江西省南昌市第二中学2018届高三三轮第二次模拟数学(文)试题

南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试

数学（文）试卷 第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合(){}

2log 2A x y x ==-，{}

2|320B x x x =-+<，则=B C A （ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞

2. 在复平面内，复数23i

32i

z -++对应的点的坐标为()2,2-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（ ）

A ．不全相等

B ．均不相等

C ．都相等，且为

5

201

D ．都相等，且为

140

4. 函数4lg ||

||

x x y x =的图象大致是（ ）

5．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）

A. 1009

B. -1009

C. -1007

D. 1008

6 ．函数)2,0)(sin(2)(π

?ω?ω<>+=x x f 的部分图象如图所示，则)12

17()0(π

f f +的值为（ ） A ．32-

B ．32+

C ．23

1-

D ．2

31+

7．如图，曲线sin

32

x

y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．在正方

形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A.

1

4

B.

1

3

C.

38 D. 34

8. 在斜二测画法中，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为 A ．

22 B ．742 C ．23 D ．21

5-

9.在ABC ?中，5BC =，,G O 分别为ABC ?的重心和外心，5OG BC ?=，则ABC ?的形状是

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.以上三种情况都有可能

10．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为 A.

B. 40

C.

D.

11．已知12F F 、为双曲线22

:

1169

x y C -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点，直线l 分别与以12PF PF 、为直径的圆相切于,A B 两点，则AB =（ ）

B. 3

C. 4

D. 5

12.已知'

()f x 是函数()f x 的导函数 且对任意实数x 都有'

()(23)()(x

f x e x f x e =++为自然对数的底数），(0)1f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）

A.1[,0)e

-

B.21,0e ??

-

????

C.21(,0]e -

D.21

(,0)e

-

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知向量(2,1),(2,3),a b ==-且()ka b -//(3)a b +，则实数k 等于 .

14．设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足???????≤≤≤≤≤+1

0121

122y x y x ，则?的最大值是 ．

15．在三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，其外接球的半径为2，则该三棱锥三个侧面面积之和的最大值是__________．

16．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos c B -

是cos b B 与cos a

A

的等差中项且8a =，ABC ?

的面积为b c +的值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中,公差0d ≠, 735S =，且2511,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列1

1

{}n n a a +的前n 项和，且存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.

18．（本小题满分12分）在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，

M N 、分别为AB CF 、的中点，现

沿

AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合于B ，构成一个三棱锥(如图所示)．

（Ⅰ）在三棱锥上标注出M N 、点，并判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （Ⅱ）G 是线段AB 上一点，且AG AB λ=,问是否存在点G 使得AB EGF ⊥面,若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求多面体E AFNM -的体积．

19（本小题满分12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据。对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图（共21个数据点）及一些统计量的值。为了进一步了解广告投入量x 对收益y 的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：

表中 ln ,i i i u x v = 3.16==.

（1）根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述x 与y 之间的关系？简要说明理由.

(2)根据据(1)的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益y 关于投入量x 的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型（即更适宜作为收益y 关于投入量x 的回归方程）？说明理由：

附：对于一组数据1122(,),(,)x y x y ，……，(,)n n x y ，其中回归直线???y

bx a =+的斜率，截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：

1

2

1

()()

???,()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

a

y bx x x ==--==--∑∑

，()()

n

i

i

x x y y r --=∑

其中r 越接近于是，说明变量x 与y 的线性相关程度越好.

20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、

右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B

. （1）求椭圆的标准方程；

（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，

．求证：212k k -为定值．

21. （本小题满分12分）已知()ln f x x x =，2

()3g x x ax =-+-.

(1)对一切()0,x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切()0,x ∈+∞，12

ln x

x e ex

>-恒成立.

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，设直线2:()2x t l t y t =-??

=?为参数，曲线122cos :()2sin x C y θ

θθ

=+??=?为参数，

在以O 为极点、x 正半轴为极轴的极坐标系中:

(1) 求1C 和l 的极坐标方程:

(2) 设曲线2:4sin C ρθ=.曲线(0,)4

2

π

π

θαρα=><<

,分别与12C C 、交于A B

、两点，若AB 的中点在直线l 上，求AB .

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数13)(+--=x x x f ，R x ∈. (1)解不等式1)(-

(2)设函数4)(-+=a x x g ，且)()(x f x g ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围.

南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试

数学（文）试卷参考答案

一、选择题

1-5 BACDB 6-10 AABBD 11-12 BC 二、填空题

13． 1

3- 14． 5

15． 8 16．

.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中,公差0d ≠, 735S =，且2511,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和，且存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ

的取值范围.

解:(1)由题意可得?????++=+=?+)

10)(()4(352

6771121

1

d a d a d a d a ，即???==+d a d d a 121253 又∵0≠d ，∴1,21==d a ，∴1+=n a n . （2）∵

2

1

11)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n ，

∴)

2(22121211141313121+=+-=+-+++-+-=

n n n n n T n ， ∵*

N n ∈?，使得成立01≥-+n n a T λ成立，

∴*

N n ∈?，使得

0)2()

2(2≥+-+n n n

λ成立，

即*

N n ∈?，使得2

)

2(2+≤

n n

λ成立， 又

16

1

)442(21)44(21)2(22=

+≤++=+n

n n n （当且仅当2=n 时取等号）， ∴161≤λ，即实数λ的取值范围是]16

1

,(-∞.

18．在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，M N 、分别为AB CF 、的中点，现沿AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合于B ，构成一个三棱锥(如图所示)．

（Ⅰ）在三棱锥上标注出M N 、点，并判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （Ⅱ）G 是线段AB 上一点，且AG AB λ=,问是否存在点G 使得AB EGF ⊥面,若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求多面体E AFNM -的体积．

【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）=1λ；（Ⅲ）27

4

试题解析：（Ⅰ）因翻折后B 、C 、D 重合，所以MN 应是ABF ?的一条中位线，如图所示.

则AEF MN 平面// 2分

证明如下：////MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ??

??????

平面平面平面． 4分

（Ⅱ）存在G 点使得AB EGF ⊥面，此时=1λ

因为AB BE AB BF AB BE BF B ⊥?

?

⊥?⊥??=?

面EBF

又G 是线段AB 上一点，且AG AB λ=?,

∴ 当点G 与点B 重合时AB EGF ⊥面，此时=1λ 8分 （Ⅲ）因为AB BEF ⊥面 且6,3AB BE BF ===，

∴1

93

A BEF BEF V A

B S -?=

??=， 9分 又

3

,4

E AFMN AFMN E AB

F ABC V S V S --?==

4

27

=

∨-AFMN E 12分

19

20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、

右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B

. （1）求椭圆的标准方程；

（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与x 轴交于

点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．

20解．（1）因为椭圆的上顶点为(0,1)B

， 所以1,b c a

=???=?? …………………………………………………2分

（第20题） A

Q A

又222a b c =+，得224,1a b ==，

所以椭圆的标准方程是2

214

x y +=；…………………………………………………4分

（2）根据题意，可得直线1:12

x

A B y =

+，直线21:2)A Q y k x =-（， 由11

2

(2)

x y y k x ?

=+???=-?，解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由12

2

(2)44

y k x x y =-??

+=?得22214(2)4x k x +-=，化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=，

因为2A (2,0)，所以2121164241P k x k -=+，所以21212(41)

41

P k x k -=+，

将21212(41)

41

P k x k -=+代入直线方程得：121441P

k y k -=+， 所以211

22112(41)4(

,)4141

k k P k k --++. ……………………………………………8分 又因为(0,1)B ，所以1

2112112141

41212(41)2(21)

41

BP

k k k k k k k --++==----+， 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-

+-，令0y =得，112(21)

(0)21

k R k -+，.………………10分

于是1

112111140211

=2(21)2(21)24

2121

RQ

k k k k k k k k k -- ==++--

-+， 所以121111

2=2(

)242

k k k k -+-=，为定值．…………………………………………12分 21.已知()ln f x x x =，2

()3g x x ax =-+-.

(1)对一切()0,x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切()0,x ∈+∞，12

ln x

x e ex

>

-恒成立. [解] (1)由题意知2x ln x ≥－x 2

＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 则a ≤2ln x ＋x ＋3

x

，

设h (x )＝2ln x ＋x ＋3

x

(x >0)，

则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）

x

2

， ①当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，

所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4.

即实数a 的取值范围是(－∞，4].

(2)证明：问题等价于证明x ln x >x e x －2

e

(x ∈(0，＋∞)).

又f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，

当x ∈? ??

??0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈? ????1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f ? ??

??1e ＝－1e . 设m (x )＝x e x －2

e

(x ∈(0，＋∞))，

则m ′(x )＝1－x

e x ，

易知m (x )max ＝m (1)＝－1

e

，

从而对一切x ∈(0，＋∞)，ln x >1e x －2

e x

恒成立.

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，设直线2:()2x t l t y t =-??

=?为参数，曲线122cos :()2sin x C y θ

θθ

=+??=?为参数，

在以O 为极点、x 正半轴为极轴的极坐标系中: (1) 求1C 和l 的极坐标方程:

(2) 设曲线2:4sin C ρθ=.曲线(0,)42

π

π

θαρα=><<,分别与12C C 、交于A B 、两点，

若AB 的中点在直线l 上，求AB .

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：（1）先把的参数方程化为直角方程，再把直角方程化为极坐标方程；

（2）因为共线，从而，因此中点的极坐标为

，

代入直线的极坐标方程后可求出的三角函数值，从而求得的长.

详解：(1) 消去可得，即

，

化为极坐标：，

消去可得，化为极坐标：

.

(2) 中点的极径为

， 将代入2

中， 化简得：

，故，

故，，

.

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数13)(+--=x x x f ，R x ∈. (1)解不等式1)(-

(2)设函数4)(-+=a x x g ，且)()(x f x g ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范

(2)函数g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，即|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2，

2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．

故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．