笔记：线性常差分方程基本知识

本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献：

1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版

2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版

目录

第一节差分

第二节和分

第三节对步长及定义域的约定

第四节阶乘多项式与差分

第五节Bernoulli多项式与差分

第六节几个公式,例题

第七节n阶线性常差分方程的解的结构

第八节 Lagrange变易常数法

第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法

第十节常系数对称型线性方程的解

第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法

第一节 差分

定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ?，R x ∈?，0≠?x ，D x ∈?有D x x ∈?+，定义算子?为

()()()x f x x f x f -?+=?

称x ?是x 的变化步长，()x f ?是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ?称为D 上的差分函数，简称差分；算子?是步长为x ?的差分算子。定义为

()()x x f x f ?+=E

称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ?的位移算子。定义算子I 为

()()x f x f =I

称算子I 为恒等算子。称函数

()x

x f ??是D 上的差商函数，简称差商。

约定算子?与算子E 的步长相等。

注1.1：

大写希腊字母?、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ?/ 、epsilon /ep`sail ?n/ 、 iota /ai`?ut ?/ 。

若D x ∈?，有D x x ∈?+，则N n ∈?，有D x n x ∈?+。

定理1.1：算子?、E 、I 有以下关系：

①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =?，即I -E =?。 ②()()()()()x f x f x f x f I +?=I +?=E ，即I +?=E 。 ③()()()()x f x f E ?=?E ，即?E =E?。

定理1.2：算子?、E 是线性算子。对R b a ∈,，函数()x f 与()x g ，有以下等式

()()()()()x g b x f a x bg x af ?+?=+? ()()()()()x g b x f a x bg x af E +E =+E

定义1.2：设N n ∈，作递推定义

()()()x f x f x f =I =?0，()()()

x f x f n n ??=?+1

()()()x f x f x f =I =E 0，()()()

x f x f n n E E =E +1

称()x f n ?是()x f 在x 处的步长为x ?的n 阶差分；称()x f n E 是()x f 在x 处的步长为x ?的n 阶位移；称

n ?是步长为x ?的n 阶差分算子；称n E 是步长为x ?的n 阶位移算子。凡阶数大于1的差分与位移，称

为高阶差分与高阶位移。

注1.2：

N n m ∈?,，有()()()()

x f x f m n n m ?E =E ?。

定理1.3：N n ∈?，有

()()∑=-E ???

? ??-=

I -E =?n

i i

n i n

n

i n 01 ()∑

=-????

? ??=

I +?=E n

i i

n n

n

i n 0 其中，组合系数()!!i n i n i n -=???

? ??，n i ,,3,2,1,0 =． 证明：用数学归纳法。

定义1.3：设二元函数()y x f ,的定义域是D ，()D y x ∈?,，有()D y x x ∈?+,，R x ∈?，0≠?x ，记

()()()y x f y x x f y x f x ,,,-?+=?

称()y x f x ,?是()y x f ,在()y x ,处对x 的步长为x ?的一阶偏差分。

定理1.4：对函数()x f 与()x g ，有以下等式

()()()()()()()g f f g g f f g f g g f g f g f ??+??+???=??+E ??=??+E ??=??

g

g g f f g g f E ???-??=?

，其中g 与g E 不取零值。 证明：参考类似的求导公式的证明。

定理1.5（Leibniz 法则）：对函数()x f 与()x g ，有

()(

)()()()()()∑∑----?E ?????

? ??=?E ?????

? ??=??n

i

i

n i

n n

i

i n i n n

f g i n g f i n g f

证明：用数学归纳法。

定义1.4：设函数()x f 的定义域是D ，若D x ∈?，()()()0=-?+=?x f x x f x f ，则称()x f 是D 上的以x ?为周期的周期函数。

注1.3：

① 设()x p 是D 上的周期函数，对D 上的任意函数()x f ，按定理1.4，有()()()()()x f x p x f x p ??=??。 ② 设()x p 1与()x p 2是D 上的周期函数，R b a ∈,，则()()x bp x ap 21+也是D 上的周期函数。

定理 1.6：设函数()x f 的定义域是D ，()x f 是D 上的周期函数的充分必要条件是，D x ∈?，

()()x f x f =E 。

推论1.6.1：设函数()x f 的定义域是N ，1=?x ，则()x f 是N 上的周期函数的充分必要条件是，()

x f 是N 上的常值函数。

定理1.7：对D 上的函数()x f 与()x g ，若D x ∈?，()()x g x f ?=?，则()x f 与()x g 只相差D 上的一个周期函数。即存在D 上的周期函数()x p ，满足()()()x p x g x f +=。

第二节 和分

定义2.1：若D x ∈?，D 上的函数()x f 与()x F 有以下关系

()()x f x

x F =??，或，()()x x f x F ?=? 即，()x f 是()x F 在D 上的差商函数，则称()x F 是()x f 在D 上的步长为x ?的和分函数，简称和分。

注2.1：

设()x F 1与()x F 2是()x f 在D 上的任意两个和分，按定义，有()()()x x f x F x F ?=?=?21，按定理1.7，()x F 1与()x F 2只相差D 上的一个周期函数。所以，设()x F 是()x f 的一个和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表()x f 在D 上的任意一个和分。

定义2.2：如上，记()()()x p x F x x f +=?∑，称()∑?x x f 是()x f 在D 上的步长为x ?的不定和分。

注2.2：

在文献1中，作者用符号“”表示和分。在文献2中，作者用“∑”表示和分。

定理2.1：对函数f ，g ，不定和分有以下性质 ①R b a ∈,，

()∑∑∑?+?=?+x g b x f a x bg af

②设p 是周期函数，∑∑?=?x f p x pf

③()()∑∑???E -?=???x f g g f x g f

定义2.3：设()x F 是()x f 在D 上的和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表

()x f 的任意一个和分，D a ∈，N n ∈，D b x n a ∈=?+，记

()()()()()()()()()a F b F a p a F b p b F x x f b

a

-=+-+=?∑

称

()∑?b

a

x x f 是()x f 在[]b a ,上的步长为x ?的定和分。a 是定和分下限，b 是定和分上限。

约定

()()()()()a F b F a

b

x F a b x x f x x f b a

-==?=

?∑

∑

注2.3：

①作为一个记号，在

()∑

?x x f ，

()∑

?b a

x x f ，

()a

b

x x f ∑

?中的x ?不能换成数值，也不能省略。

②按差商与和分的定义，有

()()()()()x x i a f x i a F x i a F x i a F ??+=?+-?++=?+?1， ,3,2,1,0=i ，

所以，

()()()()()

()()()()()()()∑

∑

∑?+-=?=

?+=

??-+++?++=-?+=-=?x n a a

n i b

a

x

x f x i a f x x n a f x a f a f a F x n a F a F b F x x f 1

1 可见，定和分是有限求和运算。

③设Z t s ∈,，s ≤t ，函数()x f 的定义域是Z ，()x F 是()x f 的和分，步长1=?x ，则

()()()()()∑

∑

∑

+-==?=

-+=+=

10

1t s

s

t i t

s

i x x f s F t F i t f i f

可见，有限求和运算是定和分。

第三节 对步长及定义域的约定

记1?是步长等于1的差分算子，在D 上的差分()()()x f x x f x f -?+=?中作代换x y x ?=，记

()()()y g x y f x f =?=，有

()()()()n y g x n y f x n x f +=?+=?+

()()()()()()()y g y g y g x y f x y f x f 111?=-+=?+-?+=?

可见，1?可以代换?。为方便，约定所论差分与位移的步长都等于1。

从步长等于1的约定。设函数()x f 的定义域是D ，记()()n r n x f =+，N n ∈，则函数()x r 的定义域是N ，有

()()()()010r r r x f -=?=?

()()()()∑∑

∑

∑

?=

=

+=

?-=-=+n

n i n i n x x

x x r i r i x f x x f 0

1

1

可见，()x r 的定义域是N 可以代换()x f 的定义域是D 。为方便，约定所论函数定义域为N 。

定理3.1：设函数()x f 的定义域是N ，N n ∈，有

()()()()()0000f i n f f n f n

i i n n

n

∑

=-????

? ??=

I +?=E =

定理3.2：设函数()x f 的定义域是N ，N n k ∈,，1≤k ≤n ，有

()()()j f k j n f i n n f k

k

n j k i i ????? ?

?---+????? ??=∑

∑

-=-=01

0110

定理3.3：设函数()x f 的定义域是N ，N n k j ∈,,，1≤k ≤n ，j ≤k ，有

()()()∑

∑

+-=-=????? ??----+????? ??-=?j

k n s k

k j i i i

s f j k s n f j i n n f 01

110

以上三个定理称为“离散的泰勒（Taylor ）公式”，可用数学归纳法证明。

第四节 阶乘多项式与差分

从第三节的约定。设R x ∈，n ≥1，有

()()

()

()122

1

1111----+?+++?+++=-+=?n n n n n n

n x x x x x x x x x

可见，算子?可以使多项式降次。若()x f 是n 次多项式（n ≥1），则()x f ?是1-n 次多项式，且

()01=?+x f n

定义4.1：N n ∈?，定义

当0=n ，记()10=x 当n ≥1，记()

()()()()∏=-=

+-??-?-?=n

i n i x n x x x x x

121

()

()

()()()()()

∏=--+=+-++=+=n

i n n i x x n x n x n x x

1

111

1

称这样定义的()0x ，()n x ，()n x -为阶乘幂函数。

定理4.1：设Z m ∈，则()()1-?=?m m x m x 证明：按定义计算。

推理4.1.1：设Z m ∈，1-≠m ，则(

)

()()x p x m

x x m m +=

?+∑11

例：

()()!121n n n n n =?-= ()()()()!

!

1n m m n m m m m n -=

+--=

()()()???

? ??=-=n m n m n m n m n n !!!

定义4.2：设R x ∈，N n ∈，令

()()()()()!!!

!11n x n x n n x x x n x n x n n -=+--==???

? ?? 称???

?

??n x 为第n 个二项函数。

()()()???

? ??-=-=?=???? ???-1!11!11n x x n x n n x n n ，n ≥1 ()x p n x x n x +???

?

??+=????? ??∑

1

定义4.3：设N n ∈，0a ，1a ，……，n a 为常数，且00≠a ，记

()()()()n n n n a x a x a x a x f ++++=--11110

称()x f 为n 次阶乘多项式，它是个n 次多项式。

注4.2：

()()()()()112211021----+++-+=?n n n n a x a x a n x na x f ，n ≥1

()()()()()()x p x a x a x a n x a n x x f n n n n ++++++=

?-+∑

1211102

1

111

定理4.2：设()()()()n n n n a x a x a x a x f ++++=--11110 ，00≠a ，则

()()()()()()()()()!

00!10!10!0111f x f x n f x n f x f n n n n +?++-?+?=--

即系数()()!

0i n f a i n i -?=-，n i ,,2,1,0 =

定义4.4：设N n ∈，Z i ∈，定义符号()i n s ,如下

若i ＜0，则()0,=i n s 若i ＞n ，则()0,=i n s

若0≤i ≤n ，则()

()∑=?=

n

i i

n x

i n s x 0

,

称()i n s ,为n 阶sterling 数。n 阶sterling 数至多1+n 个。若把n 看作参数，则()i n s ,就是i 的函数。按定义4.1，知()i n s ,的值都是整数。

定理4.3：设N n ∈，Z i ∈，有

()()()i n s n i n s i n s ,1,,1?--=+

证明：

()()()()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑+=+=+=+===++=--=

--=-=-?=1

10

10

1

000

1,1,1,,1,,,n i i

n i i

n i i

n i i

n

i i

n

i i

n n x

i n s x i n ns i n s x

i n ns x i n s x

i n s n

x

i n s x n x x x

比较系数即得结论。

定义4.5：设N n ∈，Z i ∈，定义符号()i n ,σ如下

若i ＜0，则()0,=i n σ 若i ＞n ，则()0,=i n σ

若0≤i ≤n ，则()()∑=?=

n

i i

n

x i n x 0

,σ

称()i n ,σ为n 阶逆sterling 数。n 阶逆sterling 数至多1+n 个。若把n 看作参数，则()i n ,σ就是i 的函数。由前述定义易知，()i n ,σ的值都是整数。

注4.3：

()()()()

()∑

∑∑=--=???? ?

?-=

-+==?=

?n

i i n n

n

i n

i i n

x i n x x x

i n i x i n x 0110

11,,σσ，n ≥1

()()

(

)()()()()

()()x p x i i n x p i x i n x x i n x x n

i i n

i i i n

i i n

++=?

??

?

??++=?=

?∑

∑

∑∑

∑

=+=+=0

1010

1

,1,,σσσ，其中，()x p i ，

n i ,,2,1 =，()()()∑==

n

i i

x p i n x p 0

,σ都是周期函数。

定理4.4：设N n ∈，Z i ∈，有

()()()i n i i n i n ,1,,1σσσ+-=+

证明：

()()

()()

()()()

()()

()()()()

()()

∑∑∑∑∑∑+=+===+==++=

+-=+

=+-=?

=?=1

1

010

1

,1,1,,,,,n i i

n i i

n

i i

n

i i n

i i n

i i

n

n x i n x i n i i n x i n i x

i n i i x x i n x i n x x x x σσσσσσσ

比较系数即得结论。

由定义4.4，4.5，定理4.3，4.4知，只要计算出()0,0s ，()0,0σ，就可以用公式递推得到任意n 阶sterling 数和逆sterling 数。易知()()10,00,0==σs ，由这种递推关系容易看出，sterling 数和逆sterling 数都是整数。

定理4.5：N n ∈，Z j i ∈,且i ≥j ，j ＜n ，则

()()()()0,,,,=?=?∑∑==n

j

i n j

i j i i n s j i s i n σσ

证明：

()()

()()()()∑∑∑

∑∑=====???

?

??=???

? ??==

n

j j n j i n

i n j j n

i i n

x j i s i n x j i s i n x

i n x 0000,,,,,σσσ ()

()()()()()()()∑∑

∑

∑

∑

=====???

?

??=

???

? ??==n

j j n j i n

i n j j n

i i

n x j i i n s x j i i n s x i n s x

0000,,,,,σσ 比较系数即得结论。

列举前5阶的sterling 数：

()10=x ()x x =1 ()x x x -=22 ()x x x x 23233+-= ()x x x x x 61162344-+-=

()x x x x x x 2450351023455+-+-=

所以

()10,0=s

()00,1=s ，()11,1=s

()00,2=s ，()11,2-=s ，()12,2=s

()00,3=s ，()21,3=s ，()32,3-=s ，()13,3=s

()00,4=s ，()61,4-=s ，()112,4=s ，()63,4-=s ，()14,4=s

()00,5=s ，()241,5=s ，()502,5-=s ，()353,5=s ，()104,5-=s ，()15,5=s

列举前5阶的逆sterling 数：

()00x x =

()11x x = ()()212x x x += ()()()32133x x x x ++= ()()()()4321467x x x x x +++=

()()()()()543215102515x x x x x x ++++=

所以

()10,0=σ

()00,1=σ，()11,1=σ

()00,2=σ，()11,2=σ，()12,2=σ

()00,3=σ，()11,3=σ，()32,3=σ，()13,3=σ

()00,4=σ，()11,4=σ，()72,4=σ，()63,4=σ，()14,4=σ

()00,5=σ，()11,5=σ，()152,5=σ，()253,5=σ，()104,5=σ，()15,5=s

第五节 Bernoulli 多项式与差分

（1）设N n ∈，()x B n 是R 上以x 为变元的一元n 次多项式。令()10=x B ，且当n ≥1时有

()1-?=?n n x n x B ．

（2）设N n ∈，n ≥1,记()()∑

-=???

? ??=

1

0n i i n x B i n x U ,()1-?=n n x n x V . 若1=n ,则()()111==x V x U . 若n ＞1,则

()()∑

∑

∑

-=--=--=???? ?

?--=???? ??=

????

?

??=?1

111

111

011n i i n i i n i i n x i n n ix i n x B i n x U

()()

(

)∑

∑

-=--=---???? ?

?--=???? ??-=-+=?=?1

11

2

01

1

1

1111n i i n i i n n n n x i n n x i n n x

x n x

n x V 所以()()x V x U n n ?=?.设n d 为任意常数,则

()()n n n d x V x U +=,N n ∈,n ＞1.

(3)在以上(1)与(2)的设定下,考虑以下三个条件

①

()

()x nB dx

x dB n n 1-=,N n ∈,n ≥1. ②()01

=?

dx x B n ,N n ∈,n ≥1.

③()()x V x U n n =,N n ∈,n ≥1. 现在证明这三个条件相互等价. 其一, ①?③

设①成立.当 N n ∈,n ＞1时,在()()n n n d x V x U +=两边求导,得到()()x V x U n n

'='.而 ()()()()x nU x B i n n x B i n x U n n i i n i i n 12

01

01--=-==????

?

?-='???? ??='∑

∑

()()()x nV x n n x V n n n 121--=-='

故()()x V x U n n 11--=,01=-n d ,N n ∈,n ＞1,也就是()()x V x U n n =,N n ∈,n ≥1. 其二, ②?③

设②成立.令N n ∈,n ≥1,有

()()101

001

=???? ??=??

dx x B n dx x U n ,()11

110==?

?-dx nx dx x V n n

所以()()11

1

==?

?

dx x V dx x U n n .

在()()n n n d x V x U +=两边做[]1,0上的积分,得到

()()???+=1

01010dx d dx x V dx x U n n n

由此知0=n d .故()()x V x U n n =,N n ∈,n ≥1. 其三, ③?① 设③成立.则

()()∑

-=???

?

??++-=10111n i i n

n x B i n n x x B ,N n ∈,n ≥1. 这是个递推式.已经设定()10=x B ,推知()2

1

1-

=x x B ,则()()x B x B 01

='.由此用数学归纳法 ()()()()x nB x B i n n x n x B i n n nx x B n n i i n n i i n n

1201101

1111--=--=-=???

? ?????? ??-='????

??++-='∑

∑ 这就是①.

其四,③?② 设③成立.按前述

()11

00=?

dx x B ,()01

01=?

dx x B ,()()∑

?

?

?

-=???

? ??++-=101

01

01

0111n i i n

n dx x B i n n dx x dx x B 由此可以递推地得到()01

=?

dx x B n ,N n ∈,n ≥1.

综合以上分析,可知条件①,②,③相互等价.

在(1)与(2)的设定下,满足(3)中条件①,②,③中任意一个的多项式()x B n ,N n ∈.称为Bernoulli 多项式.它们满足递推式

()10=x B ,()()∑

-=???

?

??++-=10111n i i n

n x B i n n x x B ,N n ∈,n ≥1. 前六个Bernoulli 多项式是

()10=x B ,()211-

=x x B ,()6

1

22+-=x x x B ,()x x x x B 2123233+-=,()30122344-+-=x x x x B , ()x x x x x B 6

1

35253455-+-=

Bernoulli 多项式()x B n 在0=x 处的值称为Bernoulli 数．记()0n n B B =,则

10=B ,∑

-=???

?

??++-=10111n i i n B i n n B ,N n ∈,n ≥1. 前十一个Bernoulli 数是

1=B ,1-

=B ,1

=B ,0=B ,1-=B ,0=B ,1=B ,0=B ,1-=B ,0=B ,

66

510=

B 用数学归纳法可以证明

012=+k B , ,3,2,1=k

设N n m ∈,,m ≥1,n ≥1,R a ∈,m a b +=.因为()1-?=?n n x n x B ,n ≥1,所以

()()x p x B n

x x n n +=

?∑

-1

1 按注2.3，有

()()()()∑

∑

-=--+=-=?1

1

1

1m i n n n b a

n i a a B b B n x x

令3=n ,0=a ,1+=m b ,代入上式,得到

()()()()()()()()∑∑

=+=

++=??? ??+++-+=-+=?m

i m i

m m m m m m B m B x x 1

2

2

3331

2

1216

11211231310131

令4=n ,0=a ,1+=m b ,代入上式,得到

()()()()∑∑

=+=

+=-+=?m

i m i

m m B m B x x 1

3

2

2441

3

14

10141

第六节 几个公式,例题

公式 设R b a ∈,,()x p 为周期函数,约定步长1=?x . 6.1 ()a x f =,0=?a ,

()x p ax x a +=?∑ 6.2 ()ax x f =,a ax =?,

()

()x p x x a x ax +-=?∑

22

1

6.3 ()n ax x f =,参见注4.3.

6.4 ()???

?

??=n x x f ,参见注4.1.

6.5 ()x a x f =,1≠a ,()1-=?a a a x x ,

()x p a a x a x

x +-=

?∑

1

1 6.6 ()x xa x f =,1≠a ,()a x ax a xa x x +-=?,()x p a a x a a x xa

x x

+??

? ??---=

?∑111 6.7 ()()

()

m a x x f +=,参见定理4.1.

6.8 ()()b ax x f +=cos ,

()??

?

??++-=+?2sin 2sin 2cos a b ax a b ax

()()x p a b ax a x b ax +??? ??

-+=

?+∑

2sin 2

sin 21

cos ,πk a 2≠,Z k ∈. 6.9 ()()b ax x f +=sin , ()??? ?

?

-+=+?2cos 2sin

2sin a b ax a b ax

()()x p a b ax a x b ax +??? ??

-+-=

?+∑2cos 2

sin 21

sin ,πk a 2≠,Z k ∈. 6.10 ()()a x x f +=ln ，a x +＞0，

()??? ?

?

++=+?a x a x 11ln ln

()()()x p a x x a x ++Γ=?+∑ln ln

其中,Γ表示Γ函数,()?∞

--=Γ1dx e x t x t ,有公式()()t t t Γ=+Γ1

例题

例1：求不定和分

()

∑?-x x x

23

4

解:()()()1232334x x x x x --=-,故()

()()()

()x p x x x x x x

+--=

?-∑23423

2

331414.

例2：求定和分

()()∑?+500

3

7x x

解:按注2.3，令0=a ,50=n ,50=b ,代入公式中,

()

()

()

()

()()()∑∑∑==+++=

+=

?+49

49

350

356777i i i i i i x x

这个和式比较复杂.换一种方法,先求()()

37+x 的和分,再计算定和分.

()()

()()()x p x x x ++=?+∑

4374

17 ()()()()()23698507574

1744500

3=-=?+∑

x x

例3：求和

∑-=?9

7

2

i i

i

解:按公式6.6，

()()x p x x x x x

+-=??∑222

按注2.3，()()()128

98192272210227271016

79

7

+

=--?--?=+-=

?-=+--=∑∑

i i i i

i i

第七节 n 阶线性常差分方程的解的结构

定义7.1：记

()()()()()()()()()x K x f x p x f x p n x f x p n x f x p n n =++++-+++-11110 (7.1)

也就是

()()()()()()()()()x K x f x p x f x p x f x p x f x p n n n n =+E ++E +E --1110

其中,()x p 0,()x p 1,……,()x p n ,()x K 都是自然数集上的函数.N x ∈?,()00≠x p 且()0≠x p n .称关于

()x f 的函数方程(7.1)为n 阶线性常差分方程,简称为n 阶线性方程或者n 阶方程. ()x p 0,()x p 1,……,()x p n 称为方程(7.1)的系数.下一方程

()()()()()()()()011110=++++-+++-x f x p x f x p n x f x p n x f x p n n (7.2)

称为方程(7.1)对应的n 阶齐次线性常差分方程,简称n 阶齐次方程.若方程(7.1)的系数都是常数,则称之为n 阶常系数线性常差分方程,简称n 阶常系数方程.

定义7.2：定义算子Λ如下

()()()I +E ++E +E =Λ--x p x p x p n n n n 111

其中,()x p 0,()x p 1,……,()x p n ,()x K 都是自然数集上的函数. N x ∈?,()0≠x p n .称方程

()()()()()()()()()x K x f x p x f x p x f x p x f x f n n n n =+E ++E +E =Λ--111 (7.3)

为n 阶线性常差分方程的标准形式.

由于N x ∈?,()00≠x p ,故方程(7.1)与方程(7.3)是一样的.

定义7.3：n 阶方程()()x K x f =Λ,连同()0f ,()1f ,……,()1-n f 这n 个值称为该方程的初值问题.

定理7.1：一个n 阶方程的初值问题的解是唯一的. 证明:按(7.3),()()()()∑=-E

-=+n

i i

n i x f x p x K n x f 1

，这是个递推式,由此易知定理成立.

定义7.4:设有N 上的m 个函数()x f 1,()x f 2,……,()x f m ,将以下m m ?矩阵称为这m 个函数的Casorati 矩阵,记为()x c

()x c =()

()()()()()()

()()()()

()???????

?

???

??

???E E E E E E E E E ---x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f m m m m m m m 1

21112

22122121

定理7.2：若函数()x f 1,()x f 2,……,()x f m 线性相关,则其Casorati 矩阵的行列式()()x c det 是N 上的零值函数.即,N x ∈?, ()()0det =x c .

证明:因()x f 1,()x f 2,……,()x f m 线性相关,故存在02

1≠?????

???????=m c c c α,满足()0=?αx c ,因而其系数矩

阵的行列式为零.

推论7.2.1：若存在N k ∈,使得()x f 1,()x f 2,……,()x f m 的Casorati 矩阵的行列式()()x c det 在k 处的值不等于零,即()()0det ≠k c ,那么()x f 1,()x f 2,……,()x f m 线性无关.

注7.1：考虑函数

()??

?=≠=0,10,01x x x f , ()?

??=≠=2,12

,02x x x f 这两个函数显然线性无关,但对其Casorati 矩阵的行列式()()x c det ,有N x ∈?, ()()0det =x c . 所以, “()x f 1,()x f 2,……,()x f m 线性无关”不是“ N x ∈?, ()()0det ≠x c ”的充分条件; “N x ∈?,

()()0det =x c ”也不是“()x f 1,()x f 2,……,()x f m 线性相关”的充分条件.

定理7.3：设()x ?是n 阶齐次方程()0=Λx f 的一个解,那么, ()x ?是N 上的零值函数的充分必要条件是,N s ∈?,()()()011=-+==+=n s s s ??? .

证明:由()0=Λx ?可得

()()()∑=-E

-

=E n

i i

n i n

x x p x 1

??,()()()

()()∑-=--E

-=1

1

n i i

n i n x x p x p x ??

其中()10=x p ,用这两个向前,向后的递推式,就可以证明本定理.