电磁场与微波技术答案 李媛 李久生第三章

重庆大学光电学院

电磁场与微波技术答案李媛李久生第三章

3-3电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，体密度为ρ，两圆柱半径分别为a 和b ，轴线相距c ，a ＋c < b ，如图题2－4所示。求空间各区域的电场强度。 解

设1D 和2D 分别为半径a 的均匀带电圆柱和半径b 的均匀带电

圆柱对P 点产生的电通量密度，则总电通量密度12=-D D D 。设P 点距两圆柱轴心分别为r 和'r 。 r b >时，由高斯定理

222

0112

00222b b E r b E r r ρρεπρπεε=?=?=1r

E

22'

'

2

'01

1

'''2

00222a a E r a E r r ρρεπρπεε--=-?=?=

''

1r E ∴222'2

0022b a r r

ρρεε=+=-'

'11

r r E E E ',r b r a <>时，由高斯定理

202200

222r E r r E ρρεπρπεε=?=

?=

2r

E 22'

'

2

'02

2

''

'200222a a E r a E r r ρρεπρπεε--=-?=?=''

2r E

2'20022a r ρρεε=+=-

'

'22

r r E E E

,r a <时，由高斯定理

203300

222r E r r E ρρεπρπεε=?=

?=

3r

E '''2'03300'222r E r r E ρρεπρπεε--=-?=

?='3r'

E

33000

222ρρρεεε-=+=

-='r r'E E E C 3-4题

3-5两个无限长的同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。（1）计算各处的电位移；（2）欲使区域内，则和

应具有什么关系？

解（1）由高斯定理

，当时，有

当时，有，则 当时，有，则 （2）令，则得到

3-13平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。电容器的一半厚度(

)r a =r b =()b a >1σ2σ0D r b >00=D 1σ2σ0d S

q =?D S r a <01

0=D

a r

b <<02122rD a ππσ=1

02r

a r

σ=D e b r <<∞0312222rD a b ππσπσ=+12

03r

a b r

σσ+=D e 12

030r

a b r

σσ+==D e 12b a σσ=-a b d 2

~

0d

用介电常数为的电介质填充，如题4.3图所示。

(1) (1) 板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。

解（1）设介质中的电场为，空气中的电场为。由，有

又由于 由以上两式解得

， 故下极板的自由电荷面密度为

上极板的自由电荷面密度为

电介质中的极化强度 故下表面上的束缚电荷面密度为 上表面上的束缚电荷面密度为 （2）由

得到

故

ε0U Q z E =E e 0=E 0z E e =D 0D 00E E εε=002

2U d

E d E

-=+0002()U E d εεε=-

+0

02()U E d

εεε=-+00

02()U E d

εεσεεε==-

+下00

0002()U E d

εεσεεε=-=

+上000

002()()()z

U d εεεεεεε-=-=-+P E e 000

02()()p z

U d εεεσεε-=-=+e P 下000

02()()p z

U d

εεεσεε-==-+e P 上002()U Q

ab d εεσεε==+00()2dQ U ab εεεε+=0()p Q

ab

εεσε-=

下0()p Q ab εεσε-=-

上题4.3图

四章习题解答

4.1真空中直线长电流的磁场中有一等边三角形回路，如题

5.1图所示，求三角形回路内的磁通。

解根据安培环路定理，得到长直导线的电流产生的磁场

穿过三角形回路面积的磁通为

由题5.1图可知，，故得到 4.2通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图

所示。计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。

解将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律

，可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内

的电流产生的磁场为 电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为

I I 02I

r

φ

μπ=B e d S ψ==?B S

0002

[d ]d d 2d d z d

d

I

I z

z x x x x

μμπ

π

=?

()tan

6

z x d π

=-

=

d d d

x d x x ψ-==

0[)]22I b d μπ+J B J J -J b J -a 0

d C

I μ?=?B l J b 0

2

0222b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ??

=???>??

J -a

I

题 5.1 图

题5.2图

这里和分别是点和到场点的位置矢量。

将和叠加，可得到空间各区域的磁场为

圆柱外： 圆柱内的空腔外： 空腔内： 式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

4.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量。 (1) （圆柱坐标） (2)

(3) (4) （球坐标系）

解根据恒定磁场的基本性质，满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 该矢量不是磁场的场矢量。 （2） 该矢量是磁场的矢量，其源分布为 （3）

该矢量是磁场的场矢量，其源分布为

（4）在球坐标系中 该矢量是磁场的场矢量，其源分布为

2

0222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ?-???

a r

b r a o b o P a B b B 220

222b a b

a b a r r B J r r μ??

=?- ???()b r b >2022b a a a r B J r r μ??

=?- ??

?(,)b a r b r a <>()0022

b a B J r r J d μμ

=?-=?()a r a

B ??

??===≠??()()0ay ax x y

B ??

??=

-+=??20

x

y z z a x y z ay

ax e e e J H e ?

??

=??=

=???-()()0ax ay x y

B ??

??=+-=??00

x

y z

x y z ax ay e e e J H ???

=??=

=???-11()0sin sin B ar r r B φθφθφ

??

??=

==??

4.4

5．5如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径cm ，其圆形截面的半径cm ，鉄芯的相对磁导率，环上绕匝线圈，通过电流。

（1）计算螺旋管的电感； （2）在鉄芯上开一个的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的不变） （3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

2

2sin 1ctag 2sin 0

0sin r

r r r a a r r

ar e e e J H e e θφ

θθθθθφθ

?

??

=??==-??

?150=r 2=a 1400r μ=1000=N A I 7.0=cm 1.00=l r μ

解（1）由于，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 与螺线管铰链的磁链为

故螺线管的电感为

（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有，但空气隙中的磁场强度与铁芯中的磁场强度不同。根据安培环路定律，有

又由于、及，于是可得

所以螺线管得磁链为 故螺线管得电感为

（3）空气隙中的磁场能量为 鉄芯中的磁场能量为 故

0r a <<0

2NI

H r π=220

2a N I

NS H r μψμ==22

2a N L I

r ψ

μ=

=

=722

14004100.021000 2.346H 20.15

π-????=?0B B B μ==0H μH 0000(2)H l H r l NI μπ+-=000B H μ=0r B H μμμμ=B B B ==μ00000(2)

r r NI

B l r l μμμπ=

+-220000(2)

r r a N I

NSB l r l πμμψμπ==

+-220000(2)r r a N L I l r l πμμψ

μπ===+-2722

41014000.0210000.944H 14000.00120.150.001ππ-????=?+??-200001

2

m W H Sl μ=20001(2)2

m r W H S r l μμμμπ=

-000014000.001 1.487220.150.001

m r m W l W r l μ

μππ?===-?-

题5.12图