函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念

★知识梳理

1．函数的概念 (1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为

B A f →:

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域

[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a

[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围

问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a

[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

)32(log 22

1++-=x x y 就是利用函数u y 2

1log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

21

22

+-+=

x x x y 的值域 由2

2122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21

-=x ，所以0

=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=?y y y 得

021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2

13

3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1

cos 3

cos 2+-=x x y 的值域，因为

1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2

5,(1cos 5--∞∈+-

x ，故 ]2

1

,(--∞∈y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数4

32+=x x

y 的值域

当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x

x y 43+

=

，若0>x ，则44

24=?≥+

x

x x x 若0

x

x x x x x ，从而得所求值域是]43

,43[-

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y 的值域

因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(222

4-∈+-=x x x y 在)2

1,1(--上递减、

在)0,21(-

上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,8

15

[ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x

x x f =

)(，?

?

?<-≥=;01,01

)(x x x g

（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x

x f =

)(1+x ，x x x g +=

2)(；

（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数.

（2）由于函数x

x x f =

)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而??

?<-≥=;

01,01

)(x x x g 的定

义域为R ，所以它们不是同一函数.

（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

（4）由于函数x

x f =

)(1+x 的定义域为{}

0≥x x ，而x x x g +=

2)(的定义域

为{}

10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2

+=x x f ，

1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数.

[新题导练]

1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2

; B. y

=

y =2x

; D. y =x

x 2

[解析] B ；因为y

=

t =，所以应选择B

2．(09年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ） A.)21(12>

-=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|1

21|-=x y [解析] C ；根据对数恒等式得1

21

101.01

21

lg )12lg(-=

==--x y x x ，且函数)12lg(1.0-=x y 的定义域为),2

1(+∞，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数=

)(x f )4323ln(1

22+--++-x x x x x

的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需

???

????≠>+--++-≥+--≥+-0043230

430232

2

2

2x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈?x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

题型2：求抽象函数的定义域

[例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则??

? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --

[解题思路]要求复合函数??

? ??+??? ??x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。

[解析]由

202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,2

22 2.x

x

?-<

??-<

解得()()4,11,4x ∈-- 。故??

?

??+???

??x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。 题型3；求函数的值域

[例4]已知函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域

[解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162

≤+-=?a a ，解得2

31≤≤-a ， 所以4

17

)23()3(2)(2++

-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min

-==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,4

19[-

【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

[新题导练]

3.（2008

安徽文、理）函数2()f x =的定义域为 ．

[解析] [3,)+∞；由??

?≠->-≥--1

1,01012x x x 解得3≥x

4．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( )

A ．[1,1]a b --；

B ．[,]a b ；

C ．[1,1]a b ++；

D ．无法确定

[解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的

5．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域是

[解析] ]2

3,1()1,21[ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故

]2

3,1()1,21[ ∈x

6．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,32[，则函数()()1

()

F x f x f x =+的值域 是 [解析] ]310,

2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，令)(x f t =，则)33

2(1≤≤+=t t t F 2

222)1)(1(111t

t t t t t F -+=-=-='，所以，t t F 1+=在]1,32

[上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(x F 的最大值是

3

10

，最小值是2 考点三：映射的概念

[例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文

→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文

2,2,23,4a b b c c

d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.

当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）

A ．7,6,1,4；

B ．6,4,1,7；

C ．4,6,1,7；

D ．1,6,4,7

[解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时，

有214292323428a b b c c d d +=??+=??+=??=?，解得6417

a b c d =??=??=??=?，解密得到的明文为C ．

【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：

（1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统；

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的；

（3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征；

（4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；

（5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练]

7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.

[解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射.

8．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.

[解析] a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}；

∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1）

?????+=+=,133,102

4k a a a 或（2）?????+==+.

13,

10342k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5. ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}.

备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立。

（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的图象与x y =的图象有公共点，证明：

M a x f x ∈=)(

[解析]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ?

（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，

所以方程组：???==x

y a y x

有解，消去y 得a x =x ,

显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a

T x f x x T T

x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M.

★抢分频道

基础巩固训练：

1．(2007·广东改编) 已知函数x

x f -=

11)(的定义域为N ，)1ln()(x x g +=的定义域为

M ，则=N M

[解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M = 2．函数)23(log 3

1-=

x y 的定义域是

[解析] 23(,1]；由1230≤-

13

2

≤

21

2+-=x x y 的值域是

[解析])1,1(-；由1

212+-=x x y 知1≠y ，从而得y y x -+=112，而02>x

，所以

011>-+y y ，即11<<-y

4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ．B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A ；根据映射的定义知可排除B 、C 、D

5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是（ ） A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21

:},0|{,x

y x f y y B R A =→>==

D ．2

:},1,0{},2,0{x y x f B A =

→== [解析]D ；根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 6．（09年执信中学）若函数2

34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25

[4]4

--，，则m 的取值范围是（ ）

A ．(]4,0；

B ．3[3]2，；

C ．3[]2，4；

D ．3[2

+∞，）

[解析]B ；因为函数2

34y x x =--即为425)23(2-

-=x y ，其图象的对称轴为直线2

3=x ， 其最小值为4

25

-

，并且当0=x 及3=x 时，4-=y ，若定义域为[0,]m ，值域为25[4]4--，，则32

3≤≤m

综合提高训练：

8．（05天津改）设函数x x x f -+=22ln

)(，则函数)1

()2()(x

f x f x

g +=的定义域是 [解析] )4,21()21,4( --；由022>-+x x 得，()f x 的定义域为22<<-x 。故???

?

??

?

<<

-<<-21222

2x

x

解得214-

<<-x 或42

1

<

1)(2

++=x x x f 的定义域是]1,[+n n (n 是正整数)，那么)(x f 的值域中共有

个整数

[解析]22+n ；因为4

1

)21(21)(22

++=+

+=x x x x f ，可见，)(x f 在]1,[+n n (n 是正整数)上是增函数，又22)2

1(]21)1()1[()()1(2

2+=++-++++=-+n n n n n n f n f

所以，在)(x f 的值域中共有22 n 个整数