粒度分析中混合φ正态模型与混合对数正态模型的关系

粒度分析中混合φ正态模型与混合对数

正态模型的关系

郑海龙，刘小军，冯占科

中国矿业大学（北京）资源与安全工程学院地球科学系，北京 (100083)

E-mail ：zhenghl_1@https://www.360docs.net/doc/f0315709.html,

摘 要：本文研究了沉积物粒度分析中的混合φ正态模型与混合对数正态模型之间的关系。作者用概率论基础知识证明两种模型是一致的。根据这个结论，使用真实粒度数据进行计算比较，其结果是两种模型的参数相当一致。

关键词：混合正态模型；混合对数正态模型；一致 中图分类号：P3

1. 引言

地质学中关于沉积物颗粒粒度分析已经有很长的时间，自Visher （1969）使用累积概率图来表示粒度分布特征以来，累积概率图就成了用粒度分析资料进行环境分析的有效方法。但是曲政（1989，1990）通过正演实验说明Visher 的方法有着理论上的错误，并在φ标度下引入混合正态模型。曲政（1989，1990）使用混合正态模型在φ标度下对沉积物颗粒粒度进行了研究，并指明这是混合对数正态分布的应用，但是并没有进行理论上的证明。事实上，根据这种推断方法，很容易使用概率论的方法证明沉积物颗粒粒度分析中φ标度下的混合正态模型与混合对数正态模型是一致的。

2. 混合分布

所谓的混合分布模型就是指某一随机变量服从于由若干个简单分布按一定比例迭加而构成的一种分布，它拥有以下形式的概率分布函数和概率密度函数：

1(;,)(;)n

i i i i F x c c G x θθ==∑ (1)

1

(;,)(,)n

i i i i f x c c g x θθ==∑ （2）

其中：

(;)i i G x θ为第i 个简单分布的概率分布函数，其中i θ是这个简单分布的参数向量； (,)i i g x θ 表示(;)i i G x θ对应的密度函数，其中i θ是这个简单分布的参数向量；

11(......),1,01n

n i i i c c c c c ===≤≤∑ 表示各个子体的在母体中所占地比例；

n 表示这个有限混合分布中的子体个数。

混合正态分布就是指在混合模型（1）（2）式中的(;)i i G x θ，(,)i g x θ均使用正态分布的概率分布函数和密度函数。

所谓对数正态模型是指设x 是取正值的随机变量，2ln()(,)x N μσ～,则变量x 就服从对数正态分布，其分布函数与密度函数如下：

)),0

()

0,,0

x

x dx x

F x

x

μ

??

?>

??

=?

?

?≤

?

∫

（3）

)),0

()

0,,0

x x

p x

x

μ

??

?>

??

=?

?

?≤

?

（4）

混合对数正态模型就是在混合模型（1）（2）中的(;)

i i

G xθ，(,)

i

g xθ使用式（3）和式（4）代替，从本质上讲，它仍然是正态分布族的分布，因此可以使用正态分布算法，只不过需要进行以下变量的变换。

3.粒度数据混合φ正态分布与混合对数正态分布的一致性

在地质学中，根据前人的经验，沉积物粒度应当是符合混合对数正态分布的，同时在φ标度下符合混合正态分布，因此称之为混合φ正态分布。

颗粒粒度数据的混合对数正态分布是指颗粒粒度直径大小D的分布符合混合对数正态分布，即2

ln()(,)

D Nμσ

～，与混合φ正态分布相比主要有两个不同：

1)使用颗粒直径D本身作为变量，而不是使用变换后的数据作为随机变量；

2)使用的是以1um为单位1，而后者则使用1mm为单位1；

下面通过概率论的基本理论和φ值的计算方法，通过变换证明两种分布是一致的

假设粒度直径为D（um）,则其φ值为

2

log(/1000)

t D

=?，设其混合φ正态分布的分布函数为()

F x,则根据分布函数的定义有：

{}

22

()(log)(log),

10001000

D D

F x P t x P x P x x

=<=?<=>??∞<<∞（5）根据概率知识，通过变量替换可以得到一个新的混合对数正态分布，从而证明它们的一致性：22

1()1(log)(log)

10001000

(ln()ln2*)(ln()ln1000ln2*)

1000

D D

F x P x P x

D

P x P D x

?=?>?=

=

（6）设ln1000ln2*

t x

=?则有

1

()(ln())

F t P D t

=<（7）

这样就得到了一个新的分布函数

1

()

F t，而根据概率论中分布函数的定义

1

()

F t恰好就是我们混合对数正态分布的分布函数。这样，根据概率论知识，通过变换由混合φ正态分布的分布函数得到了混合对数正态的分布函数，由此可知两种分布在本质上是一致的，只是变换方式不同而已。

4.粒度的混合φ正态模型与混合对数正态模型参数估计实例

如果上述证明准确，则它们的计算结果能够相互转化（针对期望和方差），应当能够获得相似的结果，将混合对数正态模型所获得的参数（主要是均值和方差，以3473样本为例）通过转换来与混合对数正态分布的函数进行比较，可以发现它们之间的差距非常小符合前面的推断，因此在实际当中，使用混合φ正态分布和混合对数正态分布在实质上是一样的。

某样本使用混合φ正态模型与混合对数正态模型进行拟合处理的结果与图形：

表1 计算结果

参数 C A

σ

混合对数正态分布参数0．295，

0．795

2．679

5．442

1．697

0．973

转换得出的混合φ正态分布参数0．295，

0．795

6．101

2．115

2．448

1．403

混合φ正态分布参数0．290

0．710

6．149

2．127

2．440

1．416

对比误差（取差值的绝对值）0．005

0．005

0．048

0．012

0．008，

0．013

图1 混合φ正态模型图形

图2 混合对数正态分布图形

(上述两图中绿端点线是真实粒度数据的累积概率曲线（右下数轴构成的坐标系），蓝色端点也为真实粒度数据的累积概率曲线（坐下数轴构成的坐标系），黄色曲线是真实数据的概率密度函数曲线，直方图是个区间所占的百分比，蓝色连续曲线为计算所得的模型的概率密度曲线，粉红线位混合模型子分布的概率密度函数)

5.结论

笔者使用实际数据进行了大量计算，都得到了类似得结果，从而获得了与理论证明相同得结论――沉积物的粒度分析中混合φ正态模型与混合对数正态模型是一致的。

参考文献

[1]曲政．论沉积物粒度表征方法.中国粉体技术，2001，7（4）

[2]曲政．混合正态分布的分解表示及其在粒度数据处理中的应用，中国博士后论文 (3), 1990.

[3]李贤平．概率论基础（第二版）高等教于出版社 2002

[4]Titterington, D.M. , Smith, A.F.M. and Makov,U.E, Statistical Analysis of Finite Mixture Distributions,

1985

The Relation between Mixed PHI Normal Model and Mixed Log Normal Model in Granularity Analysis of Sediments

Zheng Hailong, Liu XiaoJun, Feng ZhanKe

College of Resources & Safty Engineering, China University of Mining and Technology (Beijing),

HaiDian, Beijing (100083)

Abstract

The relation between Mixed PHI Normal Model and Mixed Log Normal Model in granularity analysis of sediments is researched in this text. The author has proved that these two models were consistent through the probability theory. According to the conclusion, using the true granularity data to calculate, the result is that the parameters of two models are identical.

Keywords: Mixed Normal Model, Mixed Log-Normal Model, consistent

作者简介：郑海龙，男，汉族，河北人，2005年获得学士学位，现为中国矿业大学（北京）硕士研究生。目前主要研究关于沉积学中粒度分布的混合正态分布的参数估计问题。本文中所使用的计算方法是本领域中第一次使用。