2018北京各区初三数学一模试题分类——新定义问题(含28题)

新定义问题

1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的

坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.

图1 图2

则下面叙述中正确的是（ ）

A. 点A 的横坐标有可能大于3

B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②

C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小

D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．

阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．

如图2，△ABC 中，60ABC ∠=?，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，

作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接

EA ，则EAC ∠=________°．

x

图2

图1

E A

3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，

且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.

（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线

CD 表达式；

（3）⊙O P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．

2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，

120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)

（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；

D (-3，-4)，

E （3，4），

F （-3，4） （2）已知点

G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，

求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取

值范围．

3.（18石景山一模28）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B

为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的

“确定圆”的示意图

．．．．

（1）已知点A的坐标为(1,0)

-，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确定圆”的面积为_________；

（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线y x b

=+上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；

（3）已知点A在以(0)

P m，为圆心，以1为半径的圆上，点B

在直线y=+

要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．

4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等

时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1.

①在点E （1，1），F （－22 ，－2

2 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；

②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线k

y x =（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.

（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.

（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且

122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.

5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与

⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ

k CQ

+=

，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ

k CQ =（或2BQ

CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．

（1）如图1

，当r =

①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．

②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，

①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．

②当k =r 的取值范围．

（3）若存在r

的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的

点”，直接写出b 的取值范围．

x

6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：

若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．

（1）当⊙O 的半径为1时．

①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ； ②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；

（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．

2

7.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上

存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．

（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，

①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．

8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy中点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)

两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．

（1）当t=-3时，

①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；

②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=b的取值范围；

（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．

9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共

线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.

（1）如图2，

22M ? ??，22N ?- ??

.在A （1，0）

，B （1，1），)C 三点中，

是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；

（2）如图3， M （0，1），N 12?

-????

，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.

①∠MDN 的大小为 °；

②在第一象限内有一点E

)

,m ，

点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；

③点F 在直线23

y x =-

+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围．

10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P

为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，

2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为??? ??++2,2

2121y y x x ．

已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．

（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，1

2

)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立

点”的是____________；

（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；

（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．

11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，

且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ?是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.

（1）已知点A 的坐标为)3,1(，

①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；

②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.

（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．

写出半径r 的取值范围.

备用图1 备用图2

12.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函

数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接D P，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E 在线段OA上，E不与点O重合），则称 DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图.

图1

13.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别

交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ； （2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，

使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ?≤≤?∠时，求m 的取值范围．

图2

13.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如

下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有

1

2

PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值1

2

PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．

例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有

1

2''r O M O N r =是定值，

所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12

r r ，“曲心”为O'．

（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、2

12y x =

分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；

（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21

y x m

=”，其他条件不变，当存在⊙O

与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．

图1

2

L 1

图2

14.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()

11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距

PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，

当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”. （1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；

② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；

（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.

请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.

15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线

交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．

（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是

（2）抛物线22

1

x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是

（3）抛物线)0(3

5

42>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请

求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. , 备用图

准蝶形AMB

A

B

M