二次函数与一元二次方程和不等式教学提纲
怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习
初 三 数 学(5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1))
设计:吴兵 审校:蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________
一、知识点
1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2
≠++=a c bx ax y )与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程
02=++c bx ax 的两根为 .
一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数.
(1)抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点,
02
=+
+c bx
ax
ac b 42- 0;
(2)抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点,
02
=++c bx ax ac b 42- 0;
(3)抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点,
02
=++c bx ax ac b 42- 0.
2.抛物线与直线的交点:
①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线; ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线;
③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题
不画图象,你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗?请说明理由。
三、适应练习
1、方程 的根是 ;则函数 的图象与x 轴的交点有 个,其坐标是 .
2、方程 的根是 ;则函数 的图象与x 轴的
交点有 个,其坐标是 .
3、下列函数的图象中,与x 轴没有公共点的是( )
62
-+=x x y 0542
=-+x x 025102=-+-x x 25102
-+-=x x y 542
-+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D
4、已知二次函数y=x 2-4x+k+2与x 轴有公共点,求k 的取值范围.
5、已知抛物线的解析式为y=x 2-(2m-1)x+m 2-m ①求证:此抛物线与x 轴必有两个不同的交点.
②若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y 轴上,求m 的值.
6、打高尔夫时 ,球的飞行路线可以看成是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行高度y (单位:米)与飞行距离x (单位:百米)之间具有关系:y=-5x 2+20x ,这个球飞行的水平距离最远是多少米?想一想:球的飞行高度能否达到40m ?
7、已知抛物线c bx ax y ++=2
1(a≠0,a≠c )过点A(1,0),顶点为B ,且抛物线不经过第三象限。
(1)使用a 、c 表示b;
(2)判断点B 所在象限,并说明理由;
(3)若直线m x y +=22经过点B ,且与该抛物线交于另一点C(8,+b a
c
),求当x ≥1时1y 的取值范围。
怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习
初 三 数 学(5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1))
设计:吴兵 审校:蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________
一、基础练习
1.判断下列函数图象与x 轴的位置关系:
⑴2
2x x y --= (2)962
-+-=x x y (3)222+-=x x y
2.下列函数图象与x 轴有两个交点的是( )
A .y =7(x +8)2+2
B .y =7(x -8)2+2
C .y = -7(x -8)2-2
D .y = -7(x +8)2+2 3.(1)抛物线2
43y x x =++与直线3x =-有 个交点; (2)抛物线2
31y x x =-+与直线2y =有 个交点; (3)抛物线2
31y x x =-+与直线y k =有1个交点,则_____k =. 4. 已知抛物线223y x x =--的部分图象如图所示, (1)若0y <,则x 的取值范围是 ; (2)若3y >-时, 则x 的取值范围是 ; (3)不等式2
230x x -->的解集是 . 5. 如图, 已知二次函数c bx ax y ++=21(a ≠0,a ,b ,c 为常数)与 一次函数m kx y +=2(k 、m 为常数,)0≠k 的图像相交于点A(-2,4)、 B(8,2),能使1y >2y 成立的x 取值范围 .
6. 已知抛物线y=-x 2+2(m+1)x+m+3与x 轴有两个交点A 、B ,其中A 在x 轴的正半轴,B 在x 轴的负半轴,
(1)若OA=3OB ,求m 的值。 (2)若3(OA-OB )=2OA·OB ,求m 的值。
0 1
-1 -3
7. 二次函数y=x2-x-3和一次函数y=x+b有一个公共点(即相切),求出b的值.
二、拓展训练
8.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,-4)与x轴两交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x12+x22=10,求抛物线的解析式。
9.已知是x1、x2方程x2-(k-3)x+k+4=0的两个实根,A、B为抛物线y= x2-(k-3)x+k+4与x轴的两个交点,P是y轴上异于原点的点,设∠PAB=α,∠PBA=β,问α、β能否相等?并说明理由.
10.已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6).
(1)求证:不论m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,且这两个交点都在x轴的正半轴上.
(2)设抛物线与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),求点A、B、C 的坐标(用m的代数式表示)。
(3)若△ABC的面积为48平方单位,求m的值。
怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习
初 三 数 学(5.3二次函数与一元二次方程和不等式(2))
设计:吴兵 审校:蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________
一、知识点
根据函数图像提供的信息,借助计算器较精确的估算方程的近似根,感受和体验无限逼近的数学思想和方法. 二、典型例题
引例. 关于x 的二次三项式2
x px q ++的值的情况,可列表如下:
则方程2
0x px q ++=的正数解满足
A .解的整数部分是0,十分位是5
B .解的整数部分是0,十分位是8
C .解的整数部分是1,十分位是2
D .解的整数部分是1,十分位是1
例 1.你能根据右图中函数522
-+=x x y 的图象与x 轴的位置关系,说出方程
0522=-+x x 的根吗?
解:由图象知,抛物线与x 轴有两个公共点, 它们分别位于x 轴上表示1与2、-4与-3的 点之间,所以一元二次方程2
250x x +-=
有两个根,它们分别介于1与2、-4与-3之间. 这两个根分别是1.5和-3.5吗? 通过观察并借助计算器计算,
我们可以进一步探索出介于1与2之间的方程的根的近似值. ∵当x =1时,2
121520y =+?-=-<, 当x =2时,2222530y =+?-=>, 当x =1.5时,21.52 1.550.250y =+?-=>,
∴使0=y 的x 的值一定在1与1.5之间,即1 1.5x <<; ∵当x =1.25时,2
1.252 1.2550.93750y =+?-=-<, ∴使0=y 的x 的值一定在1.25与1.5之间,即1.25 1.5x <<; 又当40.1375.1≈=x 时,024.0540.1240.12
<-=-?+=y , 当45.1=x 时,00025.0545.1245.12
>=-?+=y , ∴使0=y 的x 的值一定在1.40与1.45之间,即45.140.1< ∴使0=y 的x 的近似值(精确到0.1)为1.4,即方程0522 =-+x x 介于1与2之间的根1x 的近似值为1.4(精确到0.1). 你能用同样的方法确定方程的另一个根2x 的近似值(精确到0.1)吗? 试试看. 三、适应练习 1.利用二次函数的图像求下列方程的近似根(精确到0.1) (1)0352 =-+x x (2)012 12 =--x x 2. 抛物线y=-x 2+7x-10与轴的两个交点坐标是 ,这两个交点之间距离是 。 3. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 是常数)中,自变量x 与函数y 的对应值如下表: (1) 判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标; (2)一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a,b,c 是常数)两根x 1,x 2(x 1<x 2)的取值范围是 .。 4. 已知抛物线 和直线 相交于点P(3,4m)。 (1)求这两个函数的关系式; (2)当x 取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。 88221++-=k x x y 12+=mx y 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中,直线m x y +- =65经过点()n A ,2-,??? ??21,1B ,抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . (1)求点A 的坐标。 (2)设点E 的坐标为??? ??0,25,若点C 、D 都在线段OE 上,求t 的取值范围。 (3)若该抛物线与线段AB 有公共点,求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线c bx ax y ++=2的开口向上,且经过点?? ? ?? 23,0A 。 (1)若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ,且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空:b = (用含a 的代数式表示)。 ②当2 EF 的值最小时,求抛物线的解析式。 (2)若2 1= a ,当10≤≤x ,抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时,求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ,当0=x 和2=x 时的函数值相等。 (1)求二次函数的解析式。 (2)若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -,求m 和k 的值。 (3)设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图像在B 、C 点间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0>n )个单位后得到的图像记为G ,同时将(2)中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位,当平移后的直线与图像G 有公共点时,求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y (1>t )的图像为抛物线1C 。 (1)求证:无论t 取何值,抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 (2)已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线222)(:t x y C -=,平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ,),2(n m E +,求n 的值。 (3)在(2)的条件下,将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后,连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形,记为图形G 。若直线b x y +- =2 1(3 中考专题复习 二次函数与方程(组)或不等式 ◆知识讲解 (1)最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. (2)y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为(0,c ). (3)与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点(h ,ah 2+bh+c ). (4)抛物线与x 轴的交点. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交. ②有一个交点(顶点在x 轴上)?△=0?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离. (5)平行于x 轴的直线与抛物线的交点. 同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,?两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根. (6)一次函数y=kx+n (k≠0)的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像G 的交点,由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定:①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点;③方程组无解时?L 与G 没有交点. (7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x 轴的交点,?再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:观察图像时不要看漏了其中的部分. 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x ,y 满足x 2 +3x +y -3=0,则x +y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣(k+1)x ﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A 、B 两点,且线段OA 与OB 的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y =ax 2 +bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 . 例5. 已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线2 21y x bx =++上的两点. (1)求b 的值; (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有, 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2 -4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有一个交 点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 6.关于的方程有两个相等的实数根,则相应二次函数 与轴必然相交于 点,此时 . 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =O 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个 数为() A.0个B.1个C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y=ax2+bx+c图 象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与 x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不 等式ax2+bx+c<0的解集 是 . 例5. 已知P(3,m -)和Q(1,m)是抛物线2 21 y x bx =++上的两点. (1)求b的值; 22 y mx x m =+-m x (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有 一个交点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=O 课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课) 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律. 教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系; (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性; (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二次函数的图像; 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解; 1.能用二次函数解决简单的实际问题; 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题; 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c , . (2) 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++,. (3) 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定: ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0?=?抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?时为例,二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下: 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合二次函数与方程、不等式综合问题
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