2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)_九、立体几何(逐题详解)
设平面BCM 的法向量=（x ，y ，z ），则，
令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ． 则sin θ=|cos
|=
=
=
30.【2014年湖南卷（理19）】(本小题满分12分) 如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，11111O D B C A = ， 四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;
（2）若
60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.
解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1.
由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又
O BD AC = ，
故 ⊥O O 1底面ABCD .
(2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC .
图6O O 1D 1C 1B 1
A 1
D A B C
由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，
又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，
因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，
进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.
不妨设2=AB ,因为
60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，
在
1
1B OO Rt ?中，易知
7
3
2
11111=?=
OB B O OO H O ，
7
19
212
111=
+=H O C O H C ， 故1957
27
19
732
cos 1111=
==∠H C H O HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19
57
2. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥， 又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.
如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.
不妨设2=AB ,因为
60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：
)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知
)0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，
设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则?????=?=?0
1212OC n OB n ，即???=+=+02023z y z x ，取
3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .
设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是
|,cos |cos 21><=n n θ|
|||||2121n n n n ??=19
57
219
32=
=
.
即二面角D OB C --11的余弦值为19
57
2.
31.【2014年辽宁卷（理19）】（本小题满分12分）
如图，ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，
0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值
.
（Ⅰ）证明：
（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，
由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2
π
，即FO ⊥BC ， 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ?面EFO ，所以EF ⊥BC .
（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
易得B （0,0,0），A (0，-1，3),D (3,-1,0)，C (0,2,0),因而1331
(0,,
),(,,0)2222
E F ,所以33
(
,0,),(0,2,0)22
EF BC =-=，因此0EF BC ?=,从而E F B C ⊥，所以EF BC ⊥.
（Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =
12EC =1
2
BC ·cos 30°=32，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =?=,
因此tan ∠EGO =
2EO OG =,从而sin ∠EGO =255，即二面角E -BF -C 的正弦值为25
5
. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量
2(,,)n x y z =，又31
13(
,,0),(0,,)22
22B F B E ==,由220
n BF n BE ??=???=?? 得其中一个2(1,3,1)n =-，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则
1212121
cos |cos ,||
|||||5
n n n n n n θ?=<>==
?，因sin θ=25=255，即二面角E -BF -C 的正弦值为25
5
.
32.【2014年全国大纲卷（19）】（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，0
90ACB ∠=，
11,2BC AC CC ===.
（
1）证明：11AC A B ⊥；
（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.
解：法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ?平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC .又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C .连结1A C .因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.
（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ?平面11BCC B ，故平面11AAC C ⊥平面11BCC B . 作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B .
又直线1A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A 与平面11BCC B 的距离，13A E =.
因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==
.
作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F .由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角.
由22111AD AA
A D =
-=得D 为C A 中点，
15
=25
AC BC DF AB ??=
，11tan 15A D A FD DF ∠==. 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15。
解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -
由题设知1A D 与x 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内 （1）设1(,0)A a
c ，由题设有2,(2,0,0),(0,1,0)a A B ≤，则(2,
10),(2,0)A B A C =-=-
，
1(2,0,)AA a c =-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-………………2分
由221||2(2)2AA a c =?
-+=即2240a a c -+=①
于是2211
40AC BA a a c ?=-+=，所以11AC A B ⊥……………………5分 （2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，所以
10,0m CB m BB ?=?=
因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ===-，所以0(2)0y a x cz =??-+=?
令x c =，则2z a =-，所以(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为
2222222|||cos ,|2||(2)44
CA m c c c
CA m CA c m c a a a c ??<>=
====+--++
又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c = 代入①解得3a =（舍去）或1a =………………………………8分
于是1(1
,0,3)AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥ 所以10,0n AA n AB ?=?=，所以3303202p r r p p q q p
??-+==
????
?-+=???=?
，令3p =，则23,1,(3,23,1)q r n ===
又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故
22211
cos ,4
||||(3)(23)11n p n p n p ?<>=
==?++?
所以二面角1
A A
B
C --的大小为1arccos 4……………………12分. 33.【2014年山东卷（理17）】（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，
60,DAB ∠=22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.
（I ）求证：111//C M A ADD 平面；
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
M
A
（II ）若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD ，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD
1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =
又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =
11//D C AM ∴,11D C AM = 11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴
又111ADD A M C 平面? 111ADD A AD 平面?
111//ADD A AD 平面∴
（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A
共面与面1111D ABC M C D ∴
作AB CN ⊥,连接N D 1
则NC D 1∠即为所求二面角
在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 2
3=
∴CN 在CN D Rt 1?中，31=CD ,23=CN 2
151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点
以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，
)0,2
3
,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴
)3,2
3
,21(),0,0,1(111-==∴M D D C
设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x n =
???
??=-+=∴0323
2
101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n
55
5
1,cos 2
12121==
?>=
<∴n n n n n n 显然二面角为锐角，
所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为
5
5
55
15
32
1523
cos 11====∠∴N D NC CN D
34.【2014年四川卷（理18）】三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。
（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。
解：（1）由三棱锥
A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中： 平面ABD ⊥平面CBD ，2A
B AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC
于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ?BD AC ⊥
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故
BD NP ⊥
假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=矛盾 所以P 为线段BC 的中点
（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则(0,0,3)A ，13(,0,)22M -
，13(,0,)22N ，13
(,,0)22
P 于是1
3(,0,)22AN =-
，33(0,,)22
PN =-，(1,0,0)MN = 设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z =和222(,,)n x y z =
由00
AN m PN m ??=???=???11
111302233022
x z y z ?-=????-+=??，设11z =，则(3,1,1)m =
由00
MN n PN n ??=???=???2220
33
022
x y z =??
?-+=??，设21z =，则(0,1,1)n = 210
cos ,5||||52
m n m n m n ?=
==?? C
A
B
D
M N
P
所以二面角A NP M --的余弦值105
35.【2014年天津卷（理17）】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；
⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.
解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．
(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)，DC ＝(2，0，0)， 故BE ·DC ＝0， 所以BE ⊥DC .
(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则???
?
?n ·BD ＝0，n ·PB ＝0，即?
???
?－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.
不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有
cos 〈n ，BE 〉＝n ·BE |n |·|BE |＝26×2＝33
，
所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
.
(3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，
设CF ＝λ，0≤λ≤1.
故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ·AC ＝0，因此2(1
－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝? ??
??－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则?
????n 1·AB ＝0，n 1·BF ＝0，即????
?x ＝0，
－12
x ＋12
y ＋32
z ＝0.不妨令
z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面
FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则
cos 〈，〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1
＝－310
10.
易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为310
10
.
方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝1
2DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四
边形，所以BE ∥AM .
因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD .因为AM ?平面PAD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .
(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PAD ，得CD ⊥PD .而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．
依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形
BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12
，因此sin ∠EBM ＝3
3，
所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
. (3)如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AG ，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角．
在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝10
2，cos ∠PAG
＝31010，所以二面角F AB P 的余弦值为310
10
.
36.【2014年全国新课标Ⅰ（理19）】(本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
(Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC 求二面角111A A B C --的余弦值.
【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1
BC ⊥
O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ………6分
（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC BOA BOC ???
故OA ⊥OB
OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为
160CBB ∠=，所以1CBB ?为等边三角形．又AB=BC
30,0,3A ?? ? ???，()1,0,0B ，130,,03B ?? ? ???，30,,03C ??
- ? ???
1330,,33AB ??=- ? ???，1131,0,,3A B AB ??==- ? ???1131,,03B C BC ??==-- ? ??
? 设(),,n x y z =是平面的法向量，则
11100n AB n
A B ?=??=??，即33
03330
3y z x z ?-=????-=??
所以可取()
1,3,3n =
设m 是平面的法向量，则11110
m A B n B C ?=??=??，同理可取()
1,3,3m =-
则1
cos ,7
n m n m n m
==
，所以二面角111
A A
B
C --的余弦值为17.
37.【2014年全国新课标Ⅱ（理18）】（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.
（1）连结BD 交AC 于点O,连结EO
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点
又E 为的PD 的中点，所以EO PB
EO ?平面AEC,PB ?平面AEC ，所以PB 平面AEC
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直
如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标
系，则A —xyz,则D(0,3 ,0),则E(0, 32,12),AE =(0, 32,12
) 设B(m,0,0)(m ＞0)，则C （m, 3，0） 设n(x,y,z)为平面ACE 的法向量，
则{
1100
n AC n AE ?=?= 即{ 0
1
023
2
3mx y y z +=+= 可取1n =（
3
m
,-1, 3） 又1n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量， 由题设12cos(,)n n =
1
2
，即 2
3
34m +=12
，解得m=32 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为
1
2
，三棱锥E-ACD 的体积为 V=
13?12?3?32?12=
3
8
38.【2014年江苏卷（理16）】如图，在三棱锥P 错误！未找到引用源。ABC 中，D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点。已知PA ⊥AC ，PA=6,BC=8，DF=5. 求证：（1）直线PA ∥平面DEF;
（2）平面BDE ⊥平面ABC.
（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点
∴DE ∥PA
又∵DE
?平面PAC ，PA ?平面PAC
∴直线PA ∥平面DEF
（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且BC=8，由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5
F E
P A
D
C
B
∴DF 2=EF 2+DE 2=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ? EF=E ， AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ?平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面ABC
39.【2014年北京卷（理17）】（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -
中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.
解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。
又因为AB ?平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，
因为AB ?平面ABF ，且平面ABF 平面PDF FG =，
所以AB ∥FG 。
（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.
如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,
BC (1,1,0)=.
设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则
0,0,n AB n AF ??=??
?=??即0,
0.x y z =??+=?
令1,z =，则1y =-。所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则
1
sin cos ,2
n BC a n BC n BC
?==
=
。 因此直线BC 与平面ABF 所成角为30. 设点H 的坐标为(,,).u v w 。
因为点H 在棱PC 上，所以可设(0
1),PH PC λλ=，
即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。所以2,,22u v w λλλ===-。
因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ?=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-?-=。 解得2
3
λ=
，所以点H 的坐标为422(,,).333。
所以2
2
2
424()()()23
3
3
PH =++-=
40.【2014年广东卷（理18）】（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，0
30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面
（2）求二面角D AF E --的余弦值。
（１）PD ⊥平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D =，
A B
C
D E F
P
AD ∴⊥平面PCD ，
AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，
PC ∴⊥平面ADF ，即CF ADF ⊥平面；
（２）设1AB =，则Rt PDC ?中，1CD =，又0
30DPC ∠=， 2PC ∴=，3PD =，由（１）知CF DF ⊥
32
DF ∴=，2272AF AD DF =+=
，
2212
CF AC AF ∴=-=，又//FE CD ，
14DE CF PD PC ∴==，34
DE ∴=，同理3344EF CD ==， 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A ，
3(,0,0)4E ，33(,,0)44
F ，(3,0,0)P ，(0,1,0)C ，
设(,,)m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AE m EF ?⊥?⊥?，又3
(,0,0)
43(0,,0)
4
AE EF ?=??=??，
所以3
04304
m AE x z m EF y ??=-=???==??，令4x =，得3z =，(4,0,3)m =，
由（１）知平面ADF 的一个法向量(3,1,0)PC =-， 设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，
||
cos |cos ,|||||
m PC m PC m PC ?=<>==?θ4325719192=?，即所求．
41.【2014年湖北卷（理19）】如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且
()20<<==λλBQ DP .
A
B
C
D E
F
P
x y
z
（1）当1=λ时，证明：直线1BC ∥ 平面EFPQ ;
（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
【解析】以D 为原点，射线1DA,DC,DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系
D xyz -。由已知得1(2,2,0),C (0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,)B λ
1(2,0,2),FP (1,0,),(1,1,0).BC FE λ=-=-=
（Ⅰ）证明：当1λ=时，FP (1,0,1)=-
因为1(2,0,2)BC =-，所以12FP BC =，即1FP BC ∥
而FP EFPQ ?平面，且1EFPQ BC ?平面，故直线1BC ∥ 平面EFPQ 。 （Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则
由FE 0FP 0
n n ?=??=??可得00x y x y λ+=??-+=?，于是可取(,,1)n λλ=-
同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--
若存在λ，使得平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则(2,2,1)(,,1)m n λλλλ=---，即(2)(2)10λλλλ---+=
解得212
λ=±
故存在2
12
λ=±
，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角。 42.【2014年江西卷（理19）】(本小题满分12分)
如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥
（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥
ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.
【解析】 解：（1）Q 面PAD ⊥面ABCD ,面PAD ?面ABCD =AD ,AB AD ⊥ AB ∴⊥面ABCD ……………………………………2分 又PD ?Q 面ABCD ……………………………………3分 AB PD ∴⊥……………………………………4分 (2)过P 作PO AD ⊥,由（1）有PO ⊥面ABCD,
作OM BC ⊥,连接PM ，作PM BC ⊥……………………………………5分 设AB=x.
22411141
68633333P ABCD ABCD V OP S OP AB BC x x x x -=??=???=-=-g g …7分
∴当223x =
即63x =时，max 269
V =……………………………………9分
如图建立空间直角坐标系，60,0,
3P ?? ? ???,60,,03M ?? ? ???
, 66,,033C ??- ? ??? 6
,0,03D ??- ? ???
, ∴660,,33PM ??=- ? ???uuu r ,666,,333PC ??=-- ? ???uu u r ,6,0,03MC ??=- ? ???
uuu r
66,0,33PD ??=-- ? ???uu u r ,60,,03DC ??= ? ???
uuu r ……………………………………10分
设面PMC 、面PDC 的法向量分别为()111,,m x y z =u r ，()222,,n x y z =r
∴000m PM m PC m MC ?=??=??=??
u r uuu r
g u
r uu u r g u r uuu r g 11111166
03
366603
33603y z x y z x ?-=????-
+-=???-=???
设11y =，则11z =，∴()0,1,1m =u r
同理可得()1,1,1m =u r
……………………………………11分
6
cos ,3m n m n m n
==u r r
u r r g u r r
平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值为6
3
。…………………………………12分
43.【2014年上海卷（理19）】(本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .
B
A
C
P 3
P 1
P 2
高考数学试题分类汇编集合理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
历年中考真题分类汇编(数学)
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
全国高考理科数学试题分类汇编—统计
年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余
高考数学试题分类汇编(导数)
2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x >
（江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12）
2019-2020高考数学试题分类汇编
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案
专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x
中考数学试题分类汇编
中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a
高考数学试题分类汇编集合
2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤
高考数学试题分类汇编个专题
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4