北京市2013高考数学二模试题解析分类汇编系列六 10 概率与统计文

【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】10：概率与统计

一、选择题

1 ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）在区间(0,

上随机取一个数x ,则事件

“tan cos 2

x x ≥g ”发生的概率为（）

A ．34

B ．

C ．

D ．

由tan cos 2x x ≥

得sin 2x ≥，解得42x ππ≤≤

，所以事件“tan cos 2

x x ≥g ”发生的概率为

422

π-

=，选C.

2 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形

内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为

（）

A ．ma n

B ．na m

C ．2ma n

D ．2na m

设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n

=，解2

ma S n =,所以选C.

3 ．（2013北京东城高三二模数学文科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中

成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于

（）

A ．0.754

B ．0.048

C ．0.018

D ．0.012

成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-??-?-?=-=，所以

100.18x =，解得0.018x =，选C.

4 ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组

3419,

1,1x y x y +≤??

≥??≥?

所构

成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）

A ．12

π B ．

π C ．112

π-

D ．16

π-

画出关于,x y 的不等式组3419,1,1

x y x y +≤??

≥??≥?所构成的三角形区域，如图．

。三角

形ABC 的面积为

13462??=。离三个顶点距离等于1的地方为三个小扇形，它们的面积之和为2

，所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是2116

-=-

,选。

5 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）在平面区域02,

x y ≤≤??≤≤?内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足

x y b +≤的概率大于18

,则b 的取值范围是

（）

A ．(,1)-∞

B ．(0,1)

C ．(1,4)

D ．(1,)+∞

其构成的区域D 如图所示的边长为2的正方形，面积为S 1=4，满足x y b +≤所表示的平面区域是以原点

为直角坐标顶点，以b 为直角边长的等腰直角三角形，其面积为222122

b S b =?=，所以在区域D 内随机

取一个点，则此点满足x y b +≤的概率2

248

b b P ==,由题意令2188b >，解得1b >,选D ．

6 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ,从{1,2,3}中随机选

取一个数b ,则关于x 的方程22

20x ax b ++=有两个不相等的实根的概率是（）

A ．15

B ．

C ．

D ．

a 有5种取法，

b 有3种取法，所以共有15种结果。要使方程有两个不相等的实根，则有22

440a b ?=->，即22,a b a b >>。若1b =，则1a >，此时2,3,4,5a =。若2b =，则2a >，此时3,4,5a =。若3b =，

则3a >，此时4,5a =。所以共有9种。所以关于x 的方程22

20x ax b ++=有两个不相等的实根的概

率是

155

=，选C. 二、填空题 7．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学

生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数据可知a =________;若要从成绩在

[)85,90 ,[)90,95 , []95,100三组内的学生中,用分层抽样的方法选取12人参加面试,则成绩在[]95,100内的学生中,学生甲被选取的概率为_________.

0.040 ；

由频率分步直方图知，（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为

0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10．第5组的人数为0.020×5×50=5，因为第3、4、5组共抽30名学生，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生。每组抽取的人数分别为：

第3组：

1512630?=。第4组：1012430?=。第5组：5

12230

?=。所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人．则成绩在[95，100]内的5个学生中抽2个，学生甲被选取的概率为2

。

8．（2013北京西城高三二模数学文科）右图是甲,乙两组各6名同学身高(单位:cm )数据的茎叶图.记甲,

乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙, 则x 甲______x 乙. (填入:“>”,“=”,或“<”)

由茎叶图，甲班平均身高为1

160(57101279)16031636

+++--=+=，乙班平均身高为1

160(12341210)16021626

+++++-=+=，所以x 甲>x 乙.

9．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如

下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为? 1.4y

x a =+,则a 的值等于_______. 0.9

样本数据的平均数1(123) 1.54x =

++=，1

(1245)34

y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =?+，解得0.9a =。

10．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右

图,则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.

乙

由茎叶图可知：乙运动员的得分大部分集中在22～27分之间，而甲运动员的得分相对比较散。故乙运动员的成绩发挥比较稳定．

11．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件

数,则甲组工人1天每人加工零件的平均数为____________;若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,

则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为________

720,

组工人1天每人加工零件的平均数为

(18192122)204

+++=。所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为

。

12．（2013北京西城高三二模数学文科）设a ,b 随机取自集合{1,2,3},则直线30ax by ++=与圆

221x y +=有公共点的概率是_____.

直线30ax by ++=与圆2

1x y +=有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，所以

1≤，

即229a b +≥.当1a =时，28b ≥，此时3b =，有1组.当2a =时，25b ≥，此时3b =，有1组.当3a =时，20b ≥，

此时1,2,3b =，有3组.所以共有5组.所有满足a ，b 的组合有339?=组.所以满足条件的概率为59

. 三、解答题

13．（2013北京朝阳二模数学文科试题）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级

男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间. (Ⅰ)求实数a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数;

(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;

(Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率.

解:(Ⅰ)由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++?=,解得0.05a =.

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人

(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为

(0.150.05)20.4+?=,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概

频率分布直方图

率为0.4

(Ⅲ)设事件A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在

[)2,4有2人,记为,a b ;在[)4,6有6人,记为,,,,,A B C D E F .

从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF ,

,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 共28种情况.

事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况.

所以

123()287P A =

答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为3

14．（2013北京东城高三二模数学文科）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研

究小组,有关数据见下表:(单位:人)

(Ⅰ)求x ,y ; (Ⅱ)若从

高二、高三年级抽取的人中选2人,求这二人都来自高二年级的概

率.

(共13分)

解:(Ⅰ)由题意可得

2992718

x y ==,所以11x =,3y =. (Ⅱ)记从高二年级抽取的3人为1b ,2b ,3b ,从高三年级抽取的2人为1c ,2c , 则

从

这

两

个

年

级

中

抽

取

的

人中选

人的基本事件

有:12(,)b b ,13(,)b b ,11(,)b c ,12(,)b c ,23(,)b b ,21(,)b c ,22(,)b c ,31(,)b c ,32(,)b c ,12(,)c c 共10种设选中的2人都来自高二的事件为A ,

则A 包含的基本事件有:12(,)b b ,13(,)b b ,23(,)b b 共3种.

因此3

()0.310

P A =

=. 故选中的2人都来自高二的概率为0.3

15．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字

0,1,2,3,4,5,一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同

时抛掷一次,正方体正面向上的数字为a ,正四面体的三个侧面上的数字之和为b . (Ⅰ)求事件3b a =的概率;

(Ⅱ)求事件“点(,)a b 满足2

(5)9a b +-≤”的概率.

(Ⅰ)由题可知a 的取值为0,1,2,3,4,5,b 的取值为6,7,8,9 基本事件空间:

Ω={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),

}(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)

共计24个基本事件满足3b a =的有(2,6),

(3,9)共2个基本事件

所以事件3b a =的概率为

2412

= (Ⅱ)设事件B=“点(a,b)满足22(5)9a b +-≤” 当8b =时,0a =满足22(5)9a b +-≤ 当7b =时,0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤ 当6b =时,0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤

所以满足22(5)9a b +-≤ 的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7), 所以7

()24P B =

16．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组,

第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如

图).

(Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率. 解: (Ⅰ)11

(168168169170171171175175181182)17310

x cm =

+++++++++=, ()()()()()2222

22211168173168173169173...18117318217323.610S cm ??=

-+-+-++-+-=?

?; 答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.62

cm .

(Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件A,

身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b 属于第一组,c,d,e 属于第二组. 从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种:

(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e). 其中两位同学在同一小组的4种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e)

15 16 17 18 9 8 8 5 5 1 1 0

2 1 9 6 9 2

4 7 2 3 5

第一组

第二组

∴5

104)(==

A P . 答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为2

北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 10 概率与统计 文

北京市2013高考数学二模试题解析分类汇编系列六 10 概率与统计文