一种基于迭代外推的4f光学系统图像复原方法

李鹏，田逢春，陈建军，李显利

（重庆大学通信工程学院，重庆，400030)

摘要：大多数图像复原算法需经多次迭代运算才能获得满意的结果,其耗时较长。针对该问题，本文引入4f迭代函数系统来实现图像迭代运算，提出了一种理论模型，并结合迭代外推算法进行频谱的延拓，对图像进行降噪处理。实验结果证明，该方法能有效改善图像质量、提高图像峰值信噪比。

关键词：图像；复原；噪声；迭代外推；4f系统

中图分类号：O438.2 文献标识码：A

An Improved Image Restoration Method for 4f Optical System Based on Iterative Extrapolation

LI Peng, TIAN Feng-chun,CHEN Jian-jun,LI Xian-li

(College of Communication Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, CHN)

ABSTRACT：Most image restoration algorithms are subject to many iteration to get a satisfactory result, time-consuming long. To solve the problem, we introduces the 4f iterative system to achieve the image iterative calculations, proposed a theoretical model, combined with iterative spectrum extrapolation method extension, the image noise reduction processing.Experimental results show that for low-noise image that the method can effectively improve the image quality, improve the image of peak signal to noise ratio.

KEYWORDS：image; restoration; noise; iterative extrapolation; 4f system

1引言：

与传统信息手段相比，光信息处理有速度快、并行性和大容量的优点。但由于光信息

处理在图像获取过程中受到许多因素的影响会导致图像质量的下降,如光学系统的衍射、像

差、离焦、噪声干扰、光学器件口径限制等,它们会造成图像的模糊和失真。目前研究者根

据图像退化模型建立了一些约束条件和最优准则,提出了一系列复原方法,如逆滤波法、约束

最小平方滤波法等线性方法和凸集投影法、最大似然法等非线性方法[1-2],针对光学系统的带宽有限这一特点，本文采用波场延拓法[3]对图像频谱尽量外推，使图像质量得到提高。同时对4f迭代系统在理想和有噪声两种情况进行了分析，最后通过4f系统实拍光学图片和经过消除光源不均匀性[4]预处理的4f系统图片验证该方法的有效性，图像的主观质量和峰值信噪比（PSNR）都得到了较大提升。

2迭代外推算法[5]

2.1 迭代外推算法基本原理

迭代外推算法是在空域和频域之间来回迭代，在空域中和频域中进行修正以加强预先

就知道的知识或实际测得的数据。图1是该算法的实现框图。

收稿日期：2000-00-00；收到修改稿日期：2000-00-00

基金项目：中国博士后科学基金（20080430096）资助项目

作者简介：李鹏（1982-)，男，江西新余，重庆大学信号与信息处理专业硕士生，主要从事光学信息处理方面的研究。

E-mail:cqmobile_lee@https://www.360docs.net/doc/f216094741.html,。

田逢春（1963-），男，重庆人，教授，博士生导师，主要研究领域为信号处理、信息光学、生物信息学、通信技术。

E-mail：FengchunTian@https://www.360docs.net/doc/f216094741.html,（通信联系人）。

陈建军（1978-），男，浙江台州，博士，主要研究领域为图像处理。

图1 迭代外推算法的框图

Fig.1 Block diagram of iterative extrapolation method

在频域中，成像系统的通带之内的物谱是默认已知的，因为这个数据可以实际测得。首先对图像进行第一次傅里叶变换，可以发现处于成像系统通带之内的那一部分物谱，掌握了这两组数据，就可以实行迭代。由于空间的截断改变新像的频谱，引入了成像系统通带外的频谱分量，此外通带内的频谱分量也会变化。重复空间限界的过程，再次做变换，重复对已知频谱分量的加强。这种方法的优点是引入了超出通带外的频谱分量，并使它们得到逐步改善，在没有噪声和一定噪声时，这个算法是收敛的[6]

。

2.2 一种频域波场延拓的方法[3]

设光学系统中的介质为各向同性的，取三维标量光波方程作为延拓的基本方程：

22222

(,)

(,)0

n u p t u p t x y z c t ??????++-= ??????

? （1）

式中

()

,,u u x y z =为三维光波场，n 为介质的折射率，c 为光速，t 为时间。为了简化问题

的复杂度，我们这里把光学系统传播介质都看成了均匀介质，忽略了光学系统中透镜和空气介质折射率的差异。将（1）式对x 、y 、t 分别进行傅里叶变换，考虑到对于某个坐标轴的逆傅氏变换得到的结果。

()

x ik x

=? （2）

()

i t

ω?

=? （3）

将（2），（3）两式带入（1）可得：

()2

22222

2x y u n k k u z c ω??

?=--+????? （4）

式中u 为

()

,,u x y z 关于x 、

、z 的三维傅里叶变换，令

()2

222

222z

x y n k k k c ω??=-+???? （5）

由前面的假设，z k 在z 方向上是常数，可得

()12ikzZ ikzZ u kx ky z C e C e ω-=+，，，（6）

当Z i Z Z i Z i ≤≤+?时，即有相位移延拓公式：

()()1z i

ik z i i u kx ky z u kx ky z e

ωω?±= ，，，，，，（7）

将相位移延拓公式降维至二维可得

(

)()1i

i k y

y u

k x

y i u k x y i e

ωω?±= ，，，，（8）

()()1i

i k x

i y i y u x k u x k e

ωω?±= ，，，，（9）

通过式（8）和式（9），我们可以发现通过对变化域上的频谱的进行适当的相位改变，

可以对光学系统的频谱有一定的延拓作用，可以接收到图像更多的频谱信息，使得图像的画质和PSNR 值都得到一定的提高。

3 4f 系统及其噪声模型

3．1经典的4f 系统[6]及其噪声模型

信息光学中典型的４f 系统如图2所示， f 为透镜焦距，S 为相干点光源，Lo 为准直透镜，P 1为输入平面，其上放置空间光调制器（SLM ）来加载输入图像。该输入经傅里叶透镜L 1做傅里叶变换，在P 2面得到其频谱。在P 2 面放置另一个SLM ，其上加载所需频域滤波器，经滤波后再通过第二个傅里叶透镜L 2做傅里叶逆变换，在P 3面上得到输出图像，用CCD 采集该图像并转换成电信号进行后处理。

图2 典型的4f 光学系统 Fig.2 Typical 4f optical system

实际４f 系统的噪声情况和系统传递函数非常复杂，包含着系统器件的物理特性。为简化系统，将４f 系统看成一个整体，仅将加性噪声分离出来。系统的简化模型如图３所示。图３中，传递函数定义为(),h x y ，理想情况下它应是冲激函数，但是由于透镜孔径等因素的影响，实际上是一个具有低通特性的函数。基于该简化模型，系统的输出可写为

()()()(),,,,o u t i n f x y f x y

h x y n x y =

?+ （１0）

式中?为卷积符号。

图3 4f 系统简化模型 Fig.3 Simplified model of 4f system

3.2 4f 迭代系统[8]

及其噪声模型

通过对频谱相位的调节，进行多次迭代最终实现系统通带的延拓，显然典型的光学4f 系统无法满足这个需求。因此引入二反射镜型反馈系统来实验迭代功能，二反射镜型反馈系统是在常规的相干光处理系统的基础上构成的。如图4所示，图中实线表示正向通道，虚线表示反馈通道，输入面P 1和输出面P 3上各置一块反射率较高、透射率较低的分光镜M 1和M 2，它们相对与光轴对称的倾斜一个较小的θ角。L 1和L 2分别为正向光路和反馈回路的傅里叶透镜。由于我们采用的迭代算法是对反馈的频谱面进行相位的调节，故假设在P 2面上针对反馈回路上放置相位检测和相位调节装置，对于反馈回路频谱进行调节后进入正向通道，和原来的输入图像迭加成为一个新的输入，再进入反馈回路，经过若干次迭加后系统得到稳定的输出，从而实现对于图像质量的提高。

图4 4f 迭代系统 Fig.4 The 4f iterative system

我们采用的迭代外推算法是针对于反馈变化域相位调节的一种算法，所以噪声模型是在频域中讨论的。现将二反射镜型反馈系统看成一个理想系统，仅将加性噪声分离出来。系统的简化模型如图4所示。图4中，传递函数定义为

()

,h x y ，理想情况下它应是冲激函数，

但是由于透镜孔径等因素的影响，实际上是一个具有低通特性的函数。基于该简化模型，系统初始输出为

()()()()11,,,,out in F u v F u v H u v N u v =?+ （11）式中()1,in F u v 为系统的初始频谱输入，()1,out F u v 为系统的初始频谱输出，(),N u v 为

系统噪声的频谱。第一次迭代输出为

()()()()

()()(,)

211,,,,,,i u v o u t i n o u t

F u v F u v

H u v

F u v

e H u v N

u v θ=

?+??

+ （12）

图5 4f 迭代系统简化模型

Fig.5 Simplified model of 4f iterative system

4 实验的结果与分析

4.1仿真图像实验

我们通过仿真得到的4f 系统的输出(),out f x y 作为迭代系统的初始输入，进行多次迭代，来验证迭代外推算法对于图像PSNR 和图像质量是否有提高。第一组：实验中分别选用

616616? Boat 、Lena 和Baboon 作为无噪模拟4f 系统的输入，此时模拟4f 系统的输出

()()(),,,out in f x y f x y h x y =?。同时把(),out f x y 作为迭代系统的初始输入，通过多次迭

代，最终得到稳定图像。仿真结果如表1所示：

表1 基于无噪模拟4f 系统迭代外推前、后图像的PSNR 及其差值

Tab.1 Before and after iterative extrapolation image of PSNR based on

non-noise simulation 4f system and their difference

信噪比图像

仿真获得图像迭代获得图像 PSNR 增加值

Boat616 20.897dB 29.012dB 8.1155dB Lena616 22.678dB 30.521dB 7.843dB Baboon616

20.95dB

28.893dB

7.9433dB

通过表1仿真结果可以看出，无噪的模拟4f 系统输出经过多次迭代，图像的PSNR 值得到了较大的提升。

(a) (b) 图6 仿真图像和迭代图像对比

Fig.6 Simulation images and iterative image contrast

其中图(a)基于无噪模拟4f 系统的输出图像，图（b ）则是使用图（a ）作为迭代系统初始输入，经过多次迭代得到的图像。由于在传输过程中没有引入噪声，所以两图的图像质量都很好，在细节的表现上图（b ）略好于图（a ）。

第二组：实验中分别选用616616? Boat 、Lena 和Baboon 作为含噪模拟4f 系统的输入，此时模拟4f 系统的输出()()()(),,,,out in f x y f x y h x y n x y =?+。(),n x y 均值为0，归一化方差为0.001的高斯白噪声。同时把(),out f x y 作为迭代系统的初始输入，通过多次迭代，最终得到稳定图像。仿真结果如表2所示。

表2 基于含噪模拟4f 系统迭代外推前、后图像的信噪比

Tab.2 Before and after iterative extrapolation image of PSNR based on

simulation 4f system and their difference

信噪比图像

仿真获得图像迭代获得图像 PSNR 增加值

Boat616 18.259dB 20.103dB 1.8437dB Lena616 19.227dB 20.384dB 1.1571dB Baboon616

18.271dB

20.034dB

1.7628dB

通过表2仿真结果可以看出，含噪的模拟4f 系统输出经过多次迭代，图像的PSNR 值得到了一定的提升。

图7仿真图像和迭代图像对比

Fig.7 Simulation images and iterative image contrast

其中图(a)基于含噪模拟4f 系统的输出图像，图（b ）则是使用图（a ）作为迭代系统初始输入，经过多次迭代得到的图像。由于在传输过程中引入噪声，所以两图的图像质量比图（6）中的无噪图片都要差些，总体而言两图细节差异不大。

通过两组仿真实验结果的对比，我们可以看出在无噪或者噪声较低的系统中，通过频谱延拓的方法，进行多次迭代，最终得到的稳定图像相对于未迭代图像的PSNR值确实有较大的提高，同时若系统存在一定的噪声影响，通过该方法也可以提高图像的PSNR值，但提高的数值远比无噪声系统时要低。

(a) (b)

图8 无噪模拟4f系统输出图像频谱

Fig.8 Spectrum of the non-noise simulation 4f system output image

其中(a)图为无噪模拟4f系统未进行迭代的图像频谱，(b)图为经过迭代后输出图像频谱。从迭代前后的频谱图上可以看出,经过多次迭代后，对于通带内的频谱分量得到了加强，对于通带外的频谱有一定的延拓作用，从而达到提高图像PSNR的作用。

4.2 光学4f系统实测图像实验

实验平台如图7，采用DH-HNKW250P型He-Ne激光器作为光源，波长632.8nm

λ=；采用Sony-LCX038空间光调制器，分辨率：1024*768，对角线尺寸为：0.7inch；GCO-0203M 型消色差傅里叶变换透镜，焦距400ｍｍ；以及采集设备为Canon EOS350D等设备构成４f 系统实验平台。输入面加载的图像分辨率均为616 Pixel×616 Pixel大小。

图9试验使用的4f光学系统

Fig.9 the 4f system of our experiment

为了避免实验数据的特殊性，选取实验效果中等的输出作为实验用的数据。减小在算

法的验证时与实际中差异较大的可能性。我们设计了两组实验来验证。第一组：在实际的4f系统中，由于光源的不均匀性和系统噪声等因素的影响，造成系统的实测图不能看成经过理想4f系统得到的输出。因此我们把图像先进行预处理来去除光源的不均匀性，把处理后的图像近似看成为无噪4f系统的输出图像，进行多次迭代。迭代结果如表3所示：

表3 4f系统实测图像、预处理后图像和迭代获得图像

Tab.3 Output images of 4f syste m、pre-processing and iterative extrapolation

信噪比

图像原始图像预处理后图像预处理图像为初始输入，迭代获得图像

Boat616 21.665dB 23.538dB 26.275dB

Lena616 23.521dB 23.692dB 25.346dB

Baboon616 19.541dB 20.896dB 21.645dB 从表3可以看出，由于预处理过程无法做到完全地去除光源的不均匀性等因素的影响，所以使用预处理后的图像作为迭代初始输入，迭代多次后获得图像的PSNR与理想状态时还是存在一定的差距，但PSNR仍有明显提高。

第二组：直接用4f系统实际获得图像进行迭代，迭代结果如表4所示：

表4 4f系统实测图像和迭代获得图像

Tab.4 Output images of 4f system and iterative extrapolation

信噪比

图像

原始图像迭代获得图像PSNR增加值

Boat616 21.665dB 21.745dB 0.08dB

Lena616 23.521dB 23.722dB 0.201dB

Baboon616 19.541dB 19.816dB 0.275dB 由于本组4f系统实测图像受到光源不均匀性和噪声等因素的影响较大，采用这组数据作为迭代系统的初始输入对于图像PSNR值的提升比较有限，同时说明在实验效果一般时，迭代算法对于图像PSNR值提升有限；在实验效果较好时，迭代算法才可对图像PSNR值有较大提升。

5结论

针对光学系统的低通特性导致图像的模糊和失真，根据迭代外推算法的基本原理，采用频率域波场外延的方法，通过对频谱进行适当的相位改变，经过多次迭代使得系统获得通带外的部分频谱分量，使得图像的质量和PSNR值都有一定的提升。由于该方法通过多次迭代实现频谱的外延，使得计算复杂度较大。但若能采用全光实现迭代过程，充分利用全光计算的快速、并行和大容量等特点，可使系统得到快速、稳定、图像质量更优的输出。迭代方法的全光实现也是我们下一步需要研究的方面。

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