第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度
8．1概 述
到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。
本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。
8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合
在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。
设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)：
?cos P P x = ?sin P P y =
其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
截面上的轴力x P N =。因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为
A
N =
'
σ 正应力'
σ在横截面上均匀分布，如图8—5c 所示。
分力y P 为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy 平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为
)(x l P M y -= 此时在横截面上任一点K 的弯曲应力为
Z
I My
=
'
'σ ''σ沿截面高度方向的变化规律，如图8—5d 所示。
由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小，这时可应用叠加原理，将拉伸正应力'
σ与弯曲正应力''σ按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为
I
My
A N +=
+='''σσσ ( 8—1 ) 设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力，则总应力σ沿截面高度方
向的变化规律如图8—5e(或8—5f)所示。
由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。从图8—5e 可知，构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于'
σ和''σ均为拉应力，故
总应力为两者之和，由此得最大拉应力为
Z
t W M A N max
max +=
σ ( 8—2 ) 在上边缘，由于'
σ为拉应力，而''σ为压应力，．故总应力为两者之差，由此得最大压应力为
Z
c W M A N max max -=
σ ( 8—3 ) 上两式中的m ax M 为危险截面处的弯矩；。Z W 为抗弯截面系数。
得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件： []t Z t W M A N σσ≤+=
max
max （ 8—4 ） []c Z
c W M A N σσ≤-=
max
max （ 8—5 ） 式中[]t σ和[]c σ分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。
一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料，如铸铁和混凝土等，需用以上两式分
别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料，如低碳钢，则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。
对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩m ax M 改为因载荷偏心而产生的弯矩Pe M =即可。若外力P 的轴向分力x P 为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项
A
N
则应取负号。 还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。
例8—1 悬臂吊车如图8—6a 所示，横梁用25a 号工字钢制成，梁长l =4m ，斜杆与横梁的夹角 30=α，
电葫芦重1Q ＝4kN ，起重量2Q ＝20kN ，材料的许用应力[]σ＝100MPa 。试校核横梁的强度。
解：
(1)外力计算 取横梁AB 为研究对象，其受力图如图8—6b 所示。梁上载荷为
KN Q Q P 2421=+=，右端斜杆的拉力S 可分解为B X 、B Y 两个分力。横梁在横向力P 和A Y 、B
Y 作用下产生弯曲；同时在
A X 和
B X 作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。
当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件
∑=0A M ， 02
=?
-l
P l Y B 得
KN P
Y B 122
==
而
KN Y X B B 8.20577.012
30
tan ===
又由平衡条件
∑=0Y 和∑=0X ，得：
KN Y A 12=
KN X A 8.20=
(2)内力和应力计算 根据横梁的受力情形，和上面求得的数值，可以绘出横梁的弯矩图如图8—6c 所示。在梁中点截面上的弯矩最大，其值为
m N Pl M ?=?==
240004
4240004max 从型钢表上查得25a 号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为： 242105.485.48m cm A -?== 36210402402m cm W Z -?==
所以最大弯曲应力为
MPa Pa W M Z B 60107.5910
402240006
6
max max ≈?≈?==
-σ 其分布如图8—6e 所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。
横梁所受的轴向压力为 B X N =
则危险截面上的压应力为
MPa Pa A X A N B c 29.41029.400485
.0208006-=?-=-=-=-
=σ 并均匀分布于横截面上，如图8—6d 所示。
故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为(图8—6f)：
MPa W M A N Z c 3.646029.4max
max -≈--=--
=σ
MPa W M A N Z
t 7.556029.4max max ≈+-=+-
=σ (3)强度校核 曲于工字钢的抗拉与抗压能力相同，故只校核正应力绝 对值最大处的强度即可，即
[]σσ<=MPa c 64max
由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的、
例-8-2 图8—7a 所示的钻床，钻孔时受到压力P=15kN 。已知偏心矩e ＝40cm ，铸铁立柱，的许用拉应力
[]t σ=35MPa ，许用压应力[]c σ=120MPa ，试计算铸铁立柱所需的直径。
解：
(1)
计算内力立柱在力P 作用下产生偏心拉伸-，将立柱假想地截开，取上段为研究对象(图8-7b)，
由平衡条件，不难求得立柱的轴力和弯矩分别为： N P N 15000==
m N Pe M ?=?==60004.015000
(2)
选择立柱直径 由于铸铁的许用拉应力
[]t σ小手许用压应力[]c σ，因此，应根据最大拉应力
m ax t σ来进行强度计算。由公式(8—4)，
[]t Z
t W Pe A N σσ≤+=
max 得
63
2103532
6000
415000?≤+d d ππ 解此方程就能得到立柱的直径d 。但因这是一个三次方程，求解较繁。因此，在设计计算中常采用一种简便的方法。一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸(或压缩)杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍微增大，再代入偏心拉伸的强度 条件(式8—4)中进行校核，如数值相差较大，再作调整，如此逐步逼近，最后可求得满足此方程的直径。
在此题中，先考虑弯曲强度条件
[]σ≤Z
W M
即
6
3
103532
326000?≤d π 由此解得立柱的近似直径
m d 12.0=
将其稍加增大，现取m d 12.0=，再代入偏心拉伸的强度条件校核，得
[]MPa MPa t 355.32105.3232
125
.014.36000
4125.014.31500062
2max =<=?=?+?=
σσ 满足强度条件，最后选用立柱直径m d 125.0=。
例8—3 一带槽钢板受力如图8—8a 所示，已知钢板宽度b ＝8cm ，厚度δ＝1cm ，边缘上半圆形槽 的半径r ＝lcm ，已知拉力P ＝80kN ，钢板许用应力
[]σ＝140MPa 。试对此钢板进行强度校核。
解：由于钢板在截面I--I 处有一半圆槽，因而外力P 对此截面为偏心拉伸，其偏心距之值为
cm r r b b e 5.02
1222===--=
截面I--I 处的轴力和弯矩分别为： N KN P N 8000080===
m N Pe M ?=?==400005.080000
轴力N 和弯矩M 在半圆槽底部的。点处都引起拉应力(图8—8b)，此处即为危险点。由式(8—4)得最大拉
应力为
[]
σδδσ>=?=-??+
-?=-+-=
MPa Pa r b Pe r b P t 3.163103.163)01.008.0(01.0400
6)01.008.0(01.0800006
)()(62
2max
计算结果表明，钢板在截面I--I 处的强度不够。
从上面的分析可知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe ，使截面I--I 的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽(图8—8c)。这样就避免了偏心拉伸，而使钢板变为轴向拉伸了。此时截面I--I 上的应力(图8—8d)为
[]MPa MPa r b P 1403.133)
01.0208.0(01.080000
)2(=<=?-?=-=
σδσ
由此可知，虽然钢板被两个槽所削弱，使横截面面积减少了，但由于避免了载荷的偏心，因而使截面I--I 的实际应力比有一个槽时大为降低，保证了钢板的强度。但须注意，开槽时应使截面变化缓和些，以减小应力集中。
8.2弯龃与扭转的组合
机械中一般有扭转变形的构件，例如齿轮轴等，在扭转的同时，往往还有弯曲变形。当
弯曲的影响不能忽略时，就应按弯曲与扭转的组合变形问题来计算。本节将讨论圆杆在弯曲与扭转组合变形时的强度计算。下面以一个典型的弯曲与扭转组合的圆杆来说明。
设有一圆杆AB ，一端固定，一端自由；在自由端B 处安装有一圆轮，并于轮缘处作用一集中力P ，如图8—9a 所示，现在研究
圆杆AB 的强度。为此，将力P 向B 端面的形心平移，得到一横 向力P 和矩为02。‘PR 的力偶，此时圆杆AB 的受力情况可简化 为如图8—9b 所示，横向力和力偶分别使圆杆AB 发生平面弯曲和 扭转。
作出圆杆的扭矩图和弯矩图(图8—9c 、d)，由图8—9d 可见，圆杆左端的弯矩最大，所以此杆的危险截面位于固定端处。危险截面上弯曲正应力和扭转切应力的分布规律如图8—9e 所示。由图可见，在a 和b 两点处，弯曲正应力和扭转切应力同时达到最大值，均为危险点，其上的最大弯曲正应力B σ和最大扭转切应力t τ，分别为：
??
??
?=
=
W M W T B t
T στ
( a )
式中M 和T 分别为危险截面的弯矩和扭矩；W 和t W ，分别为抗弯截面系数和抗扭截面系数。如在凸，凸两危险点中的任一点，例如a 点处取出一单元体，如图8—9f 所示，则由于
此单元体处于平面应力状态，故须用强度理论来进行强度计算。为此须先求单元体的主应力。将0=y σ、B x σσ=和t y ττ=代入公式(7—4)，可得：
2
231)2
(2t B B τσσσσ+±=
??? ( 8—6 ) 另一主应力 02=σ
求得主应力后，即可根据强度理论进行强度计算。
机械中的轴一般都用塑性材料制成，因此应采用第三或第四强度理论。由式(7—20)和(7—21)，如用第三强度理论，其强度条件为 []σσσσ≤-=313eq
将主应力代入上式，可得用正应力和切应力表示的强度条件为
[]στσσ≤+=22
34t B eq ( 8—7 )
若将式(a)代入上式，并注意到对于圆杆，W W t 2=，可得以弯矩、扭矩和抗弯截面系数表示的强度条件为 []σσ≤+=
W
T M eq 2
23 ( 8—8 )
如用第四强度理论，则将各主应力代入式(7—21)， ()()()[]
21323222142
1
σσσσσσσ-+-+-=
eq 可得按第四强度理论建立的强度条件为
[]στσσ≤+=22
43t B eq ( 8—9 )
若以式(a)代入，则得 []σσ≤+=
W
T M eq 2
2475.0 ( 8—10 )
以上公式同样适用于空心圆杆，只需以空心圆杆的抗弯截面系数代替实心圆杆的抗弯截面系数即可。
式(8—7)～(8—10)为弯曲与扭转组合变形圆杆的强度条件。对于拉伸(或压缩)与扭转组合变形的圆杆，其横截面上也同时作用有正应力和切应力，在危险点处取出的单元体，其应力状态同弯曲与扭转组合时的情况相同，因此也可得出式(8—7)和(8—9)的强度条件，但其中的弯曲应力ds 应改为拉伸(或压缩)应力。
例8--4 图8—lOa 所示的手摇绞车，已知轴的直径d ＝3cm ．，卷简直径D ＝36cm ，两轴承间的距离
l ＝80cm ，轴的许用应力[]σ＝80MPa 。试按第三强度理论计算绞车能起吊的最大安全载荷Q 。
解：
(1)外力分析 将载荷Q 向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q 和一个附加的力偶，其矩为
QD m C 2
1
=
，它们代替了原来载荷的作用，且分别与轴承的反力和转动绞车的力矩相干衡。由此得到轴的计算简图如图8—lob 所示。
(2)作内力图 绞车轴的弯矩图和扭矩图如图8—l0c 、d 所示，由图可见，危险截面在轴的中点C 处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
Q Q Ql M 2.08.041
41=?==
m N ? Q Q Ql T 18.036.02
1
21=?== m N ?
(3)求最大安全载荷 由于轴的危险点处于复杂应力状态，故应按强度理论进行强度计算。又因轴是塑性材料制成的，可采用第三强度理论，即由公式(8—8)得
[]σσ≤+=
W
T M eq 2
23
即
63
2
2108032
03.0)18.0()2.0(?≤?+πQ Q
由此解得
N Q 788≤
即最大安全载荷为788N 。
例8-5 一齿轮轴AB 如图8—lla 所示。已知轴的转速n ＝265r ／min ，由电动机输入的功率P ＝10kW ；两齿轮节圆直径为1D ＝396mm ，2D ＝168mm ；齿轮啮合力与齿轮节圆切线的夹角 20=α；轴直径
d ＝50mm ，材料为45钢，其许用应力
[]σ＝50MPa 。试校核轴的强度。
解：此轴的受力情况比较复杂，各啮合力和轴承反力都需要简化到两个互相垂直的平面上来处理，
(1)计算外力 取一空间坐标系oxyz ，将啮合力1P 、
2P 分解为切向力和径向力：y P 1、z P 1和y P 2、z P 2，它们分别平行于y 轴和x 轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将z P 1、y P 2平行移至轴上，同时加一附加力偶，其矩分别为：
2
1
1D P m z C ?
= ，
2
22D P m y D ?
=
简化结果，轴的计算简图如图8—9b 所示。由图可见，C m 和D m 使轴产生扭转，y P 1、y P 2和z P 1、z P 2则分别使轴在平面Oxy 和Oxz 内发生弯曲。
下面进一步计算有关数据。由式(3—2)
N n P m m D C 360265
10
95509550
=?===
2
11D P m z C ?
=
则
N D T P C z 1818396
.0360
2211=?==
因
2
2
2D P m y D ?
=
所以
N D T P D y 4286168
.0360
2222=?==
又由图8—11a 所示切向力和径向力的三角关系，有 N P P z y 662364.0181820tan 11=?==
N P P y z 1560364.0428620tan 22=?==
(2)作内力图、并确定危险截面 根据上面的简化结果，需分别画出轴在两互相垂直于面内的弯矩图和扭矩图，为此，须先计算轴的支座反力。
平面在Oxz 内，由平衡条件可求得轴承A 、B 处的支座反力为：
N Z A 1747= ， N Z B 1631=
然后可画出平面Oxz 内的弯矩Z M 图，如图8—11d 中的水平圆形。 同样，可求得在平面Oxy 内轴承A 、B 处的支座反力为：
N
Y A 1662= ，
N Y B 3286=
在平面Oxy 内的弯矩从图，如图8—11d 中的铅垂图形。
根据图8—11b 所示的外力偶，画出轴的扭矩图如图8—11c 所示。
由弯矩图和扭矩图上可见，在凹段内各截面的扭矩相同，而最大弯矩则可能出现在截面C 或D 上。截面C 、D 上的弯矩为该截面上两个方向弯矩的合成。对于圆截面轴而言，无论合成弯矩所在平面的方向如何，并不影响使用弯曲正应力公式来计算弯曲应力，因为合成弯矩的所在平面仍然是圆轴的纵向对称面。与力的合成原理相同，合成弯矩M 的数值，等于两互相垂直平面内的弯矩平方和的开方，即
2
2
z y M M M +=
代进数值后，求得截面C 和D 的合成弯矩分别为： m N M C ?=+=19313314022
m N M D ?=+=29326213022
由比较可知，在截面D 上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为
m N T ?=360
(3)强度校核 对于塑性材料制成的轴，应采用第三或第四强度理论进行计算，用第三理论，则由式(8—8)，
[]MPa MPa W
T M D eq 551.37101.3705
.01.036029363
2
22
2
3=<=?=?+=
+=
σσ 如采用第四强度理论，则由式(8—10)，
[]M P a M P a W
T M D eq 552.34102.3405
.01.036075.029375.06
3
222
24=<=?=??+=?+=
σσ计算可知，不论是根据第三强度理论，还是第四强度理论，轴的强度都是足够的。
必须指出，上述轴的计算是按静载荷情况来考虑的。这样处理在轴的初步设计或估算时是经常采用的。实际上，由于轴的转动，轴是在周期变化的交变应力作用下工作的，因此，有时还须进一步校核在交变应力作用下的强度。这在机械零件课程中将另有详述，本书不再讨论。至于有关交变应力的一些概念，将在第十章中介绍。
此外，在工程设计中，对于一些组合变形构件的强度问题，也常采用一种简化的计算方法。这就是当某一种基本变形起主导作用时，可将次要的基本变形忽略不计，而将构件简化为某种单一的基本变形；同时适当地增大安全系数或降低许用应力。例如，轧钢机中主动轧辊的辊身是弯曲与扭转组合变形的问题，但在实际计算中，可加大安全系数而只按弯曲强度来考虑。又如拧紧螺栓时，是拉伸与扭转的组合变形问题，有时则降低许用应力而只按拉伸强度来计算。如果构件所产生的几种基本变形都比较重要而不能忽略时，这就应作为组合变形构件的问题来处理了。
小 结
1．组合变形构件的强度就是构件同时产生几种基本变形时的强度问题。这类问题的强
度计算，是建立在各种基本变形构件的应力计算基础上的。因此，需要对轴向拉压、弯曲和扭转等基本变形构件的受力特点、应力的分布规律和计算以及应力状态等有一个明确的概念。只有这样，才可能对组合强度问题进行正确的分析。
2．分析组合变形构件强度问题的方法步骤如下：
(1)对作用于构件上的外力进行分解，将其分成几组基本变形构件的受力情况。
(2)计算构件在各个基本变形情况下危险截面上的内力。
(3)分别计算在每一基本变形情况下危险截面上的应力，确定危险点的位置。对于弯曲与拉压组合变形的构件，因危险点处于单向应力状态，可将各基本变形下的应力按代数值进行叠加，求出总应力；对弯曲与扭转组合变形的构件，因危险点处于复杂应力状态，则根据强度理论计算出相当应力。
(4)进行强度计算。在单向应力状态下，采用的强度条件为
[]σσ≤
max ，或[]n
n u≥
=
max
σ
σ
对于复杂应力状态，则采用强度条件
[]σσ≤
eq ，或[]n
n
eq
u≥
=
σ
σ
第八章组合变形构件的强度习题
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为
第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
第八章组合变形练习题
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
第十二章 组合变形的强度计算
第十二章 组合变形的强度计算 思 考 题 1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？ 2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？ 3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？ 4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？ 5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？ 6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？ 习 题 1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN ，ｌ＝２ｍ，5.1, 12==?b h ?，材料的容许正应力［σ］＝10MPa ，试确定ｂ和ｈ的尺寸。 2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成?角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa ，试求梁能承受的最大分布荷载m ax q 。 题 1 图 题 2 图 3 如图所示斜梁横截面为正方形，a ＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。
4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN ，Ｆ2＝10ｋN ，Ｆ3.＝1.2ｋN ， ＝2ｍ，ｂ＝12cm ，ｈ=18cm ，试求杆中的最大压应力。 题 3 图 题 4 图 5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ] =100MPa 。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。 6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4 a 。求开槽前后柱内的最大压应力值。 题 5 图 题 6 图 7 砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力Ｆ＝40kN 的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。 8 矩形截面偏心受拉木杆，偏心力Ｆ＝160kN ，ｅ＝5cm ，［σ］＝10MPa ，矩形截面宽度ｂ＝16cm ，试确定木杆的截面高度ｈ
《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
第八章组合变形构件的强度习题
第八章 组合变形构件得强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上得变形,称为( )变形。 二、计算题 1、如图所示得手摇绞车,最大起重量Q =788N,卷筒直径D =36cm ,两轴承间得距离l =80cm ,轴得许用应力=80Mpa 。试按第三强度理论设计轴得直径d 。 2、图示手摇铰车得最大起重量P =1kN,材料为Q 235钢,[σ]=80 MPa 。试按第三强度理论选择铰车得轴得直径。 3、图示传动轴AB 由电动机带动,轴长L =1、2m ,在跨中安装一胶带轮,重G =5kN,半径R =0、6m ,胶带紧边张力F 1=6kN ,松边张力F 2=3kN 。轴直径d =0、1m,材料许用应力[σ]=50MPa 。试按第三强度理论校核轴得强度。 kN 8.1? kN 2.4? 4、如图所示,轴上安装有两个轮子,两轮上分别作用有F =3kN 及重物Q ,该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa 。试按第四强度理论选定轴得直径d 。
5、图示钢质拐轴, AB轴得长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm,承受集中载荷F得作用,许用应力[σ]=160Mpa,若AB轴得抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论,按AB轴得强度条件确定此结构得许可载荷F。(注:写出解题过程) 6、如图所示,由电动机带动得轴上,装有一直径D=1m得皮带轮,皮带紧边张力为2F=5KN,松边张力为F=2、5KN,轮重F P=2KN,已知材料得许用应力[σ]=80Mpa,试按第三强度理论设计轴得直径d。 7、如图所示,有一圆杆AB长为l,横截面直径为d,杆得一端固定,一端自由,在自由端B处固结一圆轮,轮得半径为R,并于轮缘处作用一集中得切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆得强度条件。圆杆材料得许用应力为[σ]。
第八章组合变形构建的强度习题答案.
第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解：
m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图
组合变形构件的强度习题
一 、 填空题 1两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形 ，称为（ ）变形 、计算题 1如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N,卷筒直径D=36cm 两轴承间的距离l=80cm, 轴的许用应力 =80Mpa 。试按第三强度理论设计轴的直径 d o 2、图示手摇铰车的最大起重量 P=1kN ,材料为Q235钢，[q]=80 MPa 。试按第三强度理 论选择铰车的轴的直径。 400 -id n 3、图示传动轴AB 由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重 G=5kN,半径 R=0.6m,胶带紧边张力 F 1=6kN 松边张力 R=3kN 。轴直径 d=0.1m ，材料许用应力 [d =50MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有 F=3kN 及重物Q ,该轴处于平 第八章 组合变形构件的强度习题 40-0
5 、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度1BC=140mm,承受集中载荷F 的作用，许用应力［c）=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。（注：写出解题过程） 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D =1m的皮带轮，皮带紧边张力为 2F=5KN松边张力为F=,轮重F P=2KN,已知材料的许用应力［q］=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为I，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R,并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为［可。 衡状态。若［d=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d
第八章-组合变形及连接部分的计算-习题选解
习 题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 211max 2++? =+= σ 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
@@@情境五,2 构件的基本变形与强度计算.
情景五构件的基本变形与强度计算 情境描述 本情境的研究对象是变形固体，属于材料力学的范畴。工程构件的基本变形与强度计算不仅是本情境的学习重点，也是工程力学课程的学习重点。已学过的刚体静力分析的基本概念与理论以及静力平衡问题（属于静力学范畴）为学习本情境打下了基础。情境五将重点讨论工程构件的四种基本变形和强度、刚度计算，除为后续课程（机械构件及工装夹具设计）提供最基本的原理和方法外，还力图为同学们的终身学习与职业生涯发展以及工程素养的培养寻求（奠定）科学支撑。学习目标 ● 明确材料力学的任务、研究对象与方法，理解变形固体的基本假设，认知工程构件的四种基本变形，建立起强度、刚度、稳定性的概念。● 建立起内力、应力的概念，理解并测定材料的机械性能指标，能用截面法求拉（压）杆横截面上的正应力，并能对拉（压）杆进行强度校核、截面尺寸选择和确定结构的许用载荷。 ● 理解连接件剪切与挤压破坏的受力和变形特点，能正确地判断剪切面和挤压面，能熟练运用剪切强度条件和挤压强度条件对连接件进行强度计算。 ● 建立圆轴扭转变形的相关概念，正确绘制扭矩图，熟悉横截面上剪应力的分布规律，并能应用圆轴的强度、刚度条件对扭转圆轴进行设计计算。● 熟悉平面弯曲概念，会将实际受弯构件简化成梁的力学模型，熟悉纯弯曲时截面上正应力分布规律，能绘出弯矩图并对直梁进行弯曲强度计算，找出提高梁弯曲强度的主要措施。 ● 培养工程意识、质量意识与社会责任意识。 学习任务 ● 变形固体及其相关概念认知。 ● 轴向拉（压）杆的变形及其强度计算。 ● 连接件剪切与挤压变形及其实用计算。 ● 圆轴的扭转变形及其强（刚）度计算。 ● 直梁弯曲的强（刚）度计算。 任务五直梁弯曲的强（刚）度计算 【能力目标】 ?能正确地建立剪力方程与弯矩方程并画出剪力图和弯矩图。?能计算纯弯曲梁横截面上的正应力。 ?能运用弯曲强度条件进行设计计算，并能拟定提高梁抗弯曲能力的措施。?能运用梁的刚度条件校核其刚度。 ?会查型钢表。
构件的基本变形与强度练习题
构件的基本变形与强度练习题 构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1. --------------------------------------------------------- 杆件的基本变形有----------------------------- --------------------- 四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是： 变形特点是 --------- O 3?杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括------------- 和 --------------- 杆件内 部由于外力的作用而产生的相互作用力称为
---------- ，在某一范围内随外力的增大而4.单位面积上的内力称为 5?工程中一般把------------- 作为塑性材料的 极限应力，对于脆性材料，则把------------ 作为材料的极限应力。 6. -------------------------------------------- 安全系数反应了-------------------------- 。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大
事故的构件，应将安全系数取 &当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然 变弯而丧失工作能力，这种现象称为 ------------- ,简称 ----------------- ----------------- , 变形特点是 10?构件发 生剪切变形的同时往往在接触的作用 面之间发生 -------------------------- -------------------- 。变形特点是 12?圆轴扭转时，横截面上只有 --------------- 应力，而没有 ------------- 应力。 13 弯曲变形的受力特点是 ------------------- ,变形特点是 15?根据支 撑方式不同，梁分为 ,三种形式。 9 11 轴扭转的受力特点是
组合变形的强度计算.
第8章 组合变形的强度计算 8.1 组合变形的概念 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图8.1 吊钩及传动轴 屋架 屋面 檀条 q (a) (b)(c) (a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然
材料力学 180 后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。 8.2 斜 弯 曲 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为 1y M F x =，2()z M F x a =- 在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为 y y M z I σ'= ，z z M y I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即 y z y z M M z y I I σσ'''+=- (8-1) 式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。 (a) (b) 图8.3 斜弯曲
第9章构件组合变形
材 料 力 学 ·198 · 第9章 构件/组合变形 9.1 概 述 前面章节讨论了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲等基本变形形式下的应力和位移的计算等问题。工程实际中的许多构件往往发生两种或两种以上基本变形，称为组合变形。例如，钻探机钻杆（图9.1（a ））上端受到来自动力机械的力螺旋（力+力偶）作用引起的轴向压缩变形，下部受到来自泥土的分布力螺旋作用引起的扭转变形；蓄水堤（图9.1（b ））受自重引起的轴向压缩变形，同时还有水平的水压引起的弯曲变形；又如机械中齿轮传动轴（图9.1（c ））在啮合力作用下，将同时发生扭转变形以及在水平和竖直平面内的弯曲变形；再如厂房中支撑吊车梁的立柱（图9.1（d ））在由吊车梁传来的不通过立柱轴线的竖直载荷作用下，引起的偏心压缩变形，它可看成是轴向压缩和纯弯曲的组合变形。 图9.1 组合变形实例 对于组合变形下的构件，在线弹性范围内，小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算。因而，可先将载荷化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后，利用叠加原理，综合考虑各种基本变形的组合情形，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点处的应力状态，并据此进行强度计算。 利用叠加原理进行组合变形构件的强度分析计算过程可概括为： （1）按引起的变形类型分解外力。通常是将载荷向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。
第9章 构件/组合变形 ·199 · （2）分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。 （3）分别计算危险点处各基本变形引起的应力。 （4）叠加危险点的应力。叠加通常是在应力状态单元体上的进行。然后选择适当的强度理论进行强度计算。 若构件的组合变形超出了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大，则不能按其初始形状或尺寸进行计算，必须考虑各基本变形之间的相互影响，此时不能用叠加原理。 本章主要讨论在实际工程中常见组合变形：拉（压）弯组合、弯扭组合、斜弯曲等。 9.2 轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合 杆件受轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合作用有两种情况：一种是轴向载荷与横向载荷的联合作用，另一种是偏心拉伸或压缩。 若杆受到轴向载荷作用的同时，又在其纵向平面内受到横向载荷的作用，这时杆件将发生轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度较大的杆件，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，原始尺寸原理可以使用，轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可以省略不计。这样，轴向力就只引起压缩变形，外力与杆件内力和应力的关系仍然是线性的，叠加原理就可以使用。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸（压缩）与弯曲组合变形下杆横截面上的正应力。 下面以图9.2所示的简支梁为例，说明杆受轴向载荷与横向载荷联合作用下的应力及强度计算方法。该简支梁承受轴向载荷F 与横向均布载荷q 的联合作用。轴向载荷F 使梁产生轴向伸长，引起各横截面的轴力均为F N =F （图9.2（c ））；横向载荷q 使梁发生在xy 平面 内的弯曲，跨中截面C 的弯矩最大，其值为2max /8C M M ql ==（图9.2（d ））。显然，截面C 是危险截面（剪力引起的切应力通常忽略不计），如图9.2（b ）所示。 在危险截面上，由轴力F N 引起的正应力N F σ为 N N F F A σ= 纵坐标为y 处，弯矩C M 引起的弯曲正应力M σ为 max M z M y I σ= 应用叠加原理，可得危险截面上任一点处的正应力 （9.1） 上式表明，正应力沿截面高度呈线性变化，且中性轴不通过截面形心。截面底部边缘和顶部边缘处的正应力分别为 （9.2）
组合变形构件的强度练习题
组合变形构件的强度 一、单项选择题： 1．在偏心拉伸（压缩）情况下，受力杆件中各点的应力状态为（ ）。 A ．单向应力状态； Ｂ．二向应力状态； Ｃ．单向或二向应力状态； Ｄ．单向应力状态或零应力状态。 2．圆截面折杆ABCDEF 在端部受一对集中力P 作用，力P 与Z 轴平行，如图所示。该折杆处于弯扭组合变形状态的部分是（ ）。 A ．杆BC 和杆DE ； Ｂ．杆CD ； Ｃ．杆BC 、杆CD 和杆DE ； Ｄ．无。 个那么好吗c3．圆截面悬臂梁受载如图，固定端横截面上的最大拉、压应力为（ ）。 A ． )( z y y W Mz W M + ±； Ｂ． )32( 3 2 2d M M z y π+±； Ｃ．)16(3 2 2d M M z y π+±； Ｄ． )(1 z y z M M W +± 。 题2图 题3图
4．图（1）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（2）、图（3）所示。令杆（1）、（2）、（3）中的最大拉应力分别为、m ax 1σ、m ax 2σ和m ax 3σ，则下列结论中（ ）是错误的。 A. m ax 1σ一定小于m ax 2σ B. m ax 1σ一定小于m ax 3σ C. m ax 3σ一定大于m ax 2σ D. m ax 3σ可能小于m ax 2σ 5．某构件横截面上危险点处的应力：弯曲正应力z W M =σ，扭 转切应力t W T = τ 。按第三强度理论的强度条件为（ ）。 A ．t W T M 22+= σ ≤[σ]； Ｂ．2 )(42)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｃ．2 )(32)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｄ．t W T z W M + = σ≤[σ]。 6．图示刚架BACD ，处于弯扭组合变形的是（ ）段。 A ．A B ,CD 段； Ｂ．A C ,C D 段； Ｃ．AB,AC 段； Ｄ．CD 段。 题7图 题4图 题6图
构件的基本变形与强度练习题
构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1.杆件的基本变形有------------------ -------------------- --------------------- ---------------------------------四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是：------------------------------------------------------------------------，变形特点是----------------------------------------------------------------。 3.杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括--------------------和----------------------杆件内部由于外力的作用而产生的相互作用力称为-----------------，在某一范围内随外力的增大而----------------------------。 4.单位面积上的内力称为-------------------------------。 5.工程中一般把--------------------作为塑性材料的极限应力，对于脆性材料，则把---------------作为材料的极限应力。 6.安全系数反应了---------------------------。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大事故的构件，应将安全系数取------------------------。 8.当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为--------------------，简称------------------------。 9.剪切变形的受力特点是-----------------------------，变形特点是---------------------------------------。 10.构件发生剪切变形的同时往往在接触的作用面之间发生--------------------------------------。11圆轴扭转的受力特点是------------------------------。变形特点是----------------------------------------。 12.圆轴扭转时，横截面上只有-----------------------应力，而没有-------------------应力。 13弯曲变形的受力特点是--------------------------------，变形特点是----------------------------- 15.根据支撑方式不同，梁分为--------------------------，------------------------------------，--------------------------------------，三种形式。 16.构件在外力作用下，同时产生两种或两种以上的基本变形，称为----------------------------。 17.提高梁抗弯能力的措施有--------------------------------，------------------------------------------，-------------------------------------------。 18.要使零件在载荷的作用下安全，可靠地工作，零件必须具有足够的------------------------，------------------------------------，--------------------------------------------。 19.低碳钢拉伸时的四个阶段是--------------------阶段---------------------------------阶段------------------------------阶段----------------------------------阶段。 20.铸铁压缩时的抗压强度极限远-----------------于抗拉强度极限。 21.材料丧失正常工作能力时的应力，称为---------------------------------------------。 22.圆轴任一点的切应力与该横截面上的------------------------成正比，与该点所在圆周的 ---------------成正比。，方向与过该点的半径-----------------------。最大切应力在------------------------。 23.弯曲变形时，横截面绕-------------------转动。梁一侧的纤维受拉而------------------------另- 一侧的纤维受压而-------------------------------，横截面上只有----------------------------而没有--------------------------------、 23.梁的横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成------------------------------。 24.挤压变形的特点是-----------------------------------------------------------------------------------。
3.1杆件四种基本变形及组合变形
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外 力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各
2．剪切 【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。 3. 扭转 用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。 例如汽车的转向轴（图b）。当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。
弯曲 【试一试】两手支撑一把长尺子，中间放一重物，尺子会发生怎样的变形呢？ 纵向对称面：梁的横截面多为矩形、工字形、等（图），它们都有一根竖向对称轴，这根对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面。 平面弯曲：梁的弯曲平面与外力作用面相重合的3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力 内力的概念 轴力的计算 1）轴力 为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程： =0 0=-N F F 若取右部分为研究对象，则可得 0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。
组合变形构件的强度计算.
第7章组合变形构件的强度计算150 7.1 点的应力状态简介150 7.2 强度理论152 7.3 组合变形的概念155 7.4 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形156 7.5 扭转和弯曲的组合变形160 第7章组合变形构件的强度计算 本章主要讲授一点应力状态的概念、强度理论；重点介绍弯曲和拉伸（压缩）组合作用下构件的强度计算、弯曲和扭转组合作用下构件的强度计算的方法。 7.1 点的应力状态简介 7.1.1 一点应力状态定义 构件受外力作用产生变形时，其同一截面上的内力元素往往不是单一的，而且各点的应力随该点在截面上的位置也不尽相同；通过同一点的不同截面上，应力的大小和方向也随截面的方向而变化。 受力构件内某一点在各个截面上的应力情况称为该点处的应力状态。在研究复杂受力时必须分析构件在一点处的应力状态。 7.1.2 研究目的 实际构件的受力往往要复杂得多（如图7-1的A点），需要全面的研究危险点处各斜截面上的应力情况，从而为建立与实际情况相符的强度条件提供理论基础。 7.1.3 研究方法 研究构件内的一点的应力状态时，通常是围绕该点 取出一个边长为无限小的立方体（简称单元体）作为研 究对象，当边长趋于零时，单元体就趋于所研究的点。 因此，单元体三对互垂侧面上的应力分量就代表了一点 的应力状态。以转轴受弯曲与扭转的组合作用（图7-1） 为例来说明单元体的取法。若研究A点处的应力状态， 可用两个横截面、一个外表面和三个纵向截面取出一个
单元体（图 7-lc）。两个横截面上有正应力σ和切应力τ，根据切应力互等定理可以确定A点处单元体各表面上的切应力。于是，A点的应力状态就完全确定了。图7-1 从这个单元体出发，采用截面法求出该单元体各个斜截面上的应力，即可求出圆轴表面上A点处各不同截面上的应力。应该指出，由于单元体三个方向的尺寸为无穷小，故可认为它的每个面上的应力是均匀分布的。另外，还可认为单元体任意两个平行面上的应力其大小和性质完全相同，而且两个相平行面上的应力即代表通过所研究的点且与上述两个面相平行的面上的应力。 7.1.4 应力状态分类、主应力、主平面 图7-lc中所示单元体的上、下两个面上，都没有切应力。通过某点处的各截面中，切应力等于零的截面称为该点的主平面。主平面上的正应力称为该点的主应力。一般来说，在受力物体内的任一点处都可截出每个面都是主平面的单元体。若单元体的三个互相垂直的面上都作用有主应力，则称这种应力状态为三向应力状态。图7-2所示的滚珠轴承中滚珠与外圈接触处的应力状态即是三向应力状态的实例。若在外圈与滚珠的接触点处取单元体（图7-2），滚珠与外圈的接触面上，有接触应力σ3。由于σ3的作用，接触点处的材料将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力σ2和σ1，故A点处于三向应力状态。火车车轮与钢轨的接触点，也是三向应力状态。单元体上两个主应力等于零时，称为单向应力状态。图7-3所示拉杆中的任一点A即处于单向应力状态。单元体上一个主应力等于零时，称为二向应力状态。图7-4为薄壁容器圆筒部分的应力状态，从圆筒部分任一点取微体，则纵向截面上的应力为σ1＝pD／2t而横向截面上的应力为σ2=pD／4t，故为二向应力状态。二向应力状态也称为平面应力状态。一般把单向应力状态称为简单应力状态。而把二向和三向应力状态称为复杂应力状态。 图7-2 图7-3 一般情况下，受力物体内一点处都可找出三个主应力，并用σ1、σ2、σ3表示，其顺序按代数值的大小排列即σ1≥σ2≥σ3。