高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标:
1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.
2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.
二、知识要点分析
1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?
b
a
dx x f )(
2. 定积分的几何意义:
(1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?
b
a
dx x f )(的几何意义是:y=f (x )
与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.
?
b
a
dx x f )(的几何意义是介于x 轴、
函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号.
在图(1)中:0s dx )x (f b
a
>=?
,在图(2)中:0s dx )x (f b
a
<=?
,在图(3)中:dx
)x (f b
a
?
表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和.
注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?
b
a
dx x f )(,仅
当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于
?
b
a
dx x f )(.
3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b
a
b a
b
a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [
(2)??=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数)
(3)
??
?+=b
c
b
a
c a
dx x f dx x f dx x f )()()(
(4)若在区间[a ,b ]上,?
≥≥b
a
dx x f x f 0)(,0)(则
推论:(1)若在区间[a ,b ]上,?
?≤≤b
a
b
a
dx x g dx x f x g x f )()(),()(则
(2)??
≤b
a
b
a
dx x f dx x f |)(||)(|
(3)若f (x )是偶函数,则??
=-a a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a
a
dx x f
4. 微积分基本定理:
一般地,若)()()(],[)(),()('
a F
b F dx x f b a x f x f x F b
a
-==?
上可积,则
在且
注:(1)若)()('
x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据导数定义知:F (x )+C 也是f (x )的原函数,求定积分
?
b
a
dx x f )(的关键是求f (x )的
原函数,可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x ).
(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算.
【典型例题】
知识点一:定积分的几何意义
例1.根据
?
=π
20
0sin xdx 推断:求直线x=0,x=π2,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成
的曲边梯形面积下列结论正确的是( )
A .面积为0
B .曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积
C .曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积
D .曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积
题意分析:本题考查定积分的几何意义,注意dx x ?
π
20
sin 与y=sinx 及直线x=a ,x=b 和x 轴
围成的面积的区别.
思路分析:作出函数y=sinx 在区间[0,π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.
解:对于(A ):由于直线x=0,x=π2,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.
对于(B ),(C )根据y=sinx 在[0,π2]内关于()0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知:答案(D )是正确的.
解题后的思考:本题主要考查定积分的几何意义,体现了数与形结合的思想的应用,易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0,x=π2围成的面积等于
?
π
20
)(dx x f .
例2.利用定积分的几何意义,说明下列等式的合理性 (1)121
=?xdx
(2)
?
=
-1
24
1π
dx x .
题意分析:本题主要考查定积分的几何意义:在区间[0,1]上函数y=2x ,及y=21x -恒为正时,定积分
?
1
2xdx 表示函数y=2x 图象与x=0,x=1围成的图形的面积,dx x ?-1
2
1表
示函数y=21x -图象与x=0,x=1围成的图形的面积.
思路分析:分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象,求此图象与直线x=0,x=1围成的面积.
解:(1)在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0,x=1(如图),它们围成的图形是直角三角形.其面积?S =
1122
1
=??.由于在区间[0,1]内f (x )恒为正,故1210=?xdx .
(2)由]1,0[,11222∈=+?-=x y x x y ,故函数y 21x -=(]1,0[∈x 的图象如图所示,所以函数y 21x -=与直线x=0,x=1围成的图形面积是圆12
2
=+y x 面积的四分之一,
又y 21x -=在区间[0,1]上恒为正.
?
=
-1
24
1π
dx x
解题后的思考:本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间[0,1]上的定积分的值,体现了数与形结合的思想的应用,易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.
例3.利用定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
题意分析:本题考查定积分的几何意义,
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值是函数
|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0,x=4所围成图形的面积.
思路分析:首先把区间[0,4]分割为[0,1],[1,3],[3,4],在每个区间上讨论x -1,x -3的符号,把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数,再根据定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
解:函数|3||1|-+-=x x y 化为??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]
1,0[(,42x x x x x y
由于函数??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间[0,1],[1,3],[3,4]都恒为正.
设函数y=-2x+4的图象与直线x=0,x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1,x=3围成的面积是S 2 函数y=2x -4的图象与直线x=3,x=4围成的面积是S 3 由图知:S 1=S 3=
,31)24(2
1
=?+S 2=422=? 由定积分的几何意义知:
?
-+-4
|)3||1(|dx x x =10231=++S S S
解题后的思考:本题考查的知识点是定积分的几何意义,利用其几何意义求定积分
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值,体现了等价转化的数学思想(把区间[0,4]分割,把函数
y=|x -1|+|x -3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是:区间[0,4]分割不当及画函数图象不准确,造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时,常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.
小结:本题主要考查定积分的几何意义,要分清在区间[a ,b ]上f (x )恒为正时,f (x )在区间[a ,b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ,x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时,恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
1.(2010·山东日照模考)a =??0
2x d x ,b =??02e x d x ,c =??0
2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A .a B .a C .c D .c 2.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1 12 B.14 C.13 D.712 (2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y =x 2上从原点到A (2,4)移动,如果把由直线OP ,直线y =x 2及直线x =2所围成的面积分别记作S 1,S 2.如图所示,当S 1=S 2时,点P 的坐标是( ) A.????43,169 B.???? 45,169 C.????43,157 D.????45,137 3.由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x 3所围成的图形的面积为( ) A .4 B.4 3 C.18 5 D .6 4.(2010·湖南省考试院调研)? ?1-1(sin x +1)d x 的值为( ) A .0 B .2 C .2+2cos1 D .2-2cos1 5.曲线y =cos x (0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积是( ) A .2π B .3π C.3π 2 D .π 6.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-32 3 C .有最小值-32 3,无最大值 D .既无最大值也无最小值 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1 t d t ,若f (x ) 值范围是( ) A.?? ? ?36,+∞ B .(0,e 21) C .(e -11 ,e ) D .(0,e 11) 8.(2010·福建厦门一中)如图所示,在一个长为π,宽为2的矩形OABC 内,曲线y =sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A.1π B.2π C.3π D.π4 9.(2010·吉林质检)函数f (x )=???? ? x +2(-2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.3 2 B .1 C .4 D.12 10.(2010·沈阳二十中)设函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数g (x )=-x 3,f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ,f (x )与g (x ) 的图象交点的个数记为n ,则??m n g (x )d x 的值是( ) A .-52 B .-43 C .-54 D .-76 11.(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx +c =0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.34 12.(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0),A (1,0),B (1,1),C (0,1),曲线y =x 2(x ≥0)与x 轴,直线x =1构成区域M ,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域M 内的概率是( ) A.12 B.14 C.13 D.25 二、填空题 13.(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )=3x 2+2x +1,若? ?1- 1f (x )d x =2f (a )成立,则a =________. 14.已知a =∫π20(sin x +cos x )d x ,则二项式(a x -1 x )6的展开式中含x 2项的系数是 ________. 15.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. 16.(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2=ax (a >0)与直线x =1围成的封闭图形的面积为4 3, 若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x -y +6=0,则l 的方程为______. 17.(2010·福建福州市)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1 12,则a 的值为 ________. 三、解答题 18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y =x 2,试在此区间内确定t 的值,使图中阴影部分的面积S 1+S 2最小. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分? b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x ) 与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=? ,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=? ,在图(3)中:dx )x (f b a ? 表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(,仅 当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3) ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a ,b ]上,? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分与微积分基本定理 基础热身 1.已知f (x )为偶函数,且 ??0 6f(x)d x =8,则? ?6-6f(x)d x =( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设f(x)=??? x 2,x ∈[0,1], 1 x ,x ∈1,e ] (其中e 为自然对数的底数),则??0 e f(x)d x 的值为( ) B .2 C .1 3.若a =??0 2x 2d x ,b =??0 2x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A .a A .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A . J B . J C . J D . J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函 数f K (x )=????? K ,fx ≤K ,fx ,fx >K , 则当函数f (x )=1x ,K =1时,定积分??214f K (x)d x 的值为________. (x -x 2)d x =________. 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________. 13.由抛物线y 2 =2x 与直线x =12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A ,直线x =t (0定积分与微积分基本定理练习题及答案
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