数学建模论文-私家车保有量增长及调控数学模型

私家车保有量增长及调控数学模型

摘要

我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右。在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。本文对针对某地区私家车保有量增长及调控问题进行了探讨和研究。分别建立了主成份分析模型分析影响汽车保有量的因素并对汽车保有量进行预测。利用经济学相关知识分别建立了私人汽车保有量与人均国内生产总值、存款准备金率及一年存款利率之间的函数关系，对应建立了多元线性回归模型，通过建立一个线性优化模型，来到到对未来一段时间该地区公交车及私人小汽车保有量的一个合理调控方案。

关键词：主成分分析多元线性回归模型线性优化模型

一、问题重述

据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比。2003年，我国国内人均GDP首次突破1000美元，这预示着中国汽车开始进入家庭消费阶段。而事实表明，随着中国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系。随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。

然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求。我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX和PM允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准)。规定生产的汽车从2000年1月1日起实施国Ⅰ排放标准，从2005年1月1日起实施国Ⅱ排放标准，从2007年7月1日起实施国Ⅲ排放标准，从2010年1月1日起实施国Ⅳ和国Ⅴ排放标准(实现基本与欧洲标准同步)。据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。因此，基于上述的现象我们研究下述问题：

1、根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？

2、自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等. 据统计, 2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？

3、假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX 排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？

二、基本假设

1.假设附录中所提供的历史数据真实有效；

2.假设社会是稳定的，发展是平稳的，不考虑因突发事件而导致保有量的突变；

3.假设汽车生产厂家不会出现停产或者供应不足的现象；

三、问题分析

问题一的分析：

对于问题一，要求我们分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量。从所给数据表中我们知道影响汽车保有量的因素有11个。考虑到用主成分分析法，从所有因素出发，不区分经济因素和环境

因素，采用降维的思想，通过对所有因素的相关性分析，剔除相关性较差的影响指标，从而分析出对汽车保有量影响较大的因素，采用这些指标，不仅可以最大程度地反映原始信息，同时使得变量减少，更利于我们的模型建立和模型求解，更具实用性。

问题二的分析：

对于该问题，政府采取的一系列货币政策，如加息、提高人民币存款准备金率等，其直接的影响因子为居民的人均可支配收入以及居民存储款余额，从而影响私人汽车保有量。我们可以通过查阅相关资料，得到我国历年的息率调整以及存款准备金率的调整值。由经济学的相关常识可以知道，人均国内生产总值对人均可支配收入有直接影响。我们可以建立居民人均可支配收入与人均国内生产总值以及存款准备金率之间的关系，然后通过分析，建立居民储蓄款余额与人均国内生产总值以及利率调整之间的函数关系式。

问题三的分析：

问题三要求对公交车和私人汽车保有量进行调控，首先我们希望选定调控标准，即表示方法。由于题目中并没有给出具体的数据来显示该地区的公交车量数，因此我们没有办法给出具体到辆的调控方案，因此我们决定采用比例的形式给出调控方案。使得该地区私家车保有量与公交车辆数保持在一定的比例，只要给出总的汽车辆数，即可知道两类车具体的数量。

四、符号说明

五、模型的建立及求解

问题一的模型建立及求解：

主成分分析预测模型：

主成分分析是利用降维的思想, 通过构造原始指标的适当的线性组合, 以产生一系列互不相关的综合性指标, 从中选出少数几个综合指标, 并使它们含有尽可能多的原始指标所反映的信息, 进而用这较少的几项综合性指标来刻画个体。由于该方法具有消除指标之间的相关性而降维, 以及指标权重确定的客观性(以各主成分方差贡献率作为指标的权重值) 的特点, 因而独具特色，并且特别适用于本问题的研究。

题中所给的历史数据并没有明确的指出影响该地区的私人汽车保有量的因素，因此，基于主成分分析法是建立在各个变量相关的基础上，本文通过对题目中所给的十一个变量的相关性分析，我们可以看到：除去城市交通干线噪音均值这一因素与其它相关性为负外，其余的都有很强的相关性。所以在这一模型中忽略这一因素对私家车保有量的影响。即假定影响私家车保有量的只有十个因素。模型的求解：

求解预处理：

首先对影响因素标准化，我们选择2007年的各项因素指标单位为1，其它年份的因素指标参照2007年均分别进行标准化，得到无量纲的各因素的标准比值如表所示。

表1.标准化结果

年份人均国

内生产

总值

(元)

全社会

消费品

零售总

额(亿

元)

全社会

固定资

产投资

总额

(亿元

运营公

交车辆

数（辆

公交营

运总数

(亿人

次)

公交车

营运总

里程

(万公

里)

道路总

长(公

里)

居民人

均可支

配收入

（元）

居民储

蓄款余

额(亿

元)

汽油

(93

号)年

均价

(元/

升)

私人汽

车保有

量(万

辆)

1996 0.3409 0.1561 0.2435 0.3246 0.3392 0.2267 0.2544 0.5427 0.154 0.3847 0.0274 1997 0.3865 0.1706 0.2903 0.3374 0.3731 0.2435 0.2724 0.6187 0.1866 0.4475 0.0319 1998 0.4202 0.222 0.3529 0.3421 0.3081 0.254 0.3086 0.6615 0.2273 0.4553 0.0372 1999 0.4253 0.2454 0.4235 0.3526 0.4172 0.2695 0.3504 0.6736 0.2484 0.4671 0.0425 2000 0.5179 0.2825 0.4582 0.3566 0.4425 0.2799 0.4135 0.7194 0.2855 0.5358 0.0593 2001 0.5472 0.4368 0.5103 0.4268 0.4769 0.3478 0.4698 0.7832 0.3621 0.5672 0.0805 2002 0.5811 0.4944 0.586 0.4268 0.5145 0.3527 0.5903 0.8296 0.4631 0.5535 0.115 2003 0.6803 0.5749 0.7205 0.5966 0.5188 0.5139 0.7249 0.8627 0.5799 0.6045 0.1673 2004 0.7483 0.6565 0.8123 0.6566 0.5435 0.6114 0.7988 0.8847 0.6922 0.6987 0.2566 2005 0.8144 0.7547 0.8744 0.7439 0.8091 0.7384 0.863 0.9478 0.8515 0.7812 0.4522 2006 0.8913 0.8773 0.947 0.8922 0.9038 0.9346 0.9023 0.9855 0.9874 0.9774 0.692 2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

通过matlab软件编程求解，得到：特征值、特征向量以及方差贡献率。

表2.特征值及方差贡献率

方差贡献率是衡量各因子相对重要程度的指标，方差贡献率的大小，表示各个主成分的相对重要程度。在统计学中，一般认为主成分的累积贡献率达到85%

即可保留有效信息。由表可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达

99.5%，说明前三个主成分提供了原始数据的足够信息，通过检验，提取前三个主成分。故只需求出第一、第二、第三主成分123,,z z z 即可。 模型求解：

计算出三个特征值的特征向量123,,e e e ，再求出各个变量1x ，2x 10x 在主成分123,,z z z 上的载荷。

0.31990.10130.01080.31970.1069-0.00550.31720.32120.09340.3164-0.29050.4508 0.3100-0.4579-0.58500.3166 -0.33280.31650.31620.33990.2541 0.31070.5048 -0.4510 0.31990.0187 0.13630.3155-0.3155 -0.2429z ??=??????????????????????????????

1123456

789102123456

78910310.31990.31970.31720.31640.31000.31660.31620.31070.31990.31550.10130.10690.3212 -0.2905-0.4579-33280.33990.5048 0.0187 -0.31550.0108-0z x x x x x x x x x x

z x x x x x x x x x x z x =+++++++++=+++++=2345678910

.00550.09340.4508-0.58500.31650.2541-0.45100.1363-0.2429x x x x x x x x x ???

???

?

?+++?++?? 根据表的数据，各个变量1x ，2x 10x 在主成分123,,z z z 上的载荷如下表所示：

在matlab 软件中分别作出各个变量1x ，2x 10x 在主成分123,,z z z 上的载荷与私有汽车保有量y 的关系图：

主成分

私人汽车保有量

主成分上的载荷与私有汽车保有量关系图

从图中的趋势大致可以看出，y 与1z 大致呈二次关系，y 与23,z z 大致呈线性关系。于是，我们可以利用主成分分析建立多元线性回归模型：

20112233y z z z ββββε=++++

式右端的123,,z z z 称为回归变量（自变量），0123,,,ββββ称为回归系数。 我们利用matlab 数学软件包编程求解，得到回归模型为：

21230.06620.09640.63590.089y z z z =-+--

利用matlab 编程进行求解2010年该地区私人汽车保有量的预测值。（程序见附录）

实际的私人汽车保有量和预测值标准化的比较如表6所示

私人汽车保有量和预测值标准化的比较

年份 y 标准 预测值 1996

0.0274

0.0293

1996

1998

2000

20022004

2006

2008

00.10.20.30.40.50.60.7

0.80.91汽车保有量预测值与实际值的比较

年份

汽车保有量值标准

对该地区私人汽车保有量的预测

为了预测2010 年的汽车保有量。我们有两种处理方式：

①需要2010 年人均国内生产总值、全社会消费品零售总额等因素的预测值。 ②直接通过拟合对2010年的z1、z2、z3值进行预测。 我们采用第二种方式，得到的结果如下：

2010年时z1为4.3430，z2为6.478，z3为-1.701，则代入方程中，得到： 2010年y 值为-2.2159;

最后得到2010年私车保有量用标准化前数据为250.3967，单位：万辆。 问题二的模型及求解： 模型的分析：

根据问题分析可以建立：居民人均可支配收入与人均国内生产总值之间的如下关系

91(,)x f x p

由人均国内生产总值与利息对居民储蓄的关系可知人均国内生产总值和利

1997 0.0319 0.0465 1998 0.0372 0.0022 1999 0.0425 0.0398 2000 0.0593 0.0577 2001 0.0805 0.0966 2002 0.115 0.0853 2003 0.1673 0.1672 2004 0.2566 0.2585 2005 0.4522 0.5021 2006 0.692 0.7691 2007

1

0.906

息都对居民储蓄款余额有直接影响，因此根据分析可以建立以下关系

101(,)x f x q

根据题目已知信息，2007年我国政府5次升息，9次上调存款准备金率。通过对问题二的分析，我们知道这两项措施对私人汽车保有量均有影响。因此，我们通过对存款准备金率进行查询，得到表7如下所示

1996年～2007年各年份的存款准备金率

年

份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 p

13

13

8

6

6

6

6

6.5

7.25 7.5

8.25 11.55

通过Matlab 工具箱作图分析存款准备金率与人均国内生产总值对人均可支配收入的影响

4

存款准备金率

人均可支配收入

存款准备金率与人均可支配收入关系 人均国内生产总值与人均可支配收入关系

通过对图进行分析，可以知道存款准备金率与人均可支配收入大致成二次关系，人均国内生产总值与人均可支配收入成二次关系。

同理地，我们对存款的年利率进行查询，得到如下所示

1996年～2007年各年份的存款利率

通过Matlab 工具箱分析人均国内生产总值和利息都对居民储蓄款余额的直接影响如下所示

年存款利率与储蓄余额关系 人均生产总值与存款余额关系

通过作图分析，我们可以发现一年的存款利率与居民储蓄款余额成反比例关系，人均国内生产总值与居民储蓄款余额成一次线性关系。 模型的建立：

根据模型的分析，建立人均可支配收入与人均国内生产总值及存款准备金率的多元线性回归模型为

291213x x p ααα=++

模型求解：

通过Matlab 软件进行求解可得到该模型的表达式为 2291196310.000002326x x p =+-

2R 检验值：0.9817；F 检验值：241

问题三的模型及求解： 模型分析：

考虑到环境因素（即汽车排污量）对私人汽车保有量的约束，且以后一段时间内相关因素变量都是未知的，可以考虑通过统计分析模拟，得到以后一段时间内其预测值，然后以此为以知条件，以排污量最小为目标函数，通过建立一个线性优化模型，来到到对未来一段时间该地区公交车及私人小汽车保有量的一个合理调控方案。 模型假设：

假设在2007年第二季度到2010年这个期间该地区的车辆数无报废及损坏情况，且执行欧III 标准以前所有汽车都是欧II 标准，执行以后所有新增的汽车都到达欧III 标准。

模型的建立：

由于问题三很多数据都是未知的，我们在一二问的基础上，通过SPASS 软件与matlab 软件进行统计分析，，得到一个对未来一段时间相关因素变量的预测表达式，从而得到相关因素变量的值。在将其当已知量进行运用，到达在符合环境条件下对未来一段时间公交车与小汽车的合理调配。

由已知数据利用matlab 回归分析得到未来一段时间相关变量的预测值。

1）未来一段时间公家车的总数表达式：

6

=-?

t

y500 1.032110

2）未来公家车运营总数与相对应时间公家车总数的关系式：

=?+

50.002340.5194

x x

3）未来一段时间城市干道噪音均值与公家车总数的关系：

=+

60.0000065539569.609

x x

根据以上相关函数可得到2010年的公家车辆总数的预测值：8372辆

因为是根据该地区的污染排放情况来调控公家车与私家车保有量的，所以我们

可建立总排放污染最小的目标函数：

a)目标函数的建立

目标函数因由两种汽车对三种污染物的排放总值：即由两种汽车对CO、HC+NOX、

PM的排放总和，分析如下：

两种汽车对CO的排放总量为：

?+?+?+?

(a011n2)(2132)

n a a m a m

两种汽车对HC+NOX的排放总量为

?+?+?+?

(0112)(2132)

b n b n b m b m

两种汽车对PM的排放总量为：

(0212)(2132)

?+?+?+?

c n c n c m c m

所以目标函数可表达为：

a b c n a b c n s a b c m a b c m s

=++?+++??+++?+++??min[(000)1(111)2]1[(222)1(333)2]2 b)约束条件的建立：

约束一根据调控前后总数不变原理，有

***

+++=++

n n m m n n m

1212121+m2*

约束二：运营总人数约束，2010年的公家车运营总数因大于2008年的，有

X5>20.52

约束三：2010年的城市噪音均值应小于2008年的，有

X6<69.3

约束四：固有约束，公家车与私家车的总里程数关系及它们的污染排放关系：

路程约束:5s1=s2,

污染约束：[a0,b0,c0]/10=[a2,b2,c2]; [a1,b1,c1]/10=[a3,b3,c3]

综合汇总得：

目标函数：

Min=

++?+++??+++?+++??[(000)1(111)2]1[(222)1(333)2]2

a b c n a b c n s a b c m a b c m s

约束条件：

[][][][]

***1212121+m2*X520.52.X669.3

5s1s2a0,b0,c0/10a2,b2,c2; a1,b1,c1/10a3,b3,c3n n m m n n m s t ?+++=++?

>??

利用所需的相关因素及其预测值，用lingo 软件求解2010年的优化模型，得最

从2010年所排放污染量最小值为81.27174210kg ?

所以最终优化结果为调控（调控的是用回归分析算出的预测值）后的公家车的数目为:8696辆，私家车的数目为:239.5399万辆。 如果想继续求以后的私家车保有量调控数据，可根据以上算法求出相关量的预测值，进行优化模型，做一个简单的预测。

六、模型的评价

模型的评价：

主成份分析中综合考虑各种因素，既有降低无关因子即某一些不是很重要的 成分去除，留下较为重要的成分，使我们能够较正确的预测未来的值，但也有一些不足那就是计算过程较为繁琐，精密度也有些欠佳，此方法本来是用来分类的，对分类是较好的首选，此次本人尝试做预测问题，效果感觉也不错。

在问题三中，我们结合回归模型和优化模型结合到一起。首先利用回归模型得到了一个对未来相关量的可靠预测截获，再利用优化模型对其进行优化求解，从而求得了合理的结果。但该模型在一定程度的精度可能还不是很高，存在一定的误差，还可以通过多次迭代进行减小误差减，从而求得较精确结果。

七、参考文献

[1]姜启源等编，数学模型(第 3 版)，北京：高等教育出版社，2003.8 。 [2]韩中庚编，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005，6. [3]龚华炜等，基于计量经济学模型的汽车保有量预测，交通运输系统工程与信息，第5卷第2期：74—78，2005。

[4]何明等，BP 神经网络主成分分析法在汽车保有量预测中的应用，交通与计算机，第25卷第4期：96—99，2007。

附录：

附表1.1996—2008年某地区相关的数据统计

1996-2008年某地区相关的统计数据

function result=cwfac(vector);

vector=[0.340818722 0.156089239 0.243516729 0.324621397

0.339247312 0.226707986 0.254401105 0.54272694 0.15395507

0.367041199

0.386501054 0.170603675 0.290342007 0.337445042 0.37311828

0.243510647 0.272350708 0.618700728 0.186592311

0.426966292

0.420115878 0.222047244 0.352884758 0.342085979 0.308064516

0.253973218 0.308595098 0.661477564 0.227253072

0.434456929

0.425253405 0.24544357 0.423457249 0.352589155 0.417204301

0.269539135 0.350362444 0.673552207 0.248375784

0.445692884

0.517792 0.282503937 0.458178439 0.356619443 0.442473118

0.279873767 0.413531239 0.719356019 0.285450614

0.511235955

0.547127656 0.436766404 0.510312268 0.426844162 0.47688172

0.347780968 0.469796341 0.783155374 0.362126246

0.541198502

0.581032807 0.494456693 0.58598513 0.426844162 0.514516129

0.35274216 0.590265792 0.829624455 0.463138744 0.528089888 0.680211055 0.574871391 0.720520446 0.596604787 0.518817204

0.513874279 0.724887815 0.862721618 0.579945156

0.576779026

0.748172833 0.656503937 0.812342007 0.656570591 0.543548387

0.611378046 0.798757335 0.884675515 0.692242789

0.666666667

0.814266419 0.754682415 0.874423792 0.743893503 0.809139785

0.738435732 0.862961685 0.9478096 0.85150029 0.745318352

0.891139976 0.877317585 0.946988848 0.892159257 0.903763441

0.934594718 0.902312737 0.985530386 0.987370142

0.93258427

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];

fprintf('相关系数矩阵:\n')

std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵

fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')

[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)

newval=diag(val) ;

[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引

fprintf('特征根排序：\n')

for z=1:length(y)

newy(z)=y(length(y)+1-z);

end

fprintf('%g\n',newy)

rate=y/sum(y);

fprintf('\n贡献率：\n')

newrate=newy/sum(newy)

sumrate=0;

newi=[];

for k=length(y):-1:1

sumrate=sumrate+rate(k);

newi(length(y)+1-k)=i(k);

if sumrate>0.85 break;

end

end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中

fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));

fprintf('主成分载荷：\n')

for p=1:length(newi)

for q=1:length(y)

result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));

end

end %计算载荷

disp(result)

xlswrite('F:\subei\shenjingwl.xls',vec)

附录3.存款准备金率与人均可支配收入关系的matlab程序

x=[6 6 6 6 6.5 7.25 7.5 8 8.25 11.55 13 13];

y=[20249 21626 23544 24941 25936 26596 28494 19886 29628 30063 16316 18600];

plot(x,y,'o')

axis([6,14,10000,35000]);

hold on

y1=polyfit(x,y,2)

y2=polyval(y1,x)

plot(x,y2)

hold off

xlabel('存款准备金率');

ylabel('人均可支配收入');

legend('实际值','二次拟合')

附录3.人均国内生产总值与居民存储款余额关系的matlab程序

x=[33689 41020 43344 46030 53887 59271 64507 33282 70597 19223 27000 30619];

y=[583.89 707.67 861.88 941.99 1082.6 1373.4 1756.5 2199.5 2625.4 3229.4 3744.7 3792.6];

plot(x,y)

xlabel('人均国内生产总值');

ylabel('居民存储款余额');

附录4.问题2回归模型二的matlab程序

X=load('F:\subei\wenti22.txt');

x1=X(:,1);%人均国内生产总值

q=X(:,2);%一年存款利率

y=X(:,3);%居民储蓄款余额

plot(x1,y)%作图分析

plot(q,y)

T=[ones(12,1) x1 1./q];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,T);%回归分析

b,stats

附录5：lingo程序：

min =

(n2*(a1+b1+c1)+n1*(a0+b0+c0))*s1+(m2*(a4+b4+c4)+m1*(a3+b3+c3))*s2;

s2=93988.95;

s1=0.2*s2;

n2+n1+m2+m1=2404095;

m1=8328;

n1=103.5*10^4;

a0=2.2;

b0=0.5;

c0=0;

a1=2.3;

b1=0.56;

c1=0.05;

a2=a0/10;

b2=b0/10;

c2=c0/10;

a3=a1/10;

b3=b1/10;

c3=c1/10;

(m1+m2)*0.0023+0.5194 >=20.52;!此为2010的客运总人数要比08年大;

(m1+m2)*0.0000065539+69.069<=69.3;!2010年的城市干线噪音污染均值要比08的污染小;

@GIN(m2);

@GIN(n2);

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