导数的任意性及存在性问题
恒成立问题及存在性问题 2015.02.09
知识方法总结：
恒成立问题及存在性问题重要结论：
（1）对于任意的1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121max 2max ()()()()≤?≤f x g x f x g x ；
（2）对于任意的1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121min 2min ()()()()≥?≥f x g x f x g x ；
（3）若存在1[,]∈x a b ，对任意的2[,]∈x m n ，使得121min 2min ()()()()≤?≤f x g x f x g x ；
（4）若存在1[,]∈x a b ，对任意的2[,]∈x m n ，使得121max 2max ()()()()≥?≥f x g x f x g x ；
（5）对于任意的1[,]∈x a b ， 2[,]∈x m n ，使得121max 2min ()()()()≤?≤f x g x f x g x ；
（6）对于任意的1[,]∈x a b ， 2[,]∈x m n ，使得121min 2max ()()()()≥?≥f x g x f x g x ；
（7）若存在1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121min 2max ()()()()≤?≤f x g x f x g x ；
（8）若存在1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121max 2min ()()()()≥?≥f x g x f x g x ；
1. [2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12
(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若?x ∈R ， f (x －1)≤ f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.????－16，16
B.????－66，66
C.????－13，13
D.????－33，33
2. [2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，
存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“?b ∈R ，?a ∈D ，f (a )＝b ”；
②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )?B ；
④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2
＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)
3. （2013年高考四川卷（理））设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在
00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )
(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+
4. 已知函数].1,0[,274)(2∈--=x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1≥a ，函数32()32,[0,1].g x x a x a x =--∈若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得)
()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.
5、 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =
-++ , 27()28
g x x bx =-+. （Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a <时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）当14
a =
时，函数()f x 在(0,2]上的最大值为M ，若存在[1,2]x ∈，使得()g x M ≥成立，求实数b 的取值范围.
6、已知函数2()4ln(1)f x ax x =--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知点(1,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ，对任意[2,e 1]m ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，
求a 的取值范围.
7、 [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.
(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2 (3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2 8.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a g x a x +=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围. 9.已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈. （Ⅰ）当12 a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a = 时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围. 导数中的恒成立和存在性问题 技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方； 利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题 [典例］设ｆ(x)=e x－a(x＋１). (１)若?x∈Ｒ,ｆ(x)≥0恒成立,求正实数a得取值范围; (2)设g(ｘ)=f(x)+a eｘ ,且A(x1,y1),Ｂ(x2,y2)(x１≠x２)就是曲线ｙ＝g(x)上任意两点, 若对任意得ａ≤－1,直线AＢ得斜率恒大于常数m,求m得取值范围、［解］(1)因为f(x)＝e x－a(ｘ＋1), 所以f′(x)=e x—ａ、 由题意,知a＞0, 故由f′(x)=e x－ａ=0, 解得x＝lｎa。 故当ｘ∈(－∞,ln a)时, f′(x)＜０,函数f(ｘ)单调递减; 当ｘ∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0,函数ｆ(x)单调递增、 所以函数f(x)得最小值为f(lnａ)=e ln a—a(ln a＋1)=-a ln a。 由题意,若?x∈R,f(x)≥0恒成立, 即f(x)=e x—a(x+1)≥0恒成立, 故有—ａlｎa≥0, 又a＞０,所以ln a≤0,解得0＜ａ≤1、 所以正实数a得取值范围为(0,１]. (2)设x１,x2就是任意得两个实数,且x1＜x２。 则直线AB得斜率为k=g x2－g x1 x2-ｘ1 , 由已知k>m, 即g x2—g x１ x2－x1 ＞m. 因为ｘ2—x１＞0, 所以ｇ(ｘ2)－g(x１)>m(x２—x１), 即g(ｘ2)—mx2〉g(ｘ1)-mx1. 因为x1 一、 恒成立与存在性 函不等式恒成立问题的转化技巧 (1)()a f x ≥(或()a f x ≤)恒成立?()max a f x ≥(或()min a f x ≤)； (2)()a f x ≥(或()a f x ≤)有解?()min a f x ≥(或()max a f x ≤)； (3) ()()f x g x ≥恒成立?()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-()，也可证其加强命题 ()()min max f x g x ≥ (4)()()f x g x ≥有解?()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-)． (5) ()()f m g n ≥恒成立?()()min max f x g x ≥ (6)()a f x =有解，则a 的范围是()f x 的值域 1. 恒成立常见处理方法 (1) 参变分离 若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->，则p 的取值范围是((((() A ． (]0,1((((B ．()1,+∞((((C ．()0,1(((D ．[)1, +∞ 【答案】D 【解析】 法一：最值理论 ()ln 10h x x px =-+≤恒成立 令()()1'00px h x x x -=>=，则1 0x p =>， 故()h x 在110, ,,p p ???? ↑+∞↓ ? ?? ??? ， 故只需1ln 0h p p ?? =-≤ ??? ，故1p ≥ 法二：分离参数 ()ln 1x p g x x +≥ =，令()2ln '0x g x x -==，则1x =，()()0,1,1,↑+∞↓ 故 ()11p g ≥= 法三：二级结论 ln 1x x ≤-恒成立，则当1p ≥时，ln 11x x px ≤-≤- 法四：特殊值探路 ()ln 10x px p ≤->对于0x ?>恒成立 当1x =时，1p ≥ 又11ln px x x -≥-≥成立 【考点】恒成立(最值理论，分类参数均可) 已知函数()(x e f x mx e x =-为自然对数的底数)，若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是((((() A ．(,2)-∞(((( B ．2 (,)4e -∞((((C ．(,)e -∞((((D ．2,4e ??+∞ ??? 【解答】解：若()0f x >在(0,)+∞上恒成立， 则2x e m x <在(0,)+∞恒成立， 令2()x e h x x =，(0)x >， 3 (2)()x e x h x x -'=， 令()0h x '>，解得：2x >， 令()0h x '<，解得：02x <<， 故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 故()min h x h =(2)2 4 e =， 故2 4e m <， 故选：B ． 【考点】分离参数 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围. 4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围． 第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理 【知识要点】 在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题 “存在．．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立”．称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．小.，即max min )()(x g x f <.（见下图1） “存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即在区间),(b a 内至少有．．．一个值．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．大，即min max )()(x g x f >.（见下图2） 2、双任意性问题 “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 任意一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．． 一个函数值都要小，即max min ()()f x g x <. “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内任意一．．． 2019年高考数学专题：导数中恒成立与存在性问题（解析版） 1．设函数． （1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； （2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：． 【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即 ，，只需证，换元研究函数最值即可. ∴，从而． （2）①，则． 若，则存在，使，不合题意. ∴． 取，则． 此时． ∴存在，使． ②依题意，不妨设，令，则． ∴． 下面证明，即证明，只要证明． 设，则在恒成立． ∴在单调递减，故，从而得证． ∴，即． 2．已知函数. （1）若在处取得极值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，. 经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足 在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成 立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.学 试题解析：（1） ， ∵在处取到极值， ∴，即，∴. 经检验，时，在处取到极小值. （2） ，令 ， ①当时，，在上单调递减. 又∵，∴ 时， ，不满足 在 上恒成立. ②当时，二次函数开口向上，对称轴为 ，过 . a.当，即时，在上恒成立， ∴，从而在上单调递增. 又∵，∴时， 成立，满足 在上恒成立. b.当 ，即时，存在，使 时，， 单调递减； 时， ， 单调递增，∴ . 又∵，∴，故不满足题意. ③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减， ，∴， 在上单调递减. 又∵，∴时，，故不满足题意. 综上所述，. 3．设函数 ()ln m f x x x =+ ， m R ∈． （1）当m e =时，求函数 () f x 的极小值； （2）讨论函数 ()()3x g x f x - '=零点的个数； （3）若对任意的0b a >>， ()() 1 f b f a b a -<-恒成立，求实数m 的取值范围． 十八导数的存在性问题 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.若存在正实数x使e x(x2-a)<1成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(-2,+∞) D.[-1,+∞) 【解析】选A.存在正实数x使e x(x2-a)<1成立,即a>x2-在区间(0,+∞)上有解,令 f(x)=x2-,f′(x)=2x+>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=-1,又 a>x2-在区间(0,+∞)上有解,所以a∈(-1,+∞). 2.(2019·莆田模拟)若函数f(x)=x3-x2+2x没有极小值点,则a的取值范围是( ) A. B. C.{0}∪ D.{0}∪ 【解析】选C.f′(x)=ax2-2x+2,要使得f(x)没有极小值,则要求f′(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数,当该导函数为一次函数的时候,a=0,满足条件,当f′(x) 恒大于等于0的时候,则,解得a∈,当f′(x)恒小于等于0的时候,则,此时a不存在,故a∈{0}∪. 3.已知函数f(x)=xe x,g(x)=-(x+1)2+a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是( ) A. B.[-1,+∞) C.[-e,+∞) D. 【解析】选D.f′(x)=e x+xe x=(1+x)e x,当x>-1时,f′(x)>0,函数递增;当x<-1时,f′(x)<0,函数递减.所以当x=-1时,f(x)取得最小值,f(-1)=-.函数g(x)的最大值为a.若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,即a≥-. 4.(2020·重庆模拟)若函数f(x)=e x在(0,1)内存在极值点,则实数a的取值范围是 ( ) 世纪金榜导学号 A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,0) 【解析】选A.函数f(x)=e x,定义域为{x|x≠ 0},f′(x)=e x+xe x-=, 因为f(x)在(0,1)内存在极值点, 则f′(x)==0的实数根在(0,1)内, 即x3+x2-ax+a=0的实数根在区间(0,1)内,令g(x)=x3+x2-ax+a, 可知,函数g(x)=x3+x2-ax+a在(0,1)内存在零点, 讨论a:a=0时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0时,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,无零点.a<0时,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零点. 所以实数a的取值范围是a<0. 二、填空题(每小题5分,共20分) 5.(2020·赣州模拟)若函数f(x)=ae x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是. 【解析】因为f(x)=ae x-x-2a,所以f′(x)=ae x-1. 当a≤0时,f′(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点; 导数中的任意性与存在性问题探究 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 第六节 导数中不等式的恒成立与存在性问题 一、 基础知识 1.与函数单调性有关的恒成立（前面章节已讲） 类型1.函数f x () 在区间D 上单调递增，只需≥f x ()0' 类型 2.函数f x () 在区间D 上单调递减，只需≤f x ()0' 2.单变量的恒成立转换 类型1.任意x ,使得＞）（f x 0,只需＞）（f x 0min 类型2.任意x ,使得＜）（f x 0,只需＜ ）（f x 0max 类型3.任意x ,使得＞）（f x k ,只需＞）（f x k min 类型4.任意x ,使得＜）（f x k ,只需＜）（f x k max 类型5.任意x ,使得＞）（f x g x (),只需＞）（=?h x f x g x ()()0min min ][ 类型6.任意x ,使得＜）（f x g x (),只需＜）（=?h x f x g x ()()0max max ][ 3.双变量的恒成立转换（注意两个函数的顺序） 类型1.＞?∈x x D f x g x ,,()()1212，只需＞f x g x ()()min max 类型2.＞?∈?∈x D x D f x g x ,,()()112212，只需＞f x g x ()()min min 类型3.＜?∈?∈x D x D f x g x ,,()()112212，只需＜f x g x ()()max max 类型 4.＜?∈?∈x D x D f x g x ,,()()112212，只需＜f x g x ()()min max 类型 5.若?∈?∈=x D x D f x g x ,,()()112212，则只需两个函数值域的交集不为空集 类型6.若?∈?∈=x D x D f x g x ,,()()112212，则f x ()的值域?）（g x 的值域 二、 课堂练习 1.单变量翻译 例1．已知函数=++f x e x ax x x ()(cos 1)2． （1）当=a 0时，判断+??x f x x 1 ()12与1的大小关系，并说明理由； （2）若对于?∈x [0，1]，+f x x ()21恒成立，求a 的最小值． 【答案】 【解答】解：（1）当=a 0时，=+f x e x x ()(1)2， 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高 考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]max；【如图一】结论2：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]max[g(x)]min；【如图二】结论3：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]min；【如图三】 结论4：x1[a,b], x 2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]max[g(x)]max；【如图四】 结论5：x [a,b], x [c,d],f(x)g(x )f(x)的值域和 g(x)的值域交集不为空； 1 2 1 2 【如图五】 例题1：已知两个函数f(x)8x216x k,g(x)2x35x24x,x[3,3],k R; (1) 若对x [ 3,3],都有f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围； (2) 若x [ 3,3], f(x)g(x) 成立，求实数k的取值范围； 使 得 (3) 若对x1,x2[3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围； 解：（1）设h(x)g(x) f(x)2x33x212xk,（1）中的问题可转化为：x[3,3] 时，h(x) 0恒成立，即[h(x)]min0。 h'(x) 6x26x 12 6(x 2)(x1)； 当x变化时，h(x),h'(x)的变化情况列表如下： x-3 (-3,- 1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h(x)+ 0 －0 + h(x) k-45 增函 数极大值减函数极小值增函数k-9 因为h( 1) k 7,h(2) k20,所以，由上表可知[h(x)]min k 45，故k-45≥0，得 函数导数任意性和存在性问题探究 导学语 函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下： 题型分类解析 一．单一函数单一“任意”型 战略思想一：“?x A ∈，()()a f x >≥恒成立”等价于“当x A ∈时，max ()()a f x >≥”； “?x A ∈，()()a f x <≤恒成立” 等价于“当x A ∈时，min ()()a f x <≤”. 例1 ：已知二次函数2 ()f x ax x =+，若?[0,1]x ∈时，恒有|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围. 解： |()|1f x ≤，∴211ax x -≤+≤；即211x ax x --≤≤-； 当0x =时，不等式显然成立，∴a ∈R. 当01x <≤时，由2 11x ax x --≤≤-得：221111a x x x x --≤≤-， 而min 211 ( )0x x -=，∴0a ≤. 又∵max 211 ()2x x --=-，∴2,20a a ≥-∴-≤≤， 综上得a 的范围是[2,0]a ∈-. 二．单一函数单一“存在”型 战略思想二：“?x A ∈，使得()()a f x >≥成立”等价于“当x A ∈时，min ()()a f x >≥”； “?x A ∈，使得()()a f x <≤成立”等价于“当x A ∈时，max ()()a f x <≤”. 例2. 已知函数2 ()ln f x a x x =+(a R ∈)，若存在[1,]x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围. 解析：()(2)f x a x ≤+?x x x x a 2)ln (2-≥-. ∵[1,]x e ∈，∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x 利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题 一、利用导数研究不等式恒成立问题 ［典例］设f(x)=e x—a(x+t\)? (1) 若VxGR, f(x*O恒成立，求正实数a的取值范围； (2) 设g(x)=f(x)+詈，且A(xi, yi), B(X2, y2)("X2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的aw—1,直线AB的斜率恒大于常数m,求e的取值范围. ［解］(1)因为f(x) = K—a(x+i), 所以f(x) = e x—a. 由题意，知a>0, 故由f(x) = e x—a=O, 解得x=ln a. 故当xW (—8, In a)时， f(x)VO,函数f(x)单调递减; 当xW(ln a, +8)时, f(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)的最小值为f(In a)=e lna—a(ln a+1) = —aln a. 由题意，若WGR, /(x)>0恒成立， 即/(x) = e x—a(x+1)>0 恒成立， 故有一aln a>0, 又a>0,所以In a<0,解得0 Vas1. 所以正实数a的取值范围为(0,1］. (2)设X1, X2是任意的两个实数，且X1VX2. 则直线的斜率为k=? X2 ~S X1 由已知k>m, >m. 因为X2—Xi>0, 所以g(X2)—S(X1)>m(X2—X1), 则h\x) =x+3 x-1 即g(X2)—mx2>$'(xi)—mxi. 因为XIVX2, 所以函数h(x)=g(x)—mx在R上为增函数, 故有h'(x)=g\x)—m>0恒成立， 所以msg'(x). a 而0(x) = gx_a_{, 又a<-1<0, 而2\j—a—a=2\j~a+(\j—a)2 =(寸—a+1)2—1三3, 所以e的取值范围为(一8, 3］. ［方法点拨］ 解决该类问题的关键是根据已知不等式的结构特征灵活选用相应的方法，由不等式恒成立求解参数的取值范围问题一般采用分离参数的方法.而第(2)问则巧妙地把直线的斜率与导数问题结合在一起，命题思路比较新颖，解决此类问题需将已知不等式变形为两个函数值的大小问题，进而构造相应的函数，通过导函数研究其单调性解决. ［对点演练］ 已知f(x)=xl n x, g(x)=—x2+ax—3. ⑴若对一切xG(O, +8), 2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围. (2)证明：对一切xG(O, +8), "XA￡—￡恒成立. 解：(1)由题意知2xln x>—x2+ax—3对一切xG(0, +8)恒成立， 则a<2ln x+x+g, 设h(x) = 2ln x+x+g(x>0), ①当x￡(0,1)时，H(x)VO, h(x)单调递减： ②当xe(1, +8)时，H(x)>0, h(x)单调递增. 函数与导数中任意性和存在性问题探究 命题人：闫霄 审题人：冯昀山 一、相关结论： 结论1：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈>?>； 结论2：max [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>； 结论4：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>；【如图一】 结论6：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论7：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论8：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论9：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空； 结论10：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域是()g x 的值域的子集 【例题1】：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+；当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： 因为(1)7,(2)20h k h k -=+ =-, 所以，由上表可知min [()]45h x k =-，故k-45≥0，得k ≥45,即k ∈[45,+∞). 小结：①对于闭区间I ，不等式f(x) 导数背景下的恒成立与存在性问题 “恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。 一、 若对?x I ∈，)(x f a >恒成立，则只需max )(x f a >即可； 若对?x I ∈，)(x f a <恒成立，则只需min )(x f a <即可； 例1. 已知函数)30(ln )(≤<+ =x x a x x f ，若以其图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2 1≤ k 恒成立，求实数a 的取值范围. 二、 若I ∈?x ，满足不等式)(x f a >，则只需min )(x f a >即可； 若I ∈?x ，满足不等式)(x f a <，则只需max )(x f a >即可； 例2：已知函数ax ax x f 2)(2+=，x e x g =)(，若在),0(+∞上至少存在一个实数0x ，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围. 三、若对I ∈?21,x x ，使得不等式a x f x f <-)()(21（a 为常数）恒成立，则只需 a x f x f <-m i n m a x )()(即可 例3：已知函数)1()1(2 1ln )(2e a x a x x a x f ≤<+-+=.证明：对于(]a x x ,1,21∈?，恒有1)()(21<-x f x f 成立. 3.4.3 导数的存在性问题 核心考点·精准研析 考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题 【典例】1.(2020·泰安模拟)若函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( ) A. B.(-,0) C.(0,) D. 2.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=若方程[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根x1,x2,则x1+x2的最大值是________________. 【解题导思】 序号联想解题 1 由存在唯一的零点x0,且x0>0,想到分离变量a构建新函数 由[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根,想到f(x)=,数形结合求x1,x2, 2 构建函数. 【解析】1.选A.由函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0等价于a=有唯一正根, 即函数y=g(x)=的图像与直线y=a在y轴右侧有1个交点, 又y=g(x)为奇函数且g′(x)=, 则y=g(x)在(-∞,-),(,+∞)上为减函数,在(-,0),(0,)上为增函数,则满足题意时y=g(x)的图像与直线y=a的位置关系如图所示, 即实数a的取值范围是a<-. 2.作出f(x)的函数图像如图所示,由[f(x)]2=a,可得f(x)=,所以>1,即 a>1,不妨设x1 教学过程 、导入 【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状 ^态。 导入的方法很多，仅举两种方法： ①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。极值与最值的区别和联系 ⑴函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是 函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较. (2) 函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数 在区间内的单调性. (3) 如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. (4) 可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在［a, b］上单调递增，贝U f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a),若f(x)在［a, b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. 二、知识讲解 考点恒成立恒题立问题a A f (X M亘成立二a> f(X hax ；a兰f(X )恒成立=a兰f(X h n (2)能成立问题的转化：a n f(x )能成立二a A f(x)min；a兰f (x能成立n a兰f(x h ax (3)恰成立问题的转化： a f x在M上恰成立：j a f x的解集为 a f x在M上恒成立 a _ f x在C R M上恒成立 另一转化方法：若x?D, f(x) _ A在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值 f min (x^ A，若D, f(x)乞B在D上恰成立，则等价于 f (x)在D上的最大值 f max(X)二B? (4)若不等式f X?g x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y = f X和图象在函数y = g x图象上方； (5)若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y二f x和图象在函数 y二g x图象下方； 考点2存在性问题 (1)设函数f x、g x，对任意的x1 a, b i, 存在X2 e C , d】，使得f (x i)兰g(x2 ), 则f min X g min X 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下： 因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-,所以，由上表可知min [()]45h x k =-，故k-45≥0，得 导数系列——零点存在问题 例1.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1??上，() 2,,x x D f x x x D ?∈=??? 其中集合D= 1,n x x n N n +??-=∈?? ??，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 __________ . 例2．已知函数f （ x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＜0 B ．k ＜1 C ．0＜k ＜1 D ．k ＞1 例4. 例5.已知函数f （x ）= { 函数g （x ）=f 2（x ）+f （x ）+t （t ∈R ） 关于g （x ）的零点，下列判断不正确的是（ ） A.t=1/4时，有一个零点 B.1/4＞t ＞-2时，有2个零点 C.t=-2时，有3个零点 D.t ＜-2时，有4个零点 log 3 （-x ） （x ＜0） 3 x (x ≥0) 例6.已知函数 f(x)= 若关于x 的函数y=f 2（x ）-bf （x ）+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_______ 例7、设函数f(x)满足f(x)=f(3x),且当x ∈[1,3)时,f(x)=lnx.若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x1,x2,x3，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=f(x3)/x3=t ，则实数t 的取值范围为_______ 例8．f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点x ?,x ? 且f(x ?)= x ?,则关于x 的方程3[f(x)]2+2a f(x)+b=0的不同实根个数为 例9.设函数f(x)满足f(x)=f(-x),f(x)=f(2-x)；且当x ∈[0,1]时f(x)=x3；又有g(x)=｜xcos(πx)｜则h(x)=f(x)－g(x)在[－1/2，3/2]上的零点个数为 例10.已知函数f （x ）=x-1+a/e x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值； （Ⅲ）当a=1时，若直线l ：y=kx-1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值． |lg(-x)|，x ＜0 x 3-6x+4，x≥0导数中的恒成立和存在性问题
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