3”，即x=3，得到密文为“6”，即y=6，求得a=2，密码对应关系为：y=2x，
接受方接到密文为“14”，即y=14，则原发的明文是x=4．
故答案为：4
点评：本题考查求指数函数解析式，仔细分析题意，是解好题目的关键，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．
考点：函数的零点．
专题：数形结合法．
分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．
解答：解：函数f（x）==，
得到图象为：
又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
知f（x）=m有三个零点，
则实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，
13．（5分）已知函数f（x）=a x+log a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a2+6，则a=2．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数解析式判断当a＞1时，函数f（x）=a x+log a x，单调递增，当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+log a x单调递减，可得出f（1）=a，f（2）=a2+log a2，
其中有一个最大值，一个最小值，即可得出a+a2+log a2=log a2+6，求出a即可．
解答：解：∵函数f（x）=a x+log a x（a＞0且a≠1）
f（1）=a，f（2）=a2+log a2，
∴当a＞1时，函数f（x）=a x+log a x，单调递增，
当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+log a x单调递减，
∴在[1，2]上的最大值与最小值之和为：a+a2+log a2=log a2+6，
∴a2+a=6，a=2，a=﹣3（舍去）
故答案为：2
点评：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，解决最值问题，属于容易题．
14．（5分）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）
=f（c），则abc的取值范围是（10，12）．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
专题：计算题；数形结合．
分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则﹣lga=lgb=﹣c+6∈（0，1）
ab=1，0＜﹣c+6＜1
则abc=c∈（10，12）．
故答案为：（10，12）
点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
二．解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；
（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：（1）化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算；
（2）化对数式为指数式，然后求解指数方程，得到x的值后进行验根．
解答：解：（1）
=（）+（lg5）0+[（）3]
=+1+=4．
（2）由方程log3（6x﹣9）=3得
6x﹣9=33=27，
∴6x=36=62，∴x=2．
经检验，x=2是原方程的解．
∴原方程的解为x=2．
点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数方程的解法，解答对数方程时不要忘记验根，此题是基础题．
16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax+1=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若B?A，求实数a的值．
考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：（1）由A∩B={2}得2∈B，把2代入ax+1=0代入求出a的值；
（2）由x2﹣3x+2=0求出集合A，由子集的定义和B?A求出B所有的情况，再依次代入求出a的值．
解答：解：（1）因为A∩B={2}，所以2∈B，
则2a+1=0，解得a=，
（2）由x2﹣3x+2=0得，x=1或x=2，则A={1，2}，
因为B?A，所以B=?或{1}或{2}，
当B=?时，则a=0，
当B={1}时，则a+1=0，得a=﹣1，
当B={2}时，则2a+1=0，得a=，
综上得，实数a的值是0或﹣1或．
点评：本题考查交集及其运算，子集的定义，以及一元二次方程的解法，属于基础题．17．（14分）讨论函数f（x）=（a≠0）在区间（﹣1，1）上的单调性．
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：导数的综合应用．
分析：求f′（x），讨论a的取值，从而判断出f′（x）的符号，从而判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性．
解答：解：f′（x）=；
∴a＞0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增；
a＜0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减．
点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，要正确求导．
18．（16分）设函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（）+f（x）=0．
考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）由分式的分母不为0，解不等式，即可得到定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）计算f（），再与f（x）求和，即可得证．
解答：（1）解：由解析式知，函数应满足1﹣x2≠0，即x≠1且x≠﹣1，
∴函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠1且x≠﹣1}；
（2 ）解：由（1）知定义域关于原点对称，
f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）证明：∵f（）==，f（x）=，
∴f（）+f （x）=+=﹣=0．
点评：本题考查函数的定义域的求法，及函数的奇偶性的判断，以及函数值的计算，考查运算能力，属于基础题．
19．（16分）某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示．
第t天 4 10 16 22
Q（万股）36 30 24 18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？
考点：根据实际问题选择函数类型；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：应用题．
分析：（1）根据图象可知此函数为分段函数，在（0，20]和因为Q与t成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q的解析式；
（3）根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知y=PQ，可得y的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．
解答：解：（1）
（2）设Q=at+b（a，b为常数），将（4，36）与（10，30）的坐标代入，
得．
日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40﹣t，0＜t≤30，t∈N*．
（3）由（1）（2）可得
即
当0＜t≤20时，当t=15时，y max=125；
当上是减函数，y＜y＜y（15）=125．
所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．
点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力．
20．（16分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．
（1）当a=时，判断证明f（x）的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，试求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）当a=时，可求得f（x），在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2．通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，根据增减函数的定义可判断单调性，进而可求得函数的最小值；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞1等价于x2+x+a＞0，令g（x）=x2+x+a，根据单调性可求得g（x）的最小值，则最小值大于0；
解答：解：（1）当a=时，f（x）=x++2，
在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2．
则f（x1）﹣f（x2）=（+2）﹣（+2）=（x1﹣x2）
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）的最小值为f（1）=；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞1等价于x2+x+a＞0，
而g（x）=x2+x+a=+a﹣在[1，+∞）上递增，
∴当x=1时，g（x）min=2+a，当且仅当2+a＞0时，恒有f（x）＞1，即实数a的取值范围为a＞﹣2．
点评：本题考查函数的单调性及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，解决（2）问的关键是对不等式化简后转化为函数的最值解决．