裂项法

（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考

例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

即

或

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例 1. 计算：

分析与解答：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：

公式的变式

当分别取1，2，3，……，100时，就有

例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？

分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前

面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法

设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。

这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。

又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，

是的约数时，一定有，即

上面指出当，，是的约数时，一定有，这里

，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当时，，

故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】

二.尝试体验：

1. 计算：

2. 计算：

3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。【试题答案】

1. 计算：

2. 计算：

3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。的值为：75，81，96，121，147，200，361。因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有

（二）

前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出

这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：

，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。

【典型例题】

例1.

分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。

当时，有

……

当时，有

上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如

，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。

因为，……，，

所以

例2.

因为

所以

同样可得

一般地，因为

这里是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。

例3. 计算：

分析与解：

而

即

连续使用上面两个等式，便可求出结果来。

【模拟试题】

（答题时间：15分钟）

二. 尝试体验

1. 求和：

2. 求和：

3. 求和：

【试题答案】

1. 求和：

2. 求和：

3. 求和：