三角形内角平分线的性质定理的证明

一、定理三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例.

二、证明已知：如图，2∠1∠=. 求证：BC AC BD AD =.

方法一：利用平行线作等比代换.

证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BC

AC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC.

∴BC

AC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.

如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CE

AC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.

又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ，则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC.

延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠21

3∠+=.又∠ACB 2

12∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC

AC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换.

第一种情况：当BC AC ≠

时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BC

BD AC AE =，而E CAE B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BC

AC BD AD =.

第二种情况：当AC=BC 时，∵2∠1∠=，∴AD=BD ∴BC AC BD AD =. 方法五：这是把有一组角相等的一组三角形都改造成直角三角形，从而证明相似，进而作等比代换.

请同学们动手试一试！

方法六：这个面积法的关键是，把一组有关的三角形△ACD 和△BCD 的面积，用两种方式各表达一次，写成了等式.

请同学们动手试一试！