圆锥曲线精讲

圆锥曲线

圆锥曲线

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

圆锥曲线分类

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线

椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

1）椭圆

参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数)

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

2）双曲线

参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数)

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）

3）抛物线

参数方程

x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0

直角坐标

y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<> 0 )

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-e×cosθ)

其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

焦点到最近的准线的距离等于ex±a

圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）

椭圆

椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex

双曲线

P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex

P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex

P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey

P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey

圆锥曲线的切线方程

圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x) /2代替x,以(y0+y)/2代替y

即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)

圆锥曲线中求点的轨迹方程

在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。

圆锥曲线的曲率（见右图）曲率半径的作图。第二条垂线与法线的交点

Z就是曲率的中心他到P点的距离便是曲率半径。

圆锥曲线的光学性质

椭圆的光学性质

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

双曲线的光学性质

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

抛物线的光学性质

从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。

一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。

图说圆锥曲线的应用

椭圆的声学性质

圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的比较:

圆:

圆

定义

圆的定义有2

其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。

其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

概括

把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d 表示。圆心决定圆的位置，半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。

用字母表示是：d=2r或r=d/2

圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3. 14（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159）

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

【圆和圆的相关量字母表示方法】

圆—⊙半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）弧—⌒直径—d

扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

圆和其他图形的位置关系

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

圆的面积与周长计算公式

在以下几个算式中，“C”代表周长，“S”代表面积。

S圆=π×R方

C圆=2πR或πD

圆的平面几何性质和定理

一有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

圆与直线相切

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）

④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交P Q于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

有关切线的性质和定理

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=πr^2;

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）

5.圆锥侧面积S=πrl

6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

圆的解析几何性质和定理

圆的解析几何方程

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2

圆与直线的位置关系判断

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+ Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C／Ax2时，直线与圆相离；

当x1

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

圆知识点总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

椭圆

椭圆作图范例

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。

椭圆的第一定义

平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：│PF│+│PF'│=2a

其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。

椭圆的第二定义

平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）

其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。

椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况

计算机图形学约束

椭圆必须一条直径与X轴平行，另一条直径Y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线。

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^ 2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=ac osθ ，y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1

3公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL

椭圆的准线方程

x=±a^2/C

椭圆的离心率公式

e=c/a(e<1,因为2a>2c)

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=

2b^2/a

点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/ k^2)(y1-y2)^2

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/ a

椭圆的斜率公式

过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为-(b^2)X/(a^2)y

4椭圆参数方程的应用

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

-----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

（1）求椭圆C的方程.

（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.

（3）在（2）的基础上求△AOB的面积.

一分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2 /1=1，

二要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x 1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2. x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),

三直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/2*3√2/2*3√2/2 =9/4,

5历史

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）关于圆锥截线的某些历史：圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。Euclid, Archi medes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。K epler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

椭圆手工画法

（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。（2）：连接AC。（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。（4）：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。（6）：截取H，G对于O点的对称点H?，G?。（7）：H，H?为长轴圆心，G，G?为短轴原心。

（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。（2）：连接AC。（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。（4）：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，

交AB于H点。（6）：截取H，G对于O点的对称点H?，G? （7）：H，H?为长轴圆心，分别以HB、H…A为半径；G，G?为短轴原心，分别以GC、G…D为半径。

用一根线或者细铜丝,铅笔,2个图钉或大头针画椭圆的方法:先画好长短轴的十字线,在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点,一个点先用图钉或者打头针栓

好线固定住,另一个点的线先不要固定,用笔带住线去找长短轴的4个顶点,此步骤需要多次定位,直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点,用笔带住线,直接画出椭圆:)使

用细铜丝最好,因为线的弹性较大画出来不一定准确!

（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

（2）：连接AC。

（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

（4）：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

（6）：截取H，G对于O点的对称点H?，G?

（7）：

以H，H?分别为圆心，HA，H…B为半径作圆；再以G，G?分别为圆心，GC，G…D 为半径作圆。

椭圆的简单性质

椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线

双曲线

双曲线

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

·双曲线的第一定义

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hy perbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴）

·双曲线的第二定义

1.文字语言定义

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

2.集合语言定义

设双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,

这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.

注意:定点F要在定直线外且比值大于1.

3.标准方程

设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,

则由|MF|/d=e>1.

推导出的双曲线的标准方程为

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.

而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:

(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

·双曲线的简单几何性质

1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y 轴上）。

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0)，A＇(a,0)。同时AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.

B(0,-b)，B＇(0,b)。同时BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.

4、渐近线：

焦点在x轴：y=±(b/a)x.

焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p 为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角

令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）

令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e

令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2

（注意化简一下）

直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2

是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ?

则θ?=θ-【PI/2-arccos（1/e）】

则θ=θ?+【PI/2-arccos（1/e）】

带入上式：

ρcos{θ?+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2

即：ρsin【arccos（1/e）-θ?】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2

现在可以用θ取代式中的θ?了

得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2

5、离心率：

第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞).

第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.

d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e

6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）

右焦半径：r=│ex-a│

左焦半径：r=│ex+a│

7、等轴双曲线

一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且e=√2

8、共轭双曲线

双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1

特点：（1）共渐近线

（2）焦距相等

（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

9、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c

焦点在y轴上：y=±a^2/c

10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）

d=2b^2/a

11、过焦点的弦长公式：

d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]

12、弦长公式：

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2) (y1-y2)^2 推导如下：

由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

得y1 - y2 = k(x1 - x2) 或x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得：

|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或|AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

1．简单实验(边演示、边说明)

如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF 2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问

问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．

问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．

3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．

(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)

由双曲线定义，2c＞2a即c＞a，所以c2-a2＞0．

设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b 2．

(四)练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹．

(五)小结

1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．

5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作业

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；

3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．

作业答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

·双曲线的标准公式与反比例函数

X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的

因为xy = c的对称轴是y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴

所以应该旋转45度

设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）

(a为双曲线渐进线的倾斜角)

则有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

则

X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2

= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)

Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

·双曲线焦点三角形面积公式

若∠F1PF2=θ,

则S△F1PF2=b²·cot（θ/2)

·例：已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多

少？

解：有双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b²·cot（θ/2)=1×cot30°，设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3，

h=√6/2

抛物线

抛物线

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比

如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图像。

1.定义