2015年高考全国1卷理科数学试题及答案(word精校解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1） 设复数z 满足1+z

1z

-＝i ，则|z |＝

(A )1 (B (C (D )2

(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝

(A )2-

(B )2 (C )12- (D )12

(3)设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为

(A )?n ∈N ， 2n >2n (B )? n ∈N ， 2n ≤2n (C )?n ∈N ， 2n ≤2n (D )? n ∈N ， 2n ＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中

的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312

(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：

=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若

12MF MF ?＜0，则y 0的取值范围是

(A )(－

3，3

) (B )(－

6，6

)

(C )() (D )() (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如

下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =

，则

(A ) 1433AD AB AC =-

+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 41

33

AD AB AC =-

(8)函数f （x ）=cos （ωx+?）的部分图像如图所示， ﹣+，+）﹣k+（

2k+(A )5 (B )6 (C )7 (D )8

（10）2

5

()x x y ++的展开式中，5

2

x y 的系数为

(A )10 (B )20 (C )30 (D )60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝

(A )1 (B )2 (C )4

(D )8

12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )

A .[32e -

，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [3

2e

，1)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x 为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆

=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准

方程为 ______________________ .

(15)若x ，y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

，则y x 的最大值为 .

(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 1

1

n n n b a a +=

，求数列}的前n 项和.

(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°

E ，

F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD

，

DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .

(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;

(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中i w =8

1

18i i w w ==∑

(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回

归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u βαβ==--=

=--∑∑

A B C F E D

(20)(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2

4

x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.

(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝31

,()ln 4x ax g x x ++=- .

(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，

讨论h (x )零点的个数.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求

△C 2MN 的面积 .

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.

(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；

(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）

理科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

2．【解析】原式1

sin 20cos10cos20sin10sin302

=??+??=?=

，故选D ． 4．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为223

30.60.40.6=0.648C ?+，故

选A ．

5．【解析】由题知()1F ，)2

F 且2

20012

x y -=，所以()

1200,MF MF x y ?=-?

)

222

00000,3310x y x y y -=+-=-<，解得033

y -

<<，故选A ． 6．【解析】设圆锥底面半径为r ，则

12384r ??=，得16

3

r =。所以米堆的体积为2

1116320354339??

????=

???

，故堆放的米约为320 1.62229÷≈，故选B ． 12．【解析】设()(21)x

g x e x =-，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线

y ax a =-的下方．因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，当1

2

x >-时，

()0g x '>；当1

2

x =-时，[]1

2max ()2g x e -=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线

y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

12a e

≤<，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 1

14. 2

232524x y ?

?-+= ??

?

15. 3

16.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2

111243n n n a a S ++++=+．

可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=-=+-

由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2

111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =

所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+． ……6分

（Ⅱ）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +??

=

==- ?++++??

． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则

12111111

12355721233(23)n n n T b b b n n n ????????=++

+=-+-+

+-= ? ?

???

+++????????．…12分 18．（本小题满分12分）解：

（Ⅰ）连接BD ，设BD

AC G =，连接EG ，FG ，EF ．

在菱形ABCD

中，不妨设1GB =， 由120ABC

∠=?，可得AG GC ==．

由BE ABCD ⊥平面，AB BC =，可知AE EC =． 又AE EC ⊥

，所以EG =

，且EG AC ⊥．

在Rt EBG ?

中，可得BE =，故2DF =

．在Rt FDG ?中，可得FG =． 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，BE =

，DF =

，可得EF =

从而2

2

2

EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC

FG G =，可得EG AFC ⊥平面．

因为EG AEC ?平面，所以AEC AFC ⊥平面平面．……6分

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB

， GC 方向为x 轴，y 轴正方向，

GB 为单位长，

建立空间直角坐标系

G xyz -．由（Ⅰ）可得()

0,A

，

(E ， 2F ?- ??

，()C ．所以(AE =，1,CF ?=- ?

?． ……10分

故(

)

cos ,AE CF AE CF AE CF

?=

=

-

，所以直线AE 与直线CF 所成角余弦值为

12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+

适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．……2分

（Ⅱ）令w =

先建立y 关于w 的线性回归方程．由于()()

()

8

1

8

2

1

108.8

681.6

i

i

i i

i w w y y d w w ==--=

=

=-∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-?=，所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y

w =+，

因此y 关于w 的线性回归方程为100.6y =+

……

6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.6576.6y =+=，

年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =?-=． ……9分 （

ⅱ

）

根

据

（

Ⅱ

）

的

结

果

知

，年利

润

z

的预报值

(0.2100.620.12z x x =?

+-=-+．

13.6

6.82

=

=，即46.24x =时，z 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

……12分

20．（本小题满分12分）解：

（Ⅰ）由题设可得()M a

，()N a -

，或()

M a -，

()

N a ．

又2

x

y '=，故24x y =

在x =

处的导数值为，C

在点()

a -处的切线方程为

y a x -=-，即0y a +

+=．故所求切线方程

为0y a ++=和

0y a --=．……5分

（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：

设()0,P b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．

将y kx a =+代入C 的方程得2

440x kx a --=．故124x x k +=， 124x x a =-．

从而()()()1212121212122kx x a b x x k a b y b y b k k x x x x a

+-++--+=

+==． 当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故

OPM OPN ∠=∠，所以点()0,P a -符合题意． ……12分

21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则0()0f x =，

0()0f x '=，代入可解得012x =

，34a =-．因此，当3

4

a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线．

……5分

（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在

()1,+∞无零点．

当1x =时，若54a ≥-

，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5

(1)04

f a =+<．{}(1)min (1),(1)(1)0h f

g f ==<，故1

x =不是()h x 的零点．

当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数．

（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2

()3f x x a '=+/在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调．而

1(0)4f =

，5

(1)4

f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点．

（ⅱ）若30a -<<，则()f x

在? ?单调递减，

在?

???

单调递增，故在()0,1中，

当x =

()f x 取得最小值，

最小值为14f =．

①若0f >，即3

04

a -<<，()f x 在()0,1

无零点．②若

0f =，即34a =-，()f x 在()0,1有唯

一零点．③0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5

(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当5

34

a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点．

综上，当34a >-

或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或5

4a =-时，()h x 有两个零点；当34a >-或5

4

a <-时，()h x 有三个零点． ……12分

22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥．

在Rt AEC ?中由已知得DE DC =，故DEC DCE ∠=∠． 连接OE ，则OEB OBE ∠=∠．又90ACB ABC ∠+∠=?，

所以90DEC OEB ∠+∠=?，故90OED ∠=?，DE 是O 的切线．……5分

（Ⅱ）设1CE =，AE x =

，由已知得AB =

BE

由射影定理，2

AE CE BE =

，所以2x =

x =

60ACB ∠=?．……

10分

23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为

cos 2ρθ=-，

2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．

……5分

（Ⅱ）将4

π

θ=

代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=

，得240ρ-+=

，解得1ρ=

2ρ．

故12ρρ-=

MN =

2C 半径为1，所以2C MN ?的面积为1

2

．……10分

24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->．

当1x ≤-，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->， 解得

2

13

x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<．所以()1f x >解集为2,23x ??

∈

???

．…5分 （Ⅱ）由题设可得12,1

()312,112,x a x f x x a x a x a x a --

=+--≤≤??-++>?

，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的

三个顶点分别为21,03a A -??

???

，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ?的面积为()2213a +．

由题设得()2

2163

a +>，故2a >．所以a 的取值范围为()2,+∞． …10分