江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案
苏州市2018届高三调研测试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知i
为虚数单位，复数3
i 2
z 的模为 ． 2． 已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ?，则正整数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ． 4． 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5
分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台
立即能乘上车的概率为 ．
5． 已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ．
6． 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中
提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别 为3，3，则输出v 的值为 ．
7． 已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ??
+??-+?
≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ．
8． 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，4215
8
a a =--，则3a 的值为 ．
9． 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的
榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯 起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁
班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）
10．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB
的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=?，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = m ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x
上，则圆C 的标准方程为 ．
12．已知正实数a ，b ，c 满足11
1a b
+=，
111a b c +=+，则c 的取值范围是 ．
13．如图，△ABC 为等腰三角形，120BAC ∠=?，4AB AC ==，以A 为圆心，1为半径的圆分别
交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB PC ?的取值范围是 ．
14．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值
为 ． D
C
B
A
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数2()sin )2f x x x x =+-．
（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；
（2）若,22x ππ??
∈-????
，求函数()f x 的单调增区间．
16．（本小题满分14分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面ABHG ； （2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
E
F G H
如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π
2
αθ<≤，其中锐角α的正切值为12
）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .
（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
P 到一
个焦点的距离的最小值为1)． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
A
已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）若212
3
n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．
① 求数列{}n a 的通项公式；
② 若12n n S λ+?≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n kn
T T +为定值，求首项1a 的值．
已知函数32,0,
()e ,0.
x x x x f x ax x ?-+
（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若存在实数,[0,2]m n ∈，且||1m n -≥，使得()()f m f n =，求证：1e e 1
a
-≤≤．
苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案
一、填空题（共70分） 1
2．2
3．(2,0)-
4．
110
5．12
6．48 7．9- 8．
94 9．30π
10．18 11．22(1)(2)2x y -++= 12．4
(1,]3
13．[11,9]--
14．
3ln 2
2
+ 二、解答题（共90分）
15. 解（1
）2()sin )2f x x x x =+-
223cos cos sin 2x x x x x =++-
3(1cos2)1cos2222
x x
x +-=+ ·
··················································· 2分
cos 222x x =-+2cos(2)23
x π
=++． ··········································· 4分
当223
x k π+=π+π，即()3x k k π
=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．
此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π??
=π+∈????
Z ．
····································································································· 7分
（注：结果不写集合形式扣1分）
（2）因为()2cos(2)23
f x x π
=++，
令2222()3
k x k k π
π+π+π+π∈Z ≤≤， ··············································· 8分
解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ·
···················································· 10分 又[,]22
x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ??∈--????，令0k =，,32x ππ??
∈????，
所以函数在[,]22
ππ-的单调增区间是,26ππ??--????和,32ππ??
????． ························ 14分
（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以11EF A B ∥， 在正方体1111ABCD A B C D -中，A 1B 1∥AB ， （注：缺少A 1B 1∥AB 扣1分）
所以EF AB ∥． ········································ 3分 又EF ?平面ABHG ，AB ?平面ABHG ， （注：缺少AB ?平面ABHG 不扣分）
所以EF ∥平面ABHG ． ······························· 6分 （2）在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，
又BH ?平面11BB C C ，所以BH CD ⊥．① ············································ 8分 设BH
CF P =，△BCH ≌△1CC F ，所以1HBC FCC ∠=∠，
因为∠HBC +∠PHC =90?，所以1FCC ∠+∠PHC =90?．
所以90HPC ∠=?，即BH CF ⊥．② ···················································· 11分 由①②，又DC
CF C =，DC ，CF ?平面CFED ，
所以BH ⊥平面CFED ．
A 1
B 1
C 1
D 1 A B C D
E F
G H P
又BH ?平面ABHG ，
所以平面ABHG ⊥平面CFED ． ··························································· 14分 （注：缺少BH ?平面ABHG ，此三分段不给分）
17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=?-，50AB =，
则5050cos(90)sin AP θθ
==?-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθ
θθθ?-=?-==
?-． 50cos 100100sin PC BP θ
θ
=-=-
． ························································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）
由A 到P 所用的时间为12
25sin AP t θ
==
， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θ
θθθ
-
=
=-， ·························· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为
12242cos 62cos 4
()sin 33sin 3sin 3
t f t θθθθθθ-==
+=++-． ·
································ 8分 函数()f θ的定义域为(,]2
απ，其中锐角α的正切值为1
2.
（2）由（1），62c o s 4()3sin 3
f θθθ-=+，(,]2θαπ
∈，
2(13cos )()9si 6n f θθθ
-'=，令()0f θ'=，解得1
cos 3θ=
， ······························· 10分 设θ0∈(0,)
π，使01
cos θ=
················
·······················································
···········
··················· 12分
所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =
0050cos sin θθ≈17.68 km ，
答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．·
···········
14分
（注：结果保留根号，不扣分）
18. 解（1）由题意
c a =，故a =， ··················································· 1分 又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， ······
······························································································· 2分 解得3c =，a =2229b a c =-=， ········································· 4分
所以椭圆C 的标准方程为22
1189
x y +=. ·
·················································· 6分 （2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，
此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ···································· 7分
联立222
(1)16,9,x y x y ?++=??+=??
解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ··············································· 9分 对一般情况证明如下：
设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,
则22
1,218,
y kx x y =-??+=?整理得22(12)4160k x kx +--=， 所以1212
22
416
,1212k x x x x k k +==-++． ················································· 12分 （注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分） 因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ?=-?-=+-++
121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++
222222
16(1)1616(12)16160121212k k k k k k
-+-+=-+=+=+++， 所以TA TB ⊥．
所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·············· 16分
19. 解（1）①当2n ≥时，由2
12
,3
n n n a S S -++= ①
则2112
,3
n n n a S S ++++= ②
②-①得22
111()3
n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥
···························· 2分 当2n =时，由①知2212123
a a a a +++=，即2
2
23100a a --=， 解得25a =或22a =-（舍），
所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，
所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ················································· 5分 （注：不验证213a a -=扣1分）
②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n n S -++==
， 由题意可得212322n n n S n n
λ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，
记2232
n n n n
c ++=，则211
3(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥， 所以212
3114
2n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ················································ 8分
当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =
，且31516c =，27
8
c =，112c =，
所以当3n =时，2232n n n n c ++=取得最大值15
16
，
所以实数λ的取值范围为15
[,)16
+∞. ······················································· 11分
（2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ???=，两边取常用对数，
12lg lg lg n n T a a a ++
+=．
令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，
则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ····························· 13分
若
(1)k n kn
T T +为定值，令
(1)k n kn
T T μ+=，则
11(1)[(1)1]
(1)lg lg 2(1)
lg lg 2
k n k n k n a q
kn kn kn a q
μ++-++
=-+， 即2
2
2
1{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q q
μμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，
因为0,1q q >≠，问题等价于22
2
1(1)0,
(1)0.
k k k k a q μμ?+-=??+-==??或
将
1
k k
+=(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，
所以21a q =，又0,n a >
故1a =. ························································ 16分
20. 解（1）当2a =-时，32
,0,
()e +2,0,
x x x x f x x x ?-+
当0x <时，32()f x x x =-+，则2()32(32)f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '=，解得0x =或2
3
x =
（舍），所以0x <时，()0f x '<， 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分 当0x ≥时，()e 2x f x x =-，()e 2x f x '=-，
令()0f x '=，解得ln2x =，当0ln2x <<时，()0f x '<，当ln2x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数，在区间(ln 2,)+∞上为增函数， 且(0)10f =>. ················································································· 4分 综上，函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)，单调增区间为(ln 2,)+∞．
····································································································· 5分 （注：将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分） （2）设0x >，则0x -<，所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-， 由题意，32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解， 等价于23
a x x x
=++在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分 记23
()(0)g x x x x x
=++
>，
则322222
323(1)(233)
()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==
， ························ 7分 令()0g x '=，因为0x >，所以22330x x ++>，故解得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，
故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ············································· 9分 要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解，当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分 （3）由题意，()e x f x a '=-，
当0a ≤时，()0f x '>，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，
由()()f m f n =，可得m n =，与条件||1m n -≥矛盾，所以0a >. ·············· 11分 令()0f x '=，解得ln x a =，
当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.
若存在,[0,2]m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于m ，n 之间， ······················ 12分 不妨设0ln 2m a n <<≤≤，
因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()f m f n =， 所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n =≤，
由02m n <≤≤，||1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故(1)()()f f m f n =≤， 又()f x 在(,ln )m a 上单调递减，且0ln m a <≤，所以()(0)f m f ≤．
所以(1)(0)f f ≤，同理(1)(2)f f ≤． ··················································· 14分
即2
e 1,
e e 2,
a a a -??--?≤≤解得2e 1e e a --≤≤， 所以1e e 1
a
-≤≤.·
············································································· 16分
2018届高三调研测试数学附加题参考答案
21B 选修4－2 矩阵与变换
解 矩阵M 的特征多项式为212
()2321
f λλλλλ--=
=----， ··················· 2分
令()0f λ=，解得123,1λλ==-，解得
属于λ1的一个特征向量为111??
=????
α，属于λ2的一个特征向量为211??=??-??α． ······· 5分
令12m n =+βαα，即111711m n ??????=+??????-??????，所以1,
7,m n m n +=??-=?
解得4,3m n ==-．
····································································································· 7分 所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα
44441122113214()3()433(1)11327λλ??????
=-=?-?-=??????-??????
αα． ············· 10分
解 由曲线C 的极坐标方程是2
2cos =
sin θ
ρθ
，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x ． ··················································· 2分
由直线l 的参数方程1,
3x t y t =+??=-? (t 为参数)，得40x y --=，
所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得2870t t -+=，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以12|AB t t -=== ············· 7分 因为原点到直线40x y --=
的距离d ==，
所以△AOB
的面积是11
1222
S AB d =
??=??=． ·
···················· 10分 21D 选修4－5 不等式选讲
解 因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，
由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·························· 4分
因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即3
2
x -
≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即32
x ≥；
综上，实数x 的取值范围为3
3(,][,)22
-∞-+∞． ··················
22. 解（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ，
所以BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直，
以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P （0，2，0），B （0，0，0），D （2，0，1），E （2，1，0），C （0，0，1），
因为BC ⊥平面ABPE ，所以(0,0,1)BC =为平面ABPE 的一个法向量， 2分
(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,
CD PD ??=???=??n n 即20,220,x x y z =??-+=?令1y =，则2z =，故(0,1,2)=n ，
4分
设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则cos ||||1BC BC θ?===??n n ，
显然π02θ<<
，所以平面PCD 与平面ABPE ·
···· 6分 （2）设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25
． 设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． ·
·· 7分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n ， 所以2cos ,5
BN BN BN ?<>=
=
=
?n n |||n |
， 即29810λλ--=，解得1λ=或1
λ=-（舍去）． ·
································· 9分
当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为2
5
． ··········· 10分 23. 解（1）因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，整理得4()
(1)()2
f n f n f n -+=+，
由(1)2f =，代入得421(2)222f -==+，1472(3)15
22
f -
==+，所以719(3)(2)5210f f -=-=． 2分 （2）由(1)2f =，1(2)2f =，可得41
,55
a b =-=． ·
································ 3分 以下用数学归纳法证明
存在实数，41,5
5a b =-=
，使1
()1431()525
n f n =+---成立．
① 当1n =时，显然成立． ·
································································ 4分 ② 当n k =时，假设存在41
,55a b =-=，使得1()1431()525
k f k =+---成立，
····································································································· 5分
那么，当1n k =+时，141431()()4()525(1)1()212431()()525
k k f k f k f k ??
-+??
---??-??+=
=+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525
k k k k +-+
==+=+-------，
即当1n k =+时，存在41
,55a b =-=，使得11(1)1431()525k f k ++=+---成立．9分
由①，②可知，存在实数，41
,55a b =-=，使1()13()2
n f n a b =+--对任意正整
数n 恒成立． ·
·················································································· 10分