2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科

（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i

3.设向量a,b 满足|a+b

|a-b

a ?

b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

4.钝角三角形ABC 的面积是12

，AB=1，

，则AC=( )

A. 5

C. 2

D. 1

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8

B. 0.75

C. 0.6

D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. 1727

B. 59

C. 1027

D. 13

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-??

-+??--?

≤≤≥，则2z x y =-的最大值为

（ ）

A. 10

B. 8

C. 3

D. 2

10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）

C. 6332

D. 94

11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）

A. 1

B. 25

12.设函数()x f x m

π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2

22

00x f x m +

A. ()(),66,-∞-?∞

B. ()(),44,-∞-?∞

C. ()(),22,-∞-?∞

D.()(),14,-∞-?∞

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由https://www.360docs.net/doc/e512383604.html, 整理

二.填空题

13.()10

x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)

14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为_________.

15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.

16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.

（Ⅰ）证明{}

12

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：123111n ++<…+.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，

E-ACD 的体积.

19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收

入y （单位：千元）的数据如下表：

（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

()()

()

1

2

1

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ∧

==--=

-∑∑，??a

y bt =-

20. （本小题满分12分）

设1F ,2F 分别是椭圆C:()2

22210y

x a b a b

+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂

直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34

，求C 的离心率；

（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .

21. （本小题满分12分）

已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O

相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O

于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ?DE=22PB

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，

0,2πθ??∈??

??

.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a

++->

（Ⅰ）证明：()f x ≥2；

（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、 选择题

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空题

（13）

1

2

（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]

三、解答题

（17）解：

（1）由131m m a a +=+得1113().22

m m a a ++

=+

又113a 22+

=，所以，{12m a + } 是首项为3

2

，公比为3的等比数列。 12m a +=32m

，因此{n a }的通项公式为m a =312

m -

（2）由（1）知1

m

a =231m -

因为当n ≥1时，31m -≥123,m -?所以，111

3123m m -≤-? 于是，11211111

133

m m a a a -+++≤+++=313(1)232m -<

所以，121113

2

m a a a +++<

（18）解：

（1）连结BD 交AC 于点O,

连结EO

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO PB

EO ?平面AEC,PB ?平面AEC ，所以PB 平面AEC

（2）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP

两两垂直

如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x

轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标

系，则A —xyz,则则,12),AE

3,1

2

) 设B(m,0,0)(m ＞0)，则C （m,0） 设n(x,y,z)为平面

ACE 的法向量，

则{1

100n AC n AE ?=?= 即

1

2

mx

y z =+= 可取1n =

又1n =

（1,0,0）为平面DAE 的法向量，

由题设12cos(,)n n =1

2

，即

=12

，解得m=32

因为

E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为1

2

，三棱锥E-ACD 的体积为 V=

1

3?12??32?12

19解：

（1） 由所得数据计算得

t =1

7（1+2+3+4+5+6+7）=4， y =1

7

(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7

21

1()i t

t =-∑=9+4+1+0+1+4+9=28

7

1

11

()()i t

t y y =--∑

=(-3) ?（-1.4）+（-2）?（-1）+（-1）?（-0.7）

+0?0.1+1?0.5+2?0.9+3? 1.6=14， b=

7

1

11

7

2

1

1

()()

()i i t

t y y t

t ==---∑∑=

14

28

=0.5

a=y -b t =4.3-0.5?4=2.3

所求回归方程为y =0.5t+2.3 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得

y=0.5×9+2.3=6.8

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元

（20）解： （Ⅰ）根据c=

以及题设知M （c ，），2=3ac

将=-代入2=3ac ，解得=，=-2（舍去） 故C 的离心率为 （Ⅱ）由题意，原点O 的的中点，M ∥y 轴，所以直线M 与y 轴的交点D 是线段M

的中点，故=4，即

①

由=

得=

设N （x ，y ），由题意可知y<0,则 即

代入方程C ，得+=1 ② 将①以及c=代入②得到

+=1

解得a=7，

a=7，

（21）解 （Ⅰ）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递增 （Ⅱ）g （x ）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x

(x)=2[++]=2(+)(+)

（1） 当b ≤2时，g ’(x) ≥0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增，

而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;

（2） 当b>2时，若x 满足，2< x x e e -+<2b-2即时g ’(x)<0,而

g （0）=0,因此当0

（3） 由（2）知，3

2

当b=2时，32>0.6928

当+1时，

3

2

in2<1828

<0.693

(22)解：

（1）连结AB,AC 由题设知PA=PD,故PAD=PDA 因为PDA=DAC+DCA PAD=BAD+PAB

DCA=PAB

所以DAC=BAD,从而。。。。。。。 因此=

（2）由切割线定理得2PA =PB*PC 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB 由相交弦定理得AD*DE=BD*DC

所以，AD*DE=2 2PB

(23)解：

（1）C 的普通方程为 +=1(0)

可得C 的参数方程

（t 为参数，0

（Ⅱ）设D （1+cost,sint).由（Ⅰ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C 在点D 处的切线与I 垂直，所以直线GD 与I 的斜率相同。

tant=，t=π/3.

故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.

(24)解：

（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2. 所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.

当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜

当0

综上所诉，a的取值范围为（）