高数一基础知识

高数（一）的预备知识

第一部份 代数部份 （一）、基础知识：

1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。

2．绝对值：a

a a ?=?-?

00a a ≥∠

3．乘法公式

（a+b ）(a-b)=a 2-b 2

(a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)

a 3+

b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)

4.一元二次方程

（1）标准形式：a 2+bx+c=0

(2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-??

?=-=?????

有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根

（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x

2

+px+q=0

设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；

1212p

q

x x x x +=-??

?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数

1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n

n

a a x x -?≠=?

?=??

则 2．根式与分数指数：

（1

）

1

n

a

= （2

）

m n

a

=

3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;

(1)x y

x y

a a a

+?= (2)()m n m n

a a

?=

(3)x y x y a a a -÷=

(4)()n n n a b a b ?=?

4．对数：设,x

a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a

n

=X, lnX ，lgX;

5．对数的性质

(1)log a M ·N=log a M+log a N

(2) log

log log a a M

M N N

=- (3)

log log x

a a N x N =?

(4)换底公式：

log log log a b a N

N b

=

（5）

log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式

1．不等式组的解法：

（1）分别解出两个不等式，例2153241

X X

X X -<-??->-?

（2）求交集 2、绝对值不等式

（1）;

X a a X a ≤?-≤

≤

（2）;X a X a X a ≥?≥≤-

或

3、1元2次不等式的解法：

（1）标准形式：2

00ax bx c ++≥≤（或）

（2）解法：0

0122????? 解对应的一元次方程

判解：

0a a ??

????

①若与不等式同号，解取根外；

②若与不等式异号，解取根内；

③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数

1、正、反比例函数：y kx = ， 1

y x

=

2、1元2次函数：2

y ax bx c =++ （a ≠0）

顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2

44ac b y a

-=；

图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：

n y x = （n=1,2,3）；

4、指数函数：x y a = （x

e ）；

5、对数函数：y=ln x

第二部分 三角

（一）角的概念 1、正角、负角

2、角度与弧度的关系：0

180π= 0

1180

π

=

4、锐角的三角函数关系：

222a b c += s i n

b a

c = cos a a c = tan a=b a cot a=a

b

5、任意角的三角函数

sin y r α=

cos α=x r tan α=y x cot α=x

y

sec α=1cos α csc α=1sin α 6、三角函数符号

7．特殊角的三角函数值：

00 300 450

600

900 1800 2700

sin α 0 1/2 2 2

1 0

-1

cos α

1

/2

/2

1/2

-1

tan α 0

/3

1

∞

0 ∞

cot α

∞

1

3 0

∞

(二)三角变换

1．倒数关系

sin α·csc α=1

tan α·cot α=1

sec α·cos α=1

sec α=

1

cos α

csc α=

1sin α

cot α=

1

tan α

2. 平方关系的

22sin cos 1αα+=

22tan 1s ee αα+=

22cot 1csc αα+=；

3．诱导公式：

（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。

（2）余函数的：900±α，2700±α的三角函数值等于角X 余函极值；符号采用把α当作锐角时，原角所在象限函数的符号。

（三）两角和与两角差的三角函公式sin 22sin cos ααα=?

22222cos cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

αβ↑=

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβ

+=?++=?-?

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ββ

αβαβαβαβαβαβ

↓--=-?-=-?以代 （四）半角公式

sin

2

2α

α==

（五）反三角函数 arc sinX

主值,22ππ??

-

???

?； arc cosX 主值

[]0,π

arc tanX

主值,22ππ??-

????

； arc cotX 主值

()0,π；

（六）几种基本函数的图象（用五点式作草图）

1．Y=sinX (T=2

π )

2. y=cosX (T=2

π )

3. y=tanX

(T=π )

（恒增）

4． y=cotX (T=π )(恒减)

第三部分 （平面解析几何） 1． 直线方程

（1） 点斜式：设直线过点（X 0，Y 0），且斜底为K ，则有：00()y y k x x -=- （2） 两点式：设直线过点（X 0，Y 0）（X 2，Y 2），则有：11

2121

y y x x y y x x --=--

2． 两条直线平行与垂直的条件： （1） 若平行：K 1=K 2；

（2） 若垂直：K 1·K 2=—1即互为负倒数。 3． 圆锥曲线：

（1） 圆：设圆心为（X 0，Y 0），半径为r,则有002

2

2

()()x x y y r -+-=

000,0x y ↓==

则有

222x y r +=

（2） 椭圆

10中心在原点，关于X 轴对称

22

221x y a b

+=，关系：222,,,b c a a b c +=

20

中心原点，关于y 轴对称：22

221

x y b a

+=

30椭圆的面积

s=

2,(a b

ab s a ππ=???→=若圆)

(3)双曲线：22222

221,,,,,,,,x y a b c a b c a b

+=+=

（4）抛物线

10 y 2=2px

20 y 2= - 2px

30 x 2= - 2py