一次同余方程的解法及应用

初等数论是数学基础理论的一个分支，它主要研究的是整数的性质和方程的整数解。由于初等数论中的问题简明易懂，所以近代数学中许多重要的思想、方法和技巧都是从对整数性质的深入研究而丰富并发展起来的。在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。例如我们问现在几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数,同是几点钟或同为星期几。常常在生活中有同样的意义，这样，就在数学中产生了同余的概念。这个概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。在代数里面一个主要的问题就是解代数方程，而同余方程是同余理论的核心内容。在这里我们所要研究的就是关于同余方程的一些基本知识、概念、术语等，以及对于一次同余方程，一次同余方程组等等的求解问题。

一、同余方程

设整系数多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0（1）我们可讨论是否有整数值x满足同余式f（x）≡0（mod m）（2）我们要求解的这个同余式（2）称为是模的同余方程。

若整数c满足f（c）≡0（mod m），则称c是同余方程（2）的解，我们把这个解记为x≡c（mod m）。这实际上是把同余类cmodm 看作是满足同余方程（2）的一个解。当c1、c2均为同余方程（2）的解，且对模不同余时，才把它们看作是不同解，我们把所有对模m两两不同余的（2）的解的个数（即满足“2”的模m的同余类

二元一次方程及其解法

一、问题引入问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程（与分式区分开来）想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。例2 若方程是二元一次方程，求m 、n 的值．分析：变式：方程是二元一次方程，试求a 的值．注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=?? +=?，5(2)6x y xy +=?? =?， 7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）责编：杜少波【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；

(完整版)初二数学分式方程经典应用题(含答案)

分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.

方程组的解法详解

*基础知识 "2x - y = 5 1、方程组＜ y"'的解是() x + y =1 卩x-6y =1, \x = -3 y +5; !3x+5y =5, I 3x —4y =23; {3m = 5n, gm —3 n =1; 消元---- 二元一次方程组的解法 x=0 y=1 C. a ：2 D. [y =1 "x = 2 — 2、下列二元一次方程组以 x = 0, y=7 为解的是( ) A. fx"7, X +2y =14. B. j x + y = -7, X - y = 7. C p x + 2y=14, .：x-3y = —21. 3、将方程5x-2y+12=0写成用含 D. [5x + y = 7, i 3x -2y =14. 的代数式表示y 的形式「2x-7y =8, (1) 4、用代入消元法解方程组I y '，可以由得 [y -2x = 4.⑵ —— ，把(3)代入 ___________ 中，得一元一次方程 _____________________ ，解得求得的值代入(3)中，求得 ___________ ，从而得到原方程组的解为 __________ 5、用代入法解下列方程组： (3) ，再把 (1) |x=2y, I x + y =3; y = 1-x, i3x + 2y =5; |x-4y =-1, I 2x + y =16;

(3)， *能力提升二、加减消元法 *基础知识 l x - y =3(1) 2、方程组Q y 八丿若用加减消元法解，可将方程(1)变形为 3 4 i x +y=2； 12 3 ； (8) 『X y +1 1 gw 1, [3x + 2y =0. 」-7、”m, 3m -2n 6、已知 7x y 和一 3x 2n_2 y 是同类项，求m,n 的值. 7、如果(2x *探索研究 8、已知方程组 [ax + by =2 jCx-7y =8 中 y - 2| = 0，求 10x — 5y + 1 的值. I x = 3 I x = —2 '的解为I "'而小明粗心地把C 看错了，解得I "'请 2. l y = 2. 你求出正确的 a,b,c 的值. 1、方程组戸+4厂5,中， 3x-7y =6 x 的系数的特点是「2x + 5y = 1 ，方程组? y '中y 的系 i3x -5y = 4 数特点是，这两个方程组用法解较简便。

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。二、学习与应用（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有的叫做方程．使方程两边相等的的值，叫做方程的解．（二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或（除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5；（2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是；②含有；③分母里含有。（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是，不含有未知数的方程是方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是方程。知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）解分式方程的一般方法和步骤（1），即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2）解这个方程。（3）：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的。注：分式方程必须；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

方程组的解法举例

三元一次方程组的解法举例 1）．三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。它的一般形式是未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 2）．解三元一次方程组的基本思想方法是：【例1】解方程组分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4） ①与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， ∴．

∴ 【例2】解方程组分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。解：①+③，得5x+6y=17 ④ ②+③×2，得，5x+9y=23 ⑤ ④与⑤组成方程组解这个方程组，得把x=1，y=2代入③得： 2×1+2×2-z=3，∴z=3 ∴ 另解：②+③-①，得 3y=6，∴y=2 把y=2分别代入①和③，得解这个方程组，得： ∴ 注：①此题确定先消去z后，就要根据三个方程消两次z（其中一个方程要用两次），切忌消一次z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元的目的。

②此题的“另解”是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2. 定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项. 定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组. 例如：都是二元二次方程组. （2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。加减消元法例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题．学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

56初中数学八年级上册分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

初中数学八年级上册分式方程的解法及应用（提高）知识讲解【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

特殊方程组的解法

特殊方程组得解法特殊方程组不定方程组含参方程组模块一:假期知识您还记得么 1. 二元一次方程组:由几个一次方程组成,含有两个未知数得方程组叫做二元一次方程组、 2. 二元一次方程组得解:一般地,二元一次方程组得两个方程得__________叫做二元一次方程组得解,它必须同时满足方程组中得每一个方程,一般表示为x a y b =??=? 得形式、 3. 二元一次方程组得解得检验:要检验一对未知数得就是否为一个二元一次方程组得解,必须将这对未知数得值_____________方程组中得每一个方程进行检验、 4. 解二元一次方程组得方法:_____________,______________、 1. 用代入消元法解方程组: 222312n m m n ?-=???+=? 3252 2(32)117x y x x y x +=+??+=+? 2. 用加减消元法解方程组: 2535x y x y +=?? +=? 433 344 x y x y 基础知识思维导图复习导航典题回顾

3、已知方程组 2.2 3.5113.5 5.633x y x y -=??+=?得解为x m y n =??=?,则方程组()()()()2.22 3.5111 3.52 5.6133x y x y ?+--=??++-=??得解就是_________ 4、解方程组274ax y cx dy +=??-=?时,一学生把a 瞧错后得到51x y =??=?,而正确得解就是3 1 x y =??=-?a c d 、、得值为 ( ). A.不能确定 B.3a =,1c =,1d = C.c ,d 不能确定,3a = D.3a =,2c =,2d =- 模块二:特殊方程(组) 199319941995200720082009x y x y + =??+=? (1) 141516 171819 x y x y (2)200520062007 200820092010 x y x y +=?? +=? 您发现了什么规律,猜测关于x,y 得方程组()(m 1)y m 2 nx (n 1)y n 2 mx m n ++=+?≠? ++=+?得解就是什么,并用方程组得解加以证明。【例1】解方程组: 199519975989199719955987 x y x y 【练习1】 ⑴361463102 463361102 x y x y 【例2】已知123451234512 3451234 51 2 3 4 5 26 212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ,求4532x x 得值、 (1)236236326x y z x y z x y z ++=?? ++=??++=? (2) 323232y z x a z x y b x y z c 典题精练知识导航解一些特殊得方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)需要观察方程组下系数特点,着眼于整体上解决问题,常用到: 整体叠加、整体叠乘、整体代入、先消常数、设元引参、对称处理、换元转化、巧取倒数等方法技巧。

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。（2）平方根法

调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答：程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b

二元一次方程组解法练习题精选(含答案)精选

解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：， ①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6， y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法： ①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．

3．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为， ①×4﹣②×3，得 7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：；二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法． 4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为， ①+②得：6x=18， ∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法． 5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：， ①﹣②，得s+t=4， ①+②，得s﹣t=6，即，解得．

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D．举一反三：

分式方程应用题含答案经典

分式方程应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到小时）．解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为x 小时．依题意，得 29833122 x x =?+．解这个方程，得14991 x =．经检验14991 x =是原方程的解． 148 1.6491x =≈． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得 20%x ×50-（x 2400-50）×5=350 化简得x 2-10x -1200=0 解方程得x 1=40，x 2=-30（不合题意舍去）经检验，x 1=40，x 2=-30都是原方程的解，但x 2=-30不合题意，舍去．答：每盒粽子的进价为40元． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ D ）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ D ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．解：设张明平均每分钟清点图书x 本，则李强平均每分钟清点(10)x +本，

方程组解法综合

方程组解法综合教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题知识精讲知识点说明：一、方程的历史同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。方程的英语是equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。二、学习方程的目的使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。三、解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法： ⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．加减消元法： ⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； ⒉将两条方程相加或相减消元； ⒊解一元一次方程； ⒋代入法求另一未知数．加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用目标认知学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程；重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．知识要点梳理

要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于

的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

分式方程的几种解法

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。一、去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。例1：解方程： 4 1 21235222-- -=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得： )1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x 整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x 检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。∴原方程的根为6=x 。二、换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：2 13 33322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则a x x 13332?=-，原方程变形为： 2 133=+ a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 2 1 2=a 当6=a ，即63 2=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 2 3 ,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 2 3-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。 ∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 2 3- =x 三、通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。例3：解方程： 4 1 614121+- +=+-+x x x x 解：方程两边通分得：) 4)(6(6 4)4)(2(24++--+=++--+x x x x x x x x 即： 24 102 8622 2+-=++x x x x ∴24108622+-=++x x x x 解得：1=x 经检验：原方程的根是1=x 。四、加减法

解线性方程组直接解法

第２章解线性方程组的直接解法 §0 引言 11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??? ?+++=?L L L L 1112121 22212112,(,,,),()n n T T n n n n nn a a a a a a A x x x x b b b a a a ??????===??? ??? ? ?L L L L L L L Ax b = 若A 非奇异，即det()0A ≠，方程组Ax b =有唯一解。由 Cramer 法则，其解 det(),1,2,,det() i i A x i n A = =L 其中i A 为用b 代替A 中第i 列所得的矩阵。当n 大时， 1n +个行列式计算量相当大，实际计算不现实。 121212(,)12det()(1)n n n i i i i i i n i i i A a a a τ=-∑L L L §1 Gauss 消去法（I ）Gauss 消去法的例子（1）1231123 212336 ()123315()18315() x x x E x x x E x x x E ++=??-+=??-+-=-? 2131()12(),()(18)()E E E E -?--? （2） 12312342356 ()15957()211793()x x x E x x E x x E ++=?? --=-??+=?

方程组13()()E E -与方程组145(),(),()E E E 同解 541 ()21( )()15 E E --得（3）1231234366()15957()3() x x x E x x E x E ++=?? --=-??=? 由（3）得3 213,2,1x x x === 123(,,)(1,2,3)T T x x x = （3）的系数矩阵为11 10159001????--?????? ，上三角矩阵。（II ）Gauss 消去法，矩阵三角分解 Ax b = 1112 11,12122 22,112 ,1 n n n n n n nn n n a a a a a a a a A b a a a a +++????????=?????????? L M L M L L M M L M 令(1) ,1,2,,;1,2,,,1ij ij a a i n j n n ===+L L (1)(1)A b A b ??=?? ???? 第1次消去 (1) 110a ≠, 令 (1)1 1(1)11 , 2,3,,i i a l i n a ==L 作运算：11()()i i i l E E E -+→ i E 表示第i 个方程（第i 行） 2,3,,i n =L (2)(1)(1) 111110 2,3,,i i i a a l a i n =-==L