小升初数学常考十大内容 比和比例

小升初数学常考十大内容比和比例

1 、比和比例的意义

比的意义是：两个数相除又叫做两个数的比,

比例的意义是：表示两个比相等的式子叫做比例。

比例是比的结果，比是比例的基础。他们都是衡量数量关系的一种工具。

比和比例，是小学数学中的一个重要内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”和“比例”这两个概念和表达方式，对于处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多. 比和比例的相关知识在生活中用非常广泛，我们在以后还要进行更广泛更深入的学习。因此，要为以后的学习打下坚实的基础。

2、比和比例的基本类型及解法

（一）比和比例的分配

最基本的比例问题是求比或比值，从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.

例1、甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的乙花钱数的，乙花钱数的等于丙花钱数的，结果丙比甲多花93元，问他们三人共花了多少钱

解、根据比例与乘法的关系

甲数×=乙数×

即：甲数：乙数=：=2:3

乙数×=丙数×

即：乙数：丙数=：=16:21

连比后是

甲∶乙∶丙=（2×16）∶(3×16)∶(3×21 )=32∶48∶63.

三人共花了93÷（63-32）×（32+48+63）=429（元）

答：甲、乙、丙三人共花了429元.

下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

例2一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是，原来的分数是多少

解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

分子=（100+23+32）×=62

分母=（100+23+32）×=93

原来分数是=

答：原来分数是

例3加工一个零件，甲需3分钟，乙需分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个所需时间是多少

解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

三人工作效率之比是

：：=28:24:21

他们分别需要完成的工作量是

甲完成1825×=700（个）

乙完成1825×=600（个）

丙完成1825×=525（个）

所需时间是700×3=2100分钟）=35小时 .

答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

（二）比的变化

已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢.

例4、有一些球，其中红球占，当再放入8个红球后，红球占总球数的，问现在共有多少球

解：其他球的数量没有改变.

增加8个红球后，红球与其他球数量之比是

5∶（14-5）=5∶9.

在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

1∶（3-1）=1∶2=∶9.

因此8个红球是=（份）.

现在总球数是8÷×（5+9）=224（个）

答：现在共有球224个.

本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：

（x+8）∶2x=5∶9.

例5 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元解一：我们采用“假设”方法求解.

如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

240∶x=8∶5，x=150（元）.

实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出张家：开支60×8=480（元），收入480+240=720（元）

李家：开支60×3=180（元），收入180+270=450（元）

答：张家收入720元，李家收入450元.

解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

我们画出一个示意图：

张家开支的3倍是（8份-240）×3.

李家开支的8倍是（5份-270）×8.

从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于

270×8-240×3=1440（元）.

因此每份是1440÷16=90（元）.

张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.

本题也可以列出比例式：

（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

例6小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸

解一：充分利用已知数据的特殊性.

4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，

新的1份=原来1份+1

原来4份，新的5份，5-4=1，因此

新的1份有15-1×4=11（张）.

小明原有图画纸11×5-15=40（张），

小强原有图画纸11×2+8=30（张）.

答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.

解二：我们也可采用“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）

4∶3=20∶15

5∶2=20∶8.

假设小强也买来15×=（张），那么变化后的比仍是20:15但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

（）÷（15-8）=

小明现有20×=55（张），原有55-15=40（张）

小强现有8×=22（张），原有22+8=30（张）

“假设”这一思路是很有用的，希望大家能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.

（三）比例的其他问题

比例关系可以用比表示，也可以用分数表示，例如，甲比乙的多7，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.

因此，有些分数问题，就是比例问题. .

例7、有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子400个和白子100个，为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占，要从B堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个

解：要B堆中黑子占，即黑子与白子之比是3:1，先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.

现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差50个黑子，占就是两种棋子一样多，从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是

50÷（3-1）＝25（个）.

再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.

答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.

例8 张、王、李三人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元

解：设钢笔的价格是1.

张有的钱数是1÷=

王有的钱数是1÷=

李有的钱数是1÷=

这样就可以求出，钢笔价格是

108÷（++）

=108÷

=24（元）

张剩下的钱数是24×（-1）=16（元）

李剩下的钱数24×（-1）=12（元）

16+12=28（元）

答：张、李两人剩下的钱共28元.