拉格朗日点
拉格朗日点
科技名词定义
中文名称：拉格朗日点
英文名称：Lagrangian point
定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。包括两个等边三角形点和三个共线点。
所属学科：天文学（一级学科）；天体力学（二级学科）
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
百科名片
拉格朗日点
指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点. 一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.
目录
概述
发现
现象
拉格朗日点的五个特解L1
1L2
1L3
1L4
1L5
天文学中的用途
理性在太空闪光
展开
编辑本段概述
就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783) 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange (1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
编辑本段发现
18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。人们进一步发现，在自然界各种运动系统中，都有拉格朗日（拉格朗治）点。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角。
编辑本段现象
L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。不过，虽然它们是不稳定的，但可选取适当的初始扰动，使相应平动点附近的运动仍为周期运动或拟周期运动。即选取这样的初始扰动使系统原来的解退化为周期解，相应的运动变为稳定的，此时这种稳定称为条件稳定。对于L4、L5，当0<μ<μ*时（其中μ*满足μ*(1-μ*)=1/27），L4、L5是线性稳定的。对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统，如日-木-小行星，日-地-月球，……，相应的μ均满足条件0<μ<μ*（μ*满足μ*(1-μ*)=1/27）。对
于μ*<μ<1/2的情况，显然是不稳定的。至于μ=μ*，非线性稳定性情况，以及椭圆型限制性三体问题中的三角平动点情况，请参见扩展阅读[2]和[3].
编辑本段拉格朗日点的五个特解
L1
在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。
例如：一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略了地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加了这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪（SOHO）（NASA关于SOHO工程的网站）即围绕日-地系统的L1点运行。
L2
在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。例如：相似的影响发生在地球的另一侧。一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长。地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期。在L2点，轨道周期变得与地球的相等。L2通常用于放置空间天文台。因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日-地系统的L2点运行。詹姆斯·韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。
L3
在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。例如：第三个拉格朗日点，L3，位于太阳的另一侧，比地球距太阳略微远一些。地球与太阳的合拉力再次使物体的运行轨道周期与地球相等。一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述出一个“反地球”。
L4
在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的前方。
L5
在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的后方。L4和L5有时称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”。土卫三的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三和土卫十四。土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。
编辑本段天文学中的用途
在双星系统、行星和太阳、卫星和行星(或任何因重力牵引而相互绕行的两个天体) 的轨道面上，所特有的一些稳定点。例如，超前和落後木星轨道60度的地方，各有一个拉格朗日点，如果有小行星在这两个拉格朗日点上，它会在此点附近振荡，但不会离开这些点，而特洛伊小行星(Trojan asteroids) 就是位在这两个区域。事实上，任何「双星系统」都有五个拉格朗日点。除了上面的两个点之外，另三个的拉格朗日点不很稳定，位在其他拉格朗日点上的小天体，稍受扰动就会离开它位置。在天体力学中，拉格朗日点是限制性三体问题的5个特解。例如，两个天体环绕运行，在空间中有5个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），并使其保持在两个天体的相应位置上。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力与离心力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。
编辑本段理性在太空闪光
按照计划，美国国家航空航天局要对哈勃空间望远镜（HST）进行第5次维修。维修之后，人们估计它至少能够再工作5年。HST一时还不“退休”，“继任者”詹姆斯·韦伯空间望远镜（JWST）只好在地面上再静候几年了。有趣的是，詹姆斯·韦伯空间望远镜将不像HST那样绕着地球公转，它的“工作地点”被定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”（在地球背向太阳一面的150万千米处）。拉格朗日（1736—1813）怎么也想不到，他的“三体问题”研究成果，在发表200多年之后，屡次在人类的科学研究与航天工程中被引用。“三体问题”研究成果被后人使用，JWST不是第一例。更早受到世界瞩目的是2001年升空的威尔金森宇宙微波各向异性探测卫星（WMAP），WMAP是继宇宙微波背景探索者卫星COBE之后的第二代宇宙微波背景探测卫星。人们感到好奇的，也是WMAP的定位：处于太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。现在，让我们说一说，什么是“三体问题”？简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”，或者“太阳-木星—小质量物体”这样的“三个天体”的系统如何运行。说得详细一点，就是研究这样的问题：“太阳-地球”或者“太阳-木星”这些天体系统，如果有无限小质量的物体加入进来，那么在万有引力作用下，这些小物体会怎样运动？“三体问题中”最简单的一种类型，是“平面圆形限制三体问题”。拉格朗日求解这个问题，得到了5个特解：3个直线解和两个等边三角形解,只有两个等边三角形解是稳定解。如果小质量物体处在某一个拉格朗日点上，那么它所受到的太阳-木星（或太阳-地球）的引力，恰好等于它与太阳-木星（或太阳-地球）一起转动时所需
要的向心力。这就是说，处在某一个拉格朗日点上，小质量物体就可与太阳-木星（或太阳-地球）的相对位置保持不变。有趣的是，“第一代卫星”HST和COBE都是绕着地球“公转”，“第二代卫星”JWST和WMAP都把位置定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。欧洲空间局的两颗卫星“赫歇尔”、“GAIA”也看好那个“地点”，计划到那里落户。在科学发展的历史上，跟“三体问题”有关的好玩故事还有不少。大约一百年前，1906年，德国天文学家马克思·沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。这颗小行星被命名为“阿基里斯”，他是荷马史诗《伊里亚特》叙述的特洛伊战争中的希腊英雄。天文学家沙利叶敏感地意识到，小行星“阿基里斯”很可能是法国数学家拉格朗日“三体问题”的一个特例：只要小物体、大行星与太阳这三者形成一个等边三角形，这小物体和大行星就会永远同步地绕太阳旋转，它们永远不会相撞。果然，天文学家很快就在木星之后60°的位置上，也发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个拉格朗日点上，已找到700颗小行星。科学理论的预见何其美妙！后来发现的这些处在拉格朗日点上的小行星，都以特洛伊战争里的英雄命名。于是，这几百颗小行星，就有了一个“集体的”称号：特罗央群小行星。这个“特罗央”，实际上就是古希腊神话中小亚细亚的“特洛伊”城。不久前，法国空间研究中心的天文学家提出一个新设想，使得拉格朗日点将来可能获得新的用途：用作拦截危险小行星的布防点。法国科学家提出，捕获一些中等体积的“天体”，把它们“部署”到“太阳—地球”体系的五个拉格朗日点中的一个。发现对地球有危险的小行星以后，人们可以调用这些“天体”去拦截危险小行星。
高中物理人教版必修2第六章万有引力与航天第5节宇宙航行同步练习C卷
高中物理人教版必修2第六章万有引力与航天第5节宇宙航行同步练习C卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共6题；共12分) 1. （2分）同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（） A . 它可以在地面上任一点的正上方，且离地心距离可按需要选择不同的值 B . 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心距离是一定的 C . 它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的 D . 它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值 【考点】 2. （2分） (2020高三上·安徽月考) 2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第55颗北斗导航卫星，至此，北斗全球定位系统组网卫星部署圆满收官。北半系统星座由 （地球静止轨道）、（中圆地球轨道）、（倾斜地球同步轨道）三种轨道卫星组成，其中卫星和卫星轨道半径约为，卫星轨道半径为。关于北半导航卫星，下列说法正确的是（） A . 卫星在轨运行速度一定小于 B . 卫星相对地面是运动的，对应纬度是不停变化的，但对应经度是不变的 C . 卫星的线速度和卫星的线速度大小之比约
D . 卫星的向心加速度和卫星的向心加速度大小之比约为4∶9 【考点】 3. （2分）登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比 A . 火星的公转周期较小 B . 火星做圆周运动的加速度较小 C . 火星表面的重力加速度较大 D . 火星的第一宇宙速度较大 【考点】 4. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 2013年12月2日凌晨1时30分，嫦娥三号月球探测器搭载长征三号乙火箭发射升空,这是继2007年嫦娥一号、2010年嫦娥二号之后，我国发射的第3颗月球探测器，也是首颗月球软着陆探测器.嫦娥三号携带有一台无人月球车，重3吨多，是我国设计的最复杂的航天器.如图所示为其飞行轨道示意图，则下列说法正确的是（） A . 嫦娥三号在环月轨道2上运行周期比在环月轨道1上运行周期小
哈工大_计算方法实验_1拉格朗日
实验题目1 Lagrange插值 摘要 给定平面上n+1个不同的数据点:则满足条件 的n次拉格朗日插值多项式 是存在唯一的。 若，且充分光滑，则当时，有误差估计式 前言 利用拉格朗日插值多项式求的近似值
程序设计流程 拉格朗日插值框图
问题1 （1） N = 5时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 5, :;将区间[-5,5]分为了5段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = N = 10时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 10, :;将区间[-5,5]分为了10段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = N = 20时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 20, :;将区间[-5,5]分为了20段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err =
问题1 （2） N = 5时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 5, [ ]);将区间[-1,1]分为了5段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = * N = 10时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 10, [ ]);将区间[-1,1]分为了10段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = * N = 20时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 20, [ ]);将区间[-1,1]分为了20段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = *
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
拉格朗日点和平面圆三体问题[转] 中文名称：拉格朗日点 英文名称：Lagrangian point 定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。包括两个等边三角形点和三个共线点。 拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点. 一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角. ，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783) 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange
(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。 发现 18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。 A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。人们进一步发现，在自然界各种运动系统中，都有拉格朗日（拉格朗治）点。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群 小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，
第二章 用拉格朗日方程建立系统数学模型
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
数值计算方法—拉格朗日插值
数值计算方法作业 专业：测控1002 学号：10540226 姓名：崔海雪
拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab 算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ） ，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --（x-0x ）. （2）
2021年高考物理一轮复习考点过关检测题—5.4表面体、黑洞与拉格朗日点问题
2021年高考物理一轮复习考点过关检测题 5.4表面体、黑洞与拉格朗日点问题 一、单项选择题 1．有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近近地轨 道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有、 、 A ．a 的向心加速度等于重力加速度g B ．线速度关系v a 、v b 、v c 、v d C ．d 的运动周期有可能是20小时 D ．c 在4个小时内转过的圆心角是 3 2．为简单计，把地－月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动，如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上，则图中四个点不可能是“拉格朗日点”的是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 3．近来，有越来越多的天文观测现象和数据证实黑洞确实存在．科学研究表明，当天体的逃逸速度（即 倍）超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球 的质量之比为k ，地球的半径为R ，地球的第一宇宙速度为v 1，光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（ ） A ．22 12kc R v B ．2122kv R c C ．212v R kc D ．221 cR kv 4．1772 年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳
和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L 1、L 2、L 3、L 4、L 5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L 2点，下列说法正确的是（ ） A ．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等 B ．该卫星在L 2点处于平衡状态 C ．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 D ．该卫星在L 2处所受太阳和地球引力的合力比在L 1处小 5．我国预计于2020年至2025年间建造载人空间站，简称天宫空间站。科学家设想可以在拉格朗日点L 1建立一个空间站。如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的空间站在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起同步绕地球运动。假设空间站和月球绕地球运动的轨道半径、公转周期、向心加速度大小分别用r 、T 1、a 1和r 2、T 2、a 2表示，则下列说法正确的是（ ） A ．33 122212r r T T = B ． 2 12221 a r a r = C ．空间站绕地球运动的角速度大于同步卫星绕地球运动的角速度 D ．空间站绕地球运动的向心加速度小于地球表面附近的重力加速度 6．北京时间2019年4月10日，人类首次利用虚拟射电望远镜，在紧邻巨椭圆星系M87的中心成功捕获 倍）超
《计算方法》
插值法 引言 许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的 还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值， 这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希 望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数 ，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数 多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机 械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（）， 加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。下面我们给出有关插值法的定义。 设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 () (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节 点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即
， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若 为分段的多项多，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。 从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点， ，并用它近似已知曲线,见图2-1。 由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。 插值法又称“内插法”。 利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
拉格朗日点
摘 要：在由一个大天体和一个小天体构成的系统中，在它们的轨道平面内存在这样的5个点，使得在这5个点上的质量可忽略的星尘或飞行器在两个天体的万有引力的作用下运动的过程中与两个天体保持相对静止，这样的点称为“拉格朗日点”。下面将用数学中向量的理论对“拉格朗日点”进行理论推导。 关键词：拉格朗日点；万有引力；向量 0 引 言 如图1所示，1767年数学家欧拉推算出了拉格朗日点中的L1、L2、L3，1772年数学家 拉格朗日又推算出了另外两个点L4、L5【1】 。美国普林斯顿大学的物理学教授杰拉尔德·基 钦·奥尼尔提出在地月系统中的拉格朗日点上建造太空城的方案【2】 。2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，嫦娥二号在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距 离地球约150万公里远、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道【3】 。 图1 【4】 拉格朗日点中较难理解的是L4、L5点，这两个点分别与两个天体构成等边三角形。对拉格朗日点的推导有说明的文献也很少。如参考文献【2】的对于拉格朗日L4点的推导运用了复杂的几何知识。下面将用简单的向量的方法去推导拉格朗日L4、L5点，并简要说明L1、L2、L3点的存在性。 1 推导过程 1.1 L4、L5点的推导 图2 第 1 页 （共 4 页） 如图2，我们以太阳系中的恒星太阳（Sun ）和最大的行星木星（Jupiter ）为例，设相 S J O C 恒星
对它们质量可忽略不计的航天器c位于拉格朗日点上。设太阳质量为M，木星质量为m，太空城市质量为u，系统的质心为O，=，=，=，三个向量的长度分别为R1,R2,R3. 设|SJ|=R，由数学分析中的质心求法可得|OS|=R·，|OJ|=R· 由于三个物体相对静止，故它们绕质心旋转的角速度相同，设其为ω，并设万有引力常数为G。以J为研究对象有： G = mω2Rω2 = G 对m用万有引力的向量形式有： G· + G· =ω2 = G· ∵ + , + ∴·· + · + · = · ∴() = · + · 又∵ = -· ,代入上式得 () = m()——（*）当与不共线时，由（*）式， 故R1 = R2 = R 即c与S、J构成等边三角形，L4、L5的存在性得证 1.2 L1、L2、L3点的简单说明 当与共线时，仍可通过（*）式求解证得L1、L2、L3的存在性，但是求解过
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include
2021年新高考物理一轮复习考点强化训练考点二十 天体运动的常见模型(黑洞、双星、多星、拉格朗日点)
2021年新高考物理一轮复习考点强化训练 考点二十天体运动的常见模型（黑洞、双星、多星、拉格朗日点） 1.(多选)(2020湖南怀化三模)2018年6月14日11时06分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道的卫星,为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示,该L2点位于地球与月球连线的延长线上,“鹊桥号”位于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为M e、M m、m,地球和月球之间的距离为R,L2点离月球的距离为x,则() A.“鹊桥号”的线速度大于月球的线速度 B.“鹊桥号”的向心加速度小于月球的向心加速度 C.x满足M e (R+x)2+M m x2 =M e R3 (R+x) D.x满足M e (R+x)2+M m x2 =m R3 (R+x) 2.2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星() A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 3.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是() A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小相等 D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零 4.(2020重庆西南名校联盟)2019年2月14日,中国科学技术大学潘建伟教授领衔的“墨子号”量子科学实验卫星科研团队被授予“2018年度克利夫兰奖”,以表彰该团队实现千公里级的星地双向量子纠缠分发。已知“墨子号”卫星最后定轨在离地面500 km的圆轨道上,地球的半径为6 400 km,同步卫星距离地面的高度约为36 000 km,G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2,忽略地球自转。下列说法正确的是() A.“墨子号”卫星的线速度小于地球同步通信卫星的线速度 B.“墨子号”卫星的向心加速度与地面的重力加速度相同 C.由以上数据不能算出地球的质量 D.由以上数据可以算出“墨子号”环绕地球运行的线速度大小 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示,某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比r A∶r B=1∶2,则两颗天体的() A.质量之比m A∶m B=2∶1 B.角速度之比ωA∶ωB=1∶2 C.线速度大小之比v A∶v B=2∶1 D.向心力大小之比F A∶F B=2∶1 5.(2020湖南湖北八市二调)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系
计算方法论文 浅谈拉格朗日插值法
盐城师范学院课程考查论文 课程名称：《计算方法》 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号： 论文题目：浅谈拉格朗日插值法
浅谈拉格朗日插值法 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 下面将主要谈谈拉格朗日插值法。 一、问题的背景 在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。二、插值问题的数学提法: 已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi =f(xi ), (i=0,1,…,n) 求一个简单函数y=P(x),使其满足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。 即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ), 同时在其它x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x) 其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。 下面是对拉格朗日插值法的介绍： 已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为： y0,y1,…,y n,求一个次数不超过n的多项式P n(x),使其满足: P n(x i)=y i, (i=0,1,…,n), 即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。 （1）. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数 l0(x),l1(x),…,l n(X)
从“鹊桥”看拉格朗日点
从“鹊桥”看拉格朗日点 徐水一中吕猛看到“鹊桥”，大家一定会想到牛郎织女的故事，但今天我们所 说的“鹊桥”是一颗中继卫星。 关于这颗卫星的由来，还得从我们的探月计划说起。月球是地球唯一的一颗天然天体，由于地球强大的引力，使得月球的自转周期和其公转周期保持一致，这样我们在地球上看月球，就像大人和小孩儿手拉手转圈圈，大人不能看到孩子的背部一样，身处地球的我们只能看到月球的正面，看不到月球的背面（由于天平动效应我们能看到月球背面的极限为百分之十八）。即使现在进入航天时代，由于月球整 体的阻挡，月球背面仍然是地面通讯的禁区。 为实现对月球背面的研究，就必须把信号传递到那里，那么就需要一颗中继卫星。“天链一号”是中国第一颗地球同步轨道数据中继 卫星，其作用是提高中国载人航天飞行任务的测控覆盖率，将为中国神舟飞船以及未来空间实验室、空间站建设提供数据中继和测控服务。同时，还将为中国中、低轨道资源卫星提供数据中继服务，为航天器发射提供测控支持。2012年7月天链一号03星与01星、02星成功 实现全球组网运行，建成比较完备的中继卫星系统，使我国具备了卫星全球通讯能力。 我们要实现月球背面通讯，这颗中继卫星要发射到那个位置呢？天链一号卫星的发射只需考虑地球的引力就可以了，而月球中继星要想稳定运行的话必须同时考虑到地球和月球的引力影响。这样就变成
了三体问题，而要解决三体问题就需要了解拉格朗日点。 拉格朗日点又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。 “限制三体问题”是指研究的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略不计。简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”或者“太阳-木星-小质量物体”。三体问题中最简单的一种类型是平面圆形限制三体问题。例如太阳-地球体系中，地球绕太阳运行，在空间中有些特定的位置可以放入第三个小质量物体，那么它所受到的太阳-地球体系的引力，恰好等于它与太阳-地球体系一起转动时所需要的向心力，小质量物体就可与太阳-地球体系的相对位置保持不变，（从圆周运动的角度看第三个小物体放在这个位置时，与地球具有相同的角速度）这就是平面圆形限制三体问题。 在求解这个问题时，得到了五个特解，五个特解称为拉格朗日点。 下面我们就来看看这五个特解。
2021年高考物理表面体、黑洞与拉格朗日点问题一轮复习考点过关检测题
2021年高考物理表面体、黑洞与拉格朗日点问题一轮复习考点 过关检测题 5.4表面体、黑洞与拉格朗日点问题 一、单项选择题 1．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各 卫星排列位置如图，则有、 、 A．a的向心加速度等于重力加速度g B．线速度关系v a、v b、v c、v d C．d的运动周期有可能是20小时 D．c在4个小时内转过的圆心角是 3 2．为简单计，把地－月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动， 如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上，则图中四个点不可能是“拉格朗日点”的是（） A．A点B．B点C．C点D．D点 3．近来，有越来越多的天文观测现象和数据证实黑洞确实存在．科学研究表明，
倍）超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（） A． 2 2 1 2kc R v B．21 2 2kv R c C．21 2 v R kc D． 2 2 1 cR kv 4．1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（） A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等 B．该卫星在L2点处于平衡状态 C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 5．我国预计于2020年至2025年间建造载人空间站，简称天宫空间站。科学家设想可以在拉格朗日点L1建立一个空间站。如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的空间站在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起同步绕地球运动。假设空间站和月球绕地球运动的轨道半径、公转周期、向心加速度大小分别用r、T1、a1和r2、T2、a2表示，则下列说法正确的是（）
拉格朗日乘数法应用的推广
拉格朗日乘数法应用的推广 电子科技大学2014级英才学院宁博宇败家男 摘要 在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。它是解决工程，经济等最优化问题的一种数学工具。本文介绍了拉格朗日乘数法，并将其进行推广，提出了在不等式约束和等式约束混合条件下的解法。 关键词：拉格朗日乘数法,条件极值。 第一章引言 在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。 1.1约瑟夫?路易斯?拉格朗简介 约瑟夫?路易斯?拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，生于1736年1月25日，死于1813年4月10日），是法国籍意大利裔天文学家和数学家。拉格朗日曾经为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了二十年，并且被腓特烈大帝称做是“欧洲最伟大的数学家”，后来受王法国国王路易十六的邀请然后定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域都做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。 他的主要贡献： 代数：群的阶是子集的阶的倍数，消去理论，将行列式的概念应用到非消去理论的范畴，拉格朗日插值多项式 数论：四平方和定理，证明配尔方程必存在解，证明威尔逊定理，创立二次型论，证明循环连分数均为二次无理数。 微积分：拉格朗日乘数法，中值定理。 力学：1764年，拉格朗日成功解释了为什么月球总是一面朝向地球。在1772年至1788年，他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学。 天文；1772年，发现拉格朗日点。 第一章引言 在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一
结构动力学拉格朗日方程
二、拉格朗日方程及其应用 虽然可以直接用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立多自由度系统的运动微分方程，但是在许多情况下应用拉格朗日方程法更为方便。这里用最简单的方式推导拉格朗日方程，以便更好地理解这个被广泛应用的方程的意义。我们知道，对于一能量守恒的系统，系统的动能和势能的总和是不变的，因此，它们的总和对时间的导数等于零，即： 式中：是系统的动能，它是系统广义速度的函数；是系统的势能，它是系统广义坐标 的函数。下面将说明，这两者分别可以用广义坐标和广义速度的二次型表示。 单自由度系统的动能和势能公式如下： 这个结论可以推广到多自由度系统。如下图4-6，使系统各质点产生位移 ，则在处的力为 （a） 设系统有个力作用，则系统总势能为： （b） 把公式（a）代入（b）中，得： （c） 若用矩阵符号，上式可写成： 若把改为更一般的广义坐标符号，上式变为： （d） 上式就是用广义坐标和刚度矩阵的二次型表示的系统势能表达式。
若以表示质量的速度，可以仿照单自由度系统动能的方法表示多自由度系统的动能： 或写成矩阵形式： 我们假设系统的动能只与广义速度有关而与广义坐标无关，对微振动这是成立的。下面来推导拉格朗日方程。为此，对进行全微分： （e） 将对求导，有： 将上式乘以并对从到求和，有： （f） 比较（a）,（f）两式可知： （g） 对（g）进行一次微分，得 （h） （h），（e）两式相减可得： 根据守恒系统的原理,有 （i）
因为个广义坐标是独立的，不可能都等于零，因此要上式成立必须使 （j）当系统还作用有除有势力之外的附加力时, 外力在上所作的功将是 令，则可得： （4-8）式中是除有势力之外的所有外力，其中包括阻尼力，阻尼力可表示为： （4-9）
“从三体到拉格朗日点”初探
从三体到拉格朗日点”初探 1 引子——三体中匀速圆周运动问题研究（柴豪老师） 三个质量不同的天体仅在万有引力的作用下绕某一定点做匀速圆周运动，则它们一定组成一个正三角形。 2 三体中三个匀速圆周运动半径的分析（笔者完成） 如图1所示，A ，B ，C 三个天体的质量分别为123,,m m m ，始终构成一个边长为a 的 正三角形，绕其共同圆心' O 做匀速圆周运动，图中(,0),(,0),)22a a A B C -。 A ， B 星系统的质心为D 在x 轴上坐标为 12122D m m a x m m -=- + ，CD ==。 设A ，B ，C 三天体的质心为' O ，则' O 在CD 的连线上，C 天体做匀速圆周的半径为 ' 12 1123123 C m m r C O C D m m m +==?= ++（式中a 为正三角形的边长 ，123 ）
同理可求得A 和B 的轨道半径分别为 '23 123123 ' 13 123123 A B m m r AO AE m m m m m r BO BF m m m +== ?= +++==?= ++ C 做匀速圆周运动过程中受到的万有引力的合力为 232()C F m r T π== 代入C r 后可求得2T =三体若始终构成一个边长不变的正三角形，则系统的周期与边长和三体的总质量有关。 2．1三体的一般轨道（若用等效质心法则三个天体一定组成一个正三角形，质心位置不变！） 如图2所示，当C 做匀速圆周运动时受到的万有引力的合力等效为一个质量为' C m 的天体在圆心所施加，即[1] ' 23322()C C C m m G m r r T π =， 代入F 和C r 可求得22 3/2 '12122 123()()C m m m m m m m m ++=++， 同理得223/2223/2' '2323131322 123123()(),()() A B m m m m m m m m m m m m m m m m ++++==++++ 在图3中，令中心天体的等效质量为M ，某一个天体的质量为m ，则星体与中心天体的作用力可写为222 22Mm m F G k mk u r r =-=-=- 由比耐公式[2]22 2 2()d u F h u u d m θ+=- 代入后得22 2 22 2()d u h u u k u d θ += 即22 2 2d u k u d h θ+= 设22k u h ξ=+，则 22 0d d ξ ξθ+= 图1 三体做匀速圆周运动 图3 三体的一般轨道 图2 三体等效质量的计算
计算方法编程作业1_拉格朗日插值与牛顿插值
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法年级：2012级上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名：贺容英 上机实践名称：拉格朗日插值和牛顿插值法学号：上机实践日期：yyyy.mm.dd 上机实践编号：1312012070102209 上机实践时间：2014.10.27 一、目的 1．通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解； 2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选插值问题，编制一个程序，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。（从课件或教材习题中选题） 已知y=f( 三、使用环境 操作系统：win7 软件环境：vs2012 四、核心代码及调试过程 4.1核心代码 1、拉格朗日插值法代码如下 double lagrangesf(point points[],int t) { int n=t; int i,j; double x,tmp=1,lagrange=0; printf("请输入需要计算的x的值："); scanf("%lf",&x); for(i=0;i<=n-1;i++) { tmp=1; for(j=0;j<=n-1;j++) {
if(j!=i) tmp=tmp*(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x); } lagrange=lagrange+tmp*points[i].y; } printf("lagrange(%lf)=%lf\n",x,lagrange); return 0; } 2、牛顿插值法代码如下 double newtonsf(point points[],int t) { int n=t; int i,j; double d[maxt+1]; double x,tmp,newton=0; printf("差商表\n"); printf("***************************************************\n"); printf("x "); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("%lf ",points[i].x); } printf("\n"); printf("y "); for(i=0;i<=n-1;i++) { d[i]=points[i].y; printf("%lf ",points [i].y); } printf("\n"); for(i=0;i 由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班 一、问题重述 试由210t t Ldt δ=?推导()0d L L dt q q αα ???-=?? 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ?= ，和 22 11()0t t t t Ldt L dt δδ==?? (1) 现在来秋L δ。L 是q , q ? , t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L L L q q q q δδδ????=+??……………………..（2） ()()()L L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ?????????==?-????……………….（3） 将（3）代入（2）得 ()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ?????=?-+???…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt q q q δδδ??????+-+=????…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为 2 1(())0t t d L L q q dt dt q q δδ???-=???………………………………（6）即 2 1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ???-+=???……………………………………（7） q 是独立变量，所以有 ()0d L L dt q q ???-+=??即 ()0d L L dt q q ???-=??此式即为拉格朗日方程由哈密顿原理推导拉格朗日方程