小波变换在图像处理中的应用研究

第1章绪论

1.1课题的研究背景及意义

图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理(如分割、压缩和图像理解等)将产生不利影响。噪声种类很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。在图像处理中，图像去噪是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。

近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的去噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过处理低于该阈值的小波系数同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟的优越性。1.2国内外研究现状

图像处理是小波变换应用得最早，最成熟的工程领域之一，在小波理论创立初期，S.Mallat就提出了以多尺度分析为基础的局部极大模方法用于图像压缩。图像去噪是信号处理中的经典问题。传统的去噪方法多采用平均或线性方法，如：Wiener滤波，但去噪效果不令人满意。Donoho于1994年提出的平方最小原则下的最佳阈值求法开创了小波去噪的先河。由于小波变换通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，是空间（时间）和频率的局部变换，能有效地从信号中提取信息，因而小波分析成为当前一种新兴的信号处理技术，为国际上众多学者所关注。它集数学、物理、电子工程、计算机科学等领域的成果于一身，广泛地应用于多学科。

1.2.1小波发展历程

小波变换用于图像去噪的理论基础始于S．Mallat把数学上的ipschitz系数与小波变换的模极大值联系起来。随后，Donoho提出了小波M值萎缩方法(VisuShrink)，并从渐近意义上证明了其优越性。然而在实际应用中却往往效果不好，存在“过扼杀”系数的缺点。以后人们进一步研究小波相关去噪方法、比例萎缩方法等，并且在进一步提高算法的局部适应性、先验模型的准确性、边缘信息的保留性等方面取得了巨大的进步。具体回顾小波去噪方法可以大致分成以下三个阶段：

第一阶段。最初的去噪方法主要是利用小波变换去相关性。在小波分解后不同层次的细节子带，采用不同的阈值。代表方法有VisuShrnk(通用软阈值去噪)方法和SURES (基于SteinS的无偏风险估计，可得出接近最优软阈值的估计量)方法等。这期间硬阈值，软阈值和半软阈值等阈值函数也相继提出。

第二阶段。人们开始根据小波系数的统计性质建立各种先验模型，对小波系数的萎缩自适应变化，也就是每个小波系数所采用的阈值都各不相同。小波系数模型主要可分为基于尺度内相关性的层内模型、基于尺度间相关性的层间模型和混合模型。最常用小波系数先验模型是广义高斯分布模型。原图像小波系数的方差估计采用局部邻域估计，代表方法有数据驱动的自适应BayesShrink 方法，AWMShrink方法等。

第三阶段。这一阶段人们主要关注如何利用小波系数层间和层内的相关性。二元或多元的小波萎缩函数被提出。在去噪的同时如何尽可能地保留边缘、纹理等细节、如何使去噪后的图像更光滑、如何将小波变换去噪与其他方法结合等都处于不断地探索和研究中。代表方法有BivaShfink方法、小波的马尔可夫方法和复数小波去噪方法等。

1.2.2图像去噪方法分类

目前应用小波进行图像去噪的方法很多。总的来说，小波去噪方法大体上可以分为：基于信号奇异性的模极大值重构去噪、基于信号尺度间相关性的空域相关去噪和基于小波变换去相关特性的小波域阈值去噪法三类。

模极大值重构去噪法。信号的模极大值重构是指利用信号在各个尺度上小波系数的模极大值来重构信号。由于信号小波系数的模极大值包含了信号的峰变性与奇异性，因而，若可以从这些极大值重构信号，那么就可以通过处理小波系数的模极大值而实现对信号奇异性的修改，可以通过改变模极大值来修改

奇异性强度，也可以通过抑制某些极大值点而去除相应的奇异性。这就是模极大值重构滤波的基本思想。小波变换模极大值去噪算法，最初由Mallat提出，即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号。

空域相关去噪算法。这类方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性。信号经小波变换之后，其小波系数在各个尺度上有较强的相关性，也就是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。这样，就可以利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，这样处理后的小波系数基本上对应着信号的边缘，从粗尺度到细尺度逐步搜索信号的主要边缘，最终从噪声背景中得到真实信号，达到了去噪的目的。

小波域阈值去噪方法。目前，小波阈值去噪方法是研究最广泛的方法。这种非线性滤波方法之所以特别有效，就是由于小波变换具有一种“集中”的能力。它可以便一个信号的能量在小波变换域集中在少数系数上，因此这些系数的幅值必然大于在小波变换域内能量分散于大量小波系数上的信号或噪声的幅值。这就意味着对小波系数进行阈值处理可以在小波变换域中去除低幅值的噪声和不期望的信号。然后运用小波逆变换，得到去噪后的重建图像。

另外，还有学者把投影法也作为当前小波去噪方法中的一类，在此也作简单介绍。投影法的原理是将含噪信号以一种迭代的方式投影到逐步缩小的空间。由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影法也能够有效地区分噪声和信号。

1.3课题的研究内容

本文以图像去噪为研究对象，对比了传统去噪方法与小波去噪方法，比较深入地研究了基于小波系数模型的图像去噪。

全文安排具体如下：

第一章为绪论，首先简单介绍了课题研究的背景及意义，小波的发展历程和特性。然后，介绍全文的结构安排和本文所取得的研究成果。

第二章对小波变换进行了详尽而深刻的阐述。从传统的傅里叶变换引出小波变换，进而循序渐进地介绍了连续小波变换，离散小波变换，小波包分析，多分辨率分析，最终引出小波分析中的Mallat算法。

第三章首先概述了图像去噪基本概念，然后引入和介绍了几种传统的图像去噪原理和算法，包括邻域平均和中值滤波，对每一种方法均进行了仿真和效果测评，接着重点研究了小波阈值法去噪，针对三种不同的阈值函数，高频系数置零、硬阈值法和软阈值法进行了仿真和测评，并将其结果与传统去噪方法进行比较，得出结论。

最后是对全文的总结与展望，概括了全文的研究内容，同时也指出了论文尚还存在的不足之处，提出了一些可以继续努力的方向，为后续工作提供参考。

第2章小波基本理论

2.1从傅里叶变换到小波变换

小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅、调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数()t g的一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，使()()t g t f在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间．尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。

2.1.1傅里叶变换

在信号处理中比较重要的方法之一是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。

对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号里包含的各种频率成分。但是，傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅立叶变换不适于分析处理这类信