01不定积分复习

不定积分的概念 问题的提出：
原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间 I 内，可导函数 F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， 即?x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x )
已知函数 f ( x )的导数 f ′( x )， 求函数 f ( x ).
或dF ( x ) = f ( x )dx ，那么称函数 F ( x ) 为 f ( x )
在区间 I 内的一个原函数.
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定义 设函数F(x)是函数f(x)的一个原函 数，则f(x)的全体原函数为F(x)+c， 记为 ∫ f ( x)dx ,其中c为任意常数， 即 ∫ f ( x)dx = F ( x) + c 称函数集合F(x)+c为函数f(x)的不定积分.
其中
三、不定积分基本的性质
性质一 1 .[ ∫ f ( x )dx ]′ = f ( x ) 或 d [ ∫ f ( x )dx ] = f ( x ) dx
2.∫ F ′( x)dx = F ( x) + c 或
∫ dF ( x) = F ( x) + c
∫
： 积分号； x : 积分变量；
性质二
f ( x)： 被积函数； f ( x)dx : 被积 表达式； c : 积分常数。
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∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
性质三
其中k ≠ 0为常数.
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx＝∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
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基本积分表
xα +1 2.∫ xα dx = + c (α ≠ ?1) α +1 1 3.∫ dx = ln x + c x ax + c (a > 0, a ≠ 1) 4.∫ a x dx = ln a 5.∫ e x dx = e x + c
6.∫ sin xdx = ? cos x + c 7.∫ cos xdx = sin x + c
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1.∫ 0dx = c
1 dx = tan x + c cos 2 x 1 9.∫ csc 2 xdx = ∫ 2 dx = ? cot x + c sin x 1 10.∫ dx = arcsin x + c 1? x2 = ? arccos x + c1 1 11.∫ dx = arctan x + c 1+ x2 = ?arc cot x + c1 8.∫ sec 2 xdx = ∫
6
1

12.∫ sec x ? tan xdx = sec x + c 13.∫ csc x ? cot xdx = ? csc x + c 15.∫ cot xdx = ln sin x + c 14.∫ tan xdx = ? ln cos x + c
20.∫ 21.∫ 22.∫
1 a ?x 1
2 2
dx = arcsin
x +c a
16.∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c
x +a 1
2
2
dx = ln x + x 2 + a 2 + c dx = ln x + x 2 ? a 2 + c
17.∫ csc xdx = ln csc x ? cot x + c a+x 1 1 +c dx = 18.∫ 2 ln 2 a ?x 2a a ? x 1 1 x 19.∫ 2 dx = arctan + c 2 a +x a a
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x ?a
2
2
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直接积分法：
先对被积函数进行恒等变换 化为基本积分表中的积分类型， 然后求积分.
求不定积分的基本思想
想方设法将被积表 达式化为基本积分 表中的被积式，然 后代公式.
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换元积分法
∫ f (u ) duu = φ (x ) ∫ f
[φ (x )]φ ′(x )dx
∫ f (u ) duu = φ (x ) ∫ f
[φ (x )]φ ′(x )dx
1. 求不定积分∫ f (u ) du较容易, 引入新变量u
2. 求不定积分 ∫ f [φ ( x)] φ ′( x)dx较容易, 引入新函数u = φ ( x)
∫ f [φ ( x)] φ ′( x)dx = ∫ f [φ ( x)] dφ ( x) 令u = φ ( x) ∫ f (u )du
称上述积分法为第一类换元积分法.
∫ f (u )du 令u = φ ( x)∫ f [φ ( x)] φ ′( x)dx
称上述积分法为第二类 换元积分法.
（凑微分法)
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分部积分法
∫ udv = uv ? ∫ vdu
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将不定积分 ∫ f ( x) g ( x) dx改写为∫ udv， 其中微分dv容易凑出来， 不定积分 ∫ vdu 比不定积分 ∫ udv容易算出.
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不定积分
1.当被积函数为两个不同类型 的函数 的乘积时，可选用分部积分法。
2. ∫ arcsin xdx;
Ⅰ.
∫ arctan xdx;
∫ arccos xdx ∫ ln xdx
∫ P ( x)e dx ∫ P ( x) sin xdx ∫ P ( x) cos xdx
x n n n
u、dv的选择 u = Pn ( x), dv = e x dx u = Pn ( x), dv = sin xdx u = Pn ( x), dv = cos xdx
Ⅱ.
∫ e sinxdx ∫ e cosxdx
x x
u = sin x, dv = exdx u = cos x, dv = exdx
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Ⅲ.
∫ P ( x) ln xdx ∫ P ( x) arcsin xdx ∫ P ( x) arccos xdx ∫ P ( x) arctan xdx ∫ P ( x)arc cot xdx
n n n n n
u = ln x,
dv = Pn ( x)dx
有理函数的积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数.
u = arcsin x, dv = Pn ( x)dx u = arccos x, dv = Pn ( x)dx u = arctan x, dv = Pn ( x)dx u = arccotx, dv = Pn ( x)dx
P ( x ) a0 x n + a1 x n?1 + Λ + an?1 x + an = Q ( x ) b0 x m + b1 x m ?1 + Λ + bm ?1 x + bm
其中 m 、n 都是非负整数；a 0 , a1 ,Λ , a n 及
其中Pn ( x)为x的n次多项式。
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b0 , b1 ,Λ , bm 都是实数，并且a0 ≠ 0 ，b0 ≠ 0 .
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P ( x ) a0 x n + a1 x n?1 + Λ + an?1 x + an = Q ( x ) b0 x m + b1 x m ?1 + Λ + bm ?1 x + bm
假定分子与分母之间没有公因式
定义 下列有理函数称为部分分式 (或最简真分式)
(1) n < m , 有理函数是真分式； ( 2) n ≥ m , 有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
1.
3.
A x?a
Ax + B x 2 + px + q
2.
4.
A ( x ? a)n
Ax + B ( x 2 + px + q ) n
n = 2,3,....
n = 2,3,... ( p 2 ? 4q < 0)
1 x3 + x + 1 . = x+ 2 x +1 x2 + 1
定理 任意一个真分式都可以分解为部分 分式之和.
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有理函数的原函数都是初等函数.
牛顿 – 莱布尼茨公式
有理函数积分的一般步骤：
定理 函数 , 则
设 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的一个原
1.将有理函数分解为多项式与真分式的和， 2.分解真分式的分母， 3.将真分式分解为部分分式的和， 4.求不定积分
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∫a f ( x) dx = F (b) ? F (a)
b
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
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4