欧拉运动放大
关于欧拉方程的理解 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 形如：)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1) 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。 欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广，现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 流体静压强的特性 1静压强的方向—沿作用面的内法线方向 2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关
由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程 x y z p f x p f y p f z ρρρ??=?????=?????=??? 当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ，-dv/dt 和-dw/dt 。于是，上式便可写成 d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ????-= ???? ??????-=? ??? ??????-=? ??? ?? 上式整理后可得：
9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式. 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力. 教学重点：欧拉公式的发现过程. 教学难点：欧拉定义及其证明. 授课类型：新授课. 课时安排：3课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣. 教学过程： 一、复习引入： 1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后） 2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.
⑹ 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关 系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立. 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面. 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体. 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=． 证明:(方法一 ) (10) D D ⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变. ⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n ＝?-+++180)2(21F n n n F ＝?-180)22(F E ()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为 V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和 ＝0V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－）
P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图：dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码： %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像：
dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像：
本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月
图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学
调和级数发散性的证明方法 姓名：范璐婵 摘 要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。 关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Name: Fan Luchan Director: Wang Yingqian Abstract : Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new. Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency 引言 调和级数1 1 n n ∞ =∑ 的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单： 1111111 1 ++++++++L 注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为 12，这样的1 2 有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。 后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收 敛级数1111 12612(1) n n ++++ +=+L L 为基础的。以下是他的证明。
证明： 11122=- ， 111623=- ， 111 1234 =-L ， 111(1)1n n n n =-++ L 所以 11111111 112233411 n s n n n =-+-+-++-=- ++L . 则 1 lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+. 接着设 111 23A n =++++L L ， 则 1234261220(1)n A n n = +++++++L L ； 111111261220(1) C n n = ++++++=+L L ； 11111161220(1)22D C n n = +++++=-=+L L ； 111111122030(1)63E D n n = +++++=-=+L L ； 111111203042(1)124 F E n n = +++++=-=+L L ； 111111304256(1)205G F n n = +++++=-=+L L ； L L 1234511 12612203023 C D E F G +++++=+++++=+++L L L . 即 1A A =+. 没有一个有限数会大于等于自己，即A 是无穷大，所以调和级数发散. 由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的1A A =+来证明级数的无穷性，这是
毕业论文 题目：常微分方程的Euler解法 及其程序设计 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 毕业年限： 2011年6月 学生： 学号： 指导教师：
常微分方程的Euler解法及其程序设计 摘要本文总结了常微分方程的Euler解法，对各种格式给出了误差估计，设计了这些格式的计算程序． 关键词常微分方程；Euler解法；误差分析；程序设计 Euler Method of Ordinary Differential Equation and Its Programming Abstract Euler method of ordinary differential equation is summarized，the error of each format is analyzed and its programming is designed in this paper. Keywords Ordinary differential equation; Euler method; Error analysis; Programming
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式，即为微分方程 (,)dy f x y dx = （1） 的初值问题 00(,),(). dy f x y dx y x y ?=???=? （2） 定理 （存在与唯一性定理）如果方程（1）的右端函数(,)f x y 在闭矩形域 000000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+ 上满足如下条件： （1）在R 上连续； （2）在R 上关于变量y 满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 对于R 上任何一对点(,)x y 和(,)x y 有不等式： (,)(,)f x y f x y L y y -≤-, 则初值问题（2）在区间00000x h x x h -≤≤+上存在唯一解 00(),()y y x y x y ==, 其中0(,)min(,),max (,)x y R b h a M f x y M ∈==． 根据存在与唯一性定理，只要(,)f x y 关于y 满足Lipschitz 条件 (,)(,)f x y f x y L y y -≤-， 即可保证其解()y y x =存在并唯一． 然而解析方法只能用来求解少数较简单和典型的常微分方程，例如线性常系数微分方程等，对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说，因此，在大多数情况下，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法求解．
第9节 对流体力学欧拉运动方程式的修正（探讨） 内容提要：本文是探讨性的论文。观念正确如否有待学界审视及实践的检验。流体力学的欧拉运动方程式有修正的必要吗？首先，欧拉运动方程式是在《场论》只具有散度和旋度的数学基础为背景的产物；其次，人们注意到，航天器在飞行运动中存在一未知的莫铭的力。这个莫铭的力应该是欧拉方程尚未虑及的因素造成的。作者在研究《超变函数论》过程中揭示了在三维向量场中除了散度、旋度外尚存在一个为目前所未知的副冲量度【见文献3】。 我们所提出的修正意见就是从这里切入的，即在考虑存在副冲量度这一因素后，欧拉运动方程式应该发生怎样的变化。 关键词：理想流体，时变加速度,位变加速度，欧拉运动方程式，副冲量度，冲量力，压扁的四维空间. 分类号： 一,现在的欧拉运动方程式[见文献4,第77页] 在理想流体场中取出一微小六面体流体微团。微团中心的压力为P ,速度为,,x y z ωωω。微团所受的力有表面力(压力)和体积力(质量力)。六面体各面所受的表面力如下图所示。体积力为,,x y z F F F 。设单位质量的的体积力为X,Y,Z ，则在x 轴方向微团所受的力为 ()()22 ()??+-+???=-?dx dx X dxdydz dydz dydz x x X dxdydz x P P ρP - P P ρ 在x 轴方向微团产生加速度的运动力为 x d dxdydz dt ωρ 【注：其中，总加速度 ???????=+++???????????=+++????y x x x z y x x z x y z d x y z dt t x t y t z t t x y z ωωωωωωωωωωωω 该式右侧第一项称为时变加速度；第二、三、四项总称为位变加速度。】
四川师范大学本科毕业论文 微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙 格—库塔法 学生姓名XXX 院系名称数学与软件科学学院 专业名称信息与计算科学 班级2006级 4 班 学号20060640XX 指导教师Xxx 四川师范大学教务处 二○一○年五月
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法 学生姓名：xxx 指导教师：xx 【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都 会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。 关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性 Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li 【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the
生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include
数学实验报告 利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ实验目的： 利用matlab软件计算常数e和γ，并尝试利用不同的算法计算，比较计算精度和时间，找到较好的算法。 掌握matlab程序求和、求极限的方法，学会寻找更优算法。 实验内容： 1、求e e可以来源于两个数列的极限和，即 en=lim(1+1/x)^x,(x->+∞)（1式） sn=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……（2式）， 根据1式，可在matlab上设计如下代码： for n=1:15 n=10^n; e=(1+1/n)^n %求常数e的循环语句 end format long %使结果显示16位双精度数 结果：
e的标准值约为：2.71828182845904523536 由上述结果可知，使用1式，有很大的缺陷，不仅精度连10^-7都没有，而且当n>=10^9误差开始变大。 根据2式，可得如下代码： sum=0; t=1; for n=1:18 t=n*t; sum=sum+(1/t); end %求常数e的循环语句 e=1+sum format long %使结果显示16位双精度数 结果：
e的标准值约为：2.71828182845904523536 如上所示，随着n的增大，e的计算值越来越接近e的真实值.但是，当n 的值大于17后，计算的精度不再提高，原因是双精度型数只能精确到16位，所以结果只有个位以及小数点后15位（最后一位是近似取的），而1/18!=1.56*10^-16，所以n超过18再往下计算不会更精确。。 在1式代码中，(1+1/n)和n都只能精确到小数点后16位，两者相乘，结果精度将只能精确到8位。在2式中，,每一项都能精确到小数点后16位，而e是所有项的和，求和后仍然能够精确到小数点后16位。所以，对于某些使用数学软件求解的问题，如果对精度有要求，应该尽量使用加、减运算，少用其他的运算(例如乘、除、乘方、对数等)，这样可以提高运算精度。 2、求γ 如此欧拉常数γ也可以使用matlab求出较为精确的值。 可由公式γ=lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n )-ln(n)]得出。 for n=1:10 s=0; for i=1:10^n s=s+(1/i); end y=s-log(10^n) %求常数γ的循环语句 end
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下： 由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…） 于是调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/ n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+l n(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln( n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1) 将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故
ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)> 0 即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。 于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为 0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞） =lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞） -lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2 欧拉常数发现的历史 著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。
Euler 法解常微分方程 Euler 法解常微分方程算法： Step 1 分别取积分上限、积分下限、步长 Step 2计算h n n +=判断b n ≤是否成立，成立转到Step 3，否则继续进行Step 4 Step 3 计算),(1n n n n y x hf y y +=+ Step 4 ),(1n n n n y x hf y y +=+ Euler 法解常微分方程算程序： function euler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x 取值范围 %a----x 左区间端点值 %b----x 右区间端点值 %h----给定步长 x=min(A); b=max(A); y=y0; while x 0.4613 指导教师： 年 月 日 改进Euelr 法解常微分方程 改进Euler 法解常微分方程算法： Step 1 分别取积分上限、积分下限、步长 Step 2 取一个以h 为步长，a ，b 分别为左右端点的矩阵 Step 3 （1）做显性Euler 预测),( 1n n i i y x hf y y +=+ （2）将1+i y 带入,(),([2h 11++++=i i i i i x f y x f y y Step 4计算h n n +=判断b n ≤是否成立，成立返回Step 5 )],(),([2h 111+++++=i i i i i i y x f y x f y y 改进Euler 法解常微分方程算程序： function gaijineuler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x 取值范围 %a----x 左区间端点值 %b----x 右区间端点值 %h----给定步长 a=min(A); b=max(A); x=a:h:b; y(1)=y0; for i=1:length(x)-1 w1=feval(fun,x(i),y(i)); y(i+1)=y(i)+h*w1; w2=feval(fun,x(i+1),y(i+1)); y(i+1)=y(i)+h*(w1+w2)/2; end x=x' 牛顿-欧拉方程 欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律： 该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成: 其中，分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩，分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。 欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)： 这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。 1.单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理： 对两边叉乘质点位置矢量： 观察： 因为： 故有： 定义角动量，可以看出为外力矩 故有单质点的角动量定理： 2.刚体的角动量定理 定义刚体的角动量为： 其中：下标G表示该向量为大地坐标系下的，的下标i表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系，本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。 (这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。) 由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理： 其中：为外力矩 把上式展开有： 其中：称为惯性矩阵 目 录 第一章 函数与极限 第一节 集合、映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 连续性 第二章 导数与微分 第一节 导数及求导法则 第二节 高阶导数 第三节 微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 导数的应用 导数的应用一 曲线的切线和法线 导数的应用二 函数的单调性 导数的应用三 函数的极值和最值 导数的应用四 曲线的凹凸性和拐点 导数的应用五 曲线的渐近线 导数的应用六 曲线的曲率 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 原函数 不定积分 不定积分公式 第二节 不定积分的换元积分法 第一类换元法 (凑微分法) 第二类换元法 第三节 不定积分的分部积分法 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 平面图形的面积 体积 旋转体的体积 弧长 旋转曲面的面积 第二节 定积分的物理应用 变力做功 抽水做功 水压力 索引 第一章 函数与极限 第一节 集合、映射与函数 邻域的概念 点0x 的δ邻域：000000(,){| }{|}(,)U x x x x x x x x x x δδδδδδ=-<=-<<+=-+ 0x δ -0x δ +0 x x δ δ 几个重要的分段函数 绝对值函数 ,0 ,0x x y x x x ≥?==? -?? ===??-?=?-= ()1 f x =()1 f x =-(0)0 f =()sgn f x x =取整函数 []()f x x == 小于或等于x 的 最大整数 [x ] x n 1 n + []x 是x 左边的第一个整数(向左取整)。 []()f x x =是分段函数： [] ()f x x = 在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。 在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。 这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。 在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！ 我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。 也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。 那么，哪种方法更能获得幸福呢？ 常微分方程欧拉算法 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 常微分方程欧拉算法 摘要：本文主要论述了常微分方程的欧拉算法的算法原理，误差分析，实例，程序，以及算法比较等内容。 关键词：常微分方程 显式欧拉法 隐式欧拉法 引言：微分方程初值问题模型是常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鳃有其重大意义。 一、欧拉算法原理 对于微分方程初值问题 的解在xy 平面上是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。积分曲线上一点(),x y 的切线斜率等于函数f 在点(),x y 的值，从初始点()000,P x y 出发，向该点的切线方向推进到下一个点()111,P x y ，然后依次做下去，得到后面的未知点。一般地，若知道(),n n n P x y 依上述方法推进到点()111,n n n P x y +++，则两点的坐标关系为： 即 这种方法就是欧拉（Euler ）方法（也叫显式欧拉法或向前欧拉法）。当初值0y 已知，则n y 可以逐步算出 对微分方程()=x y dy f dx ，从n x 到1n x +积分，那么有 现在用左矩形公式()(),n n hf x y x 代替()()1 ,n n x x f t y t dt +?，n y 代替()n y x ，1n y +代替() 1n y x +就得到了欧拉方法。如果用右矩形公式()()11,n n hf x y x ++去代替右端积分，则得到另外一 个公式，该方法就称为隐式欧拉法（或后退欧拉法），其公式为 欧拉公式与隐式欧拉公式的区别在于欧拉公式是关于1n y +的一个直接计算公式，然而隐式欧拉公式右端含有1n y +，所以它实际上是关于1n y +的一个函数方程。 二、实例 例 取h=，用Euler 方法解 泛函的欧拉方程(by zhengpin1390) (二)、泛函的欧拉方程 欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。 （1）最简单的欧拉方程： 设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B 内，则对形如 的变分，若其满足以下条件： c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y。(x) 满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程 对于下述泛函： 其欧拉方程组为： （4）多元函数的泛函及其欧拉方程 此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函： 其欧拉方程为： 泛函分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和 代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。