幂等矩阵的研究现状与意义
幂等矩阵的研究现状与意义
研究现状
幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少.
意义
本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从
A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，
并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用.
在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.
幂等矩阵的研究现状与意义
幂等矩阵的研究现状与意义 研究现状 幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少. 意义 本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从 A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，
并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用. 在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月
幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质. [关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合
The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices。文档为个人收集整理，来源于网络个人收集整理，勿做商业用途 [Key Words] the idempotent，the nature, the idempotence, linear combination
关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文
关于广义幂等矩阵的性质的探讨 左航（导师：谢涛） （湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002） 1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。 1.幂等矩阵 定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下： 1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值； 1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵； 1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =； 1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵； 1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的； 1.1.6令n ?n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；
幂等矩阵的性质研究
滨州学院 毕业设计（论文） 题目幂等矩阵的性质研究 系（院）数学系 专业数学与应用数学 班级2010级1班 学生姓名崔世玉 学号1014070124 指导教师田学刚 职称讲师 二〇一四年六月十日
独创声明 本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 二〇一四年月日 毕业设计（论文）使用授权声明 本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。 本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。 （保密论文在解密后遵守此规定） 作者签名： 二〇一四年月日
幂等矩阵的性质研究 摘要 幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。 关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩
高等代数论文
有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论 聂晓柳 (数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏) 摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向. 关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性 Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future. Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility 0、符号说明及引言 幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明. 用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n m A C A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设 2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设 ,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =, m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦, m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵； ,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位 子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍. Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献 [1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵
幂等矩阵的行列式
幂等矩阵的行列式 在线性代数中，幂等矩阵是指一个方阵，其自乘结果等于其本身。幂等矩阵在多个领域中具有广泛的应用，如图像处理、网络通信等。本文将介绍幂等矩阵的定义、性质以及一些实际应用。 一、定义 幂等矩阵的定义很简单：一个方阵A是幂等的，如果满足A^2=A。也就是说，将矩阵A乘以自身得到的结果仍然等于A。幂等矩阵通常用I表示，即幂等矩阵是单位矩阵的一种特殊情况。 二、性质 1. 幂等矩阵的行列式为0或1 由于幂等矩阵A满足A^2=A，因此可以通过计算A^2-A=0来求解幂等矩阵的行列式。根据行列式的性质，可以得出幂等矩阵的行列式只能是0或1。 2. 幂等矩阵的特征值为0或1 设A是一个n阶幂等矩阵，λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。则有Ax=λx。将幂等矩阵的定义代入，可以得到A^2x=Ax=A。即λ^2x=λx，进一步可得λ^2=λ。由此可知，幂等矩阵的特征值只能是0或1。 3. 幂等矩阵的秩等于其迹
矩阵的迹定义为主对角线上元素的和。对于幂等矩阵A，由于A^2=A，可以得到A^2的迹等于A的迹。进一步推导可知，幂等矩阵的秩等于其迹。 三、应用 1. 图像处理中的二值化 在图像处理中，二值化是将灰度图像转化为黑白图像的过程。幂等矩阵可以用来实现二值化操作。通过将灰度图像乘以幂等矩阵，可以将所有大于阈值的像素值设为1，小于等于阈值的像素值设为0，从而实现图像的二值化。 2. 网络通信中的数据校验 在网络通信中，为了确保数据的完整性和正确性，常常需要对数据进行校验。幂等矩阵可以用来生成校验码。通过将数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，得到的结果作为校验码发送给接收端。接收端将接收到的数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，如果结果与接收到的校验码相等，则说明数据没有被篡改。 3. 数据库中的数据操作 在数据库中，幂等矩阵可以用来实现幂等性操作。幂等性操作是指多次执行操作所产生的结果与执行一次操作所产生的结果相同。通过将操作矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，可以确保多次执行操作不会对数据库中的数据产生重复的影响。
课题来源及研究的目的和意义
题来源及研究的目的与意义：1 课题来源矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点。而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究，对高次伴随矩阵的研究更是少之甚少。为了对伴随矩阵及高次伴随矩阵有一个较深入的了解，本文分类研究了高次伴随矩阵的性质，并讨论其证明过程，得到一系列有意义的结果。从而使高等代数中的重要概念——高次伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前。2 研究的目的与意义矩阵作为数学工具之一有其重要的使用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们区研究，利用一个已知矩阵来推导新矩阵的性质的这种方法是高等代数教学的一个难点又是一个重点，近年来，随着互联网的高速发展，计算机内部的运算量也急剧增加，如何把浩瀚的数据准确地计算出结果，并且加快它的计算速度，己成为一个备受关注的研究课题。随着计算机应用领域的发展，矩阵运算的需求越来越大。比如，三维图像处理、数学研究等。要掌握矩阵在三维图形中的应用我们还需要了解矩阵的加法、乘法、转置矩阵和矩阵的逆的计算，以及矩阵拆分的知识。矩阵的知识广泛的应用到了游戏的图形模块中。现阶段矩阵运算都是由软件实现，如Matlab 等数学软件。矩阵运算器一旦普及，将使计算机的矩阵运算性能得到几何级数的提高。伴随矩阵作为矩阵的一个重要组成部分，对其研究的意义也就很大，由伴随矩阵的性质及应用推导高次伴随矩阵的性质及应用，不仅可以把高次伴随矩阵的应用得到推广，还可以为高等代数的研究开拓新的思路。：研究综述（国内外在该方向的研究现状及分析）伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念，是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。本文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。
关于实幂等矩阵性质的一些探讨
关于实幂等矩阵性质的一些探讨 韩凯凯 【摘要】实矩阵从几何角度理解,可以看作欧氏空间到欧氏空间的线性变换.文章主要利用实矩阵的几何意义,给出了实幂等矩阵一些性质的不同证明,并给出了实对称幂等矩阵的一种刻画. 【期刊名称】《长治学院学报》 【年(卷),期】2016(033)005 【总页数】3页(P1-3) 【关键词】实幂等矩阵;特征值;特征子空间 【作者】韩凯凯 【作者单位】长治学院数学系,山西长治046011 【正文语种】中文 【中图分类】O151.2 从几何角度理解，实矩阵可看作欧氏空间到欧氏空间的线性变换。文章主要利用实矩阵的几何意义，区别于[2]中的证明方法，给出了实幂等矩阵性质的不同证明。并给出了实对称幂等矩阵的一种刻画。 为了方便，文章在实数域R中讨论，记Mn（R）为实数域R上的全体n阶矩阵组成的集合，记： 定义1设A∈Mn（R），若A=A2，则称A为实幂等矩阵。若A=A＇=A2，则称A为实对称幂等矩阵。
引理1设A=（α1，α2，…αn）∈Mn（R），αi是A的第i列组成的列向量 （i=1，2，…，n），则： （1）Ran（A）=L（α1，α2，…αn）；（Ran（A）表示A的值域）； （2）rank（A）=dimRan（A）； （3）设βi是A的第i行组成的行向量（i=1，2，…，n），则Ker（A）=L （β1＇，β2＇，…βn＇）⊥；特别地，若A=A＇，则βi＇=αi（i=1，2，…，n），并且Ker（A）=L（α1，α2，…，αn）⊥； （4）Ran（A）的一组基的原象与Ker（A）的一组基构成Rn的一组基，并且rank（A）+dimKer（A）=n。 证明参看[1]。 引理2【1】对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使T＇AT=T-1AT成对角形。 证明参看[1]。 引理3【2】设A∈Mn（R），则A为幂等矩阵（实对称幂等矩阵）当且仅当En- A为幂等矩阵（实对称幂等矩阵）。 证明由定义直接可得。 定理1【2】设A为n级实幂等矩阵，则： （1）A可对角化，并且A的特征值皆为0或1； （2）A的特征值1的重数=rank（A），A的特征值0的重数=n-rank（A）；（3）A的属于1的特征子空间为L（α1，α2，…αn），其中A=（α1， α2，…αn）；A的属于0的特征子空间为Ker（A）； （4）rank（A）=tr（A）； （5）rank（A）+rank（En-A）=n；反之，若满足rank（A）+rank（En-A） =n，则A为实幂等矩阵。
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质 引言 矩阵理论在数学和应用领域中扮演着重要角色。在矩阵理论中，幂等矩阵、对 角矩阵和正交矩阵是三个重要的矩阵类型，它们具有独特的性质和应用。本文将详细介绍这三个类型矩阵的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。 幂等矩阵 幂等矩阵是指一个矩阵与自身相乘等于其自身的矩阵。具体而言，对于一个 n x n 的矩阵 A，如果 A^2 = A，则称 A 为幂等矩阵。 幂等矩阵有几个重要的性质： 1.幂等矩阵的平方等于它本身：A^2 = A 2.幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1。假设 A 是幂等矩阵，它对应的特征 值λ 满足方程Av = λv，其中 v 是 A 的特征向量。将该方程代入定义式 A^2 = A，可以得到 (A - λI)A = A(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵。由于 A^2 = A，所以 A(A - λI) = 0，进一步可以推出 A(A - λI)v = 0，即 (A - λI)v = 0，也就是说特征 值λ 对应的特征向量 v 是 A - λI 的零空间中的向量。因此，A 的特征值只能是 0 或 1。 幂等矩阵在实际问题中有许多应用。例如，在图论中，邻接矩阵的幂等性被用 于描述图的可达性。在线性代数中，幂等矩阵可以用于描述投影变换。此外，在编程中，幂等性被广泛应用于设计具有幂等性质的算法和系统，以确保操作的一致性和可重复性。 对角矩阵 对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。具体而言， 对于一个 n x n 的矩阵 A，如果当i ≠ j 时 Aij = 0，则称 A 为对角矩阵。 对角矩阵有几个重要的性质： 1.对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素都非零。如果对角 矩阵的主对角线上存在零元素，则对角矩阵是奇异的，无法求逆。 2.对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。 对角矩阵在线性代数和应用数学中具有广泛的应用。在求解线性方程组时，对 角矩阵具有良好的性质，可以简化计算过程。此外，在信号处理和图像处理领域，对角矩阵常用于表示信号和图像的频域特性。
方阵高次幂的计算方法文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 方阵高次幂的计算方法 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个概念，是线性代数中一个很重要的组成部分，它几乎贯穿于线性代数的各个章节，在自然科学各分支及经济管理等不同的学术领域和实际应用中已经起着不可替代的作用。用矩阵的理论和方法处理现代工程技术中的各种问题更加 普遍。在工程技术中使用矩阵理论不仅使工程理论表达形式更加简洁，而且对理论实质的刻画更加深刻。计算机的普及和计算方法的发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使工程技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如系统工程、优化方法、稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密结合。矩阵函数及差分方程组的研究中，常常涉及到方阵高次幂的计算。 如果矩阵A 的行数与列数都是n ，则称A 为n 阶方阵。有了矩阵的乘法，就可以定义方阵的幂。设A 为n 阶方阵，称 43421Λ个 k k A AA A =， （其中k 是正整数） 为方阵A 的k 次幂。根据定义计算矩阵方幂是一件很麻烦的事。尤其是当矩阵的阶数n 和幂次k 比较大的时候。因此，我们要研究方阵高次幂的计算方法。 首先，介绍一些相关概念及结论： 定义1 主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵。 定义2 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=λλλ111O O O J 的n 阶矩阵，称为n 阶Jorden 矩阵。 定义3 满足E A =2的矩阵A 称为对合矩阵。 定义4 满足A A =2 的矩阵A 称为幂等矩阵。
定义5 主对角线下方的元素全为0的n 阶方阵称为上三角矩阵。 定义6 设A 是n 阶方阵，12(,,,)T n b b b L 是A 的属于其特征根λ的特征向量，12,,c c ,n c L 是n 个复数，称 111212122 212n n n n n n b c b c b c b c b c b c b c b c b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ L L L L L L L 为12(,,,)n c c c α=L 确定的A 的属于其特征根λ的特征向量12(,,,)T n b b b L 的特征矩阵。 定义7 相似于对角矩阵的方阵称为可对角化矩阵。 定理1 n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 我们首先总结一些特殊矩阵高次幂的计算方法，如利用Jordan 标准形、矩阵的可对角化、相似变换矩阵等等。通过对特殊矩阵方幂的研究，探讨一般矩阵高次幂的计算方法，如矩阵函数、哈密尔顿-凯莱定理、分块降阶法、二项式定理、数学归纳法、最小多项式等等，并通过这些方法计算某些矩阵的高次幂。 我们在计算一个具体方阵的高次幂时，文献中的计算方法并不一定都是最简单的。根据方阵的特点采用不同的方法是计算方阵高次幂的关键，因此了解更多的方法对方阵高次幂的计算是很有帮助的，而且许多方法并不是独立的，有时需要相互配合使用。 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是研究线性方程组系数而产生的，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。 “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，从行列式的大量工作中明显的看出，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都是可以研究和使用的，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 英国的凯莱是首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来的数学家，同时他首先引进了矩阵以简化记号，并系统地阐述了矩阵的理论。他在《矩阵论的研究报告》中定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，另外他还给出了方阵的特征方程和特征根以及有关矩阵的一些基本结果。 在矩阵的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进
幂等变换和幂等矩阵的性质
幂等变换和幂等矩阵的性质 中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。 关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质 正文: （一）定义及说明 定义 1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且 2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =， 则称A 为V 上的幂等矩阵。 因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。所以幂等变换σ对应于幂等矩阵 A ,2A A =. （二）幂等变换的一个性质及其推广[1] 定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有 （1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ= 将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称 σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质 定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有 （1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--= 证明：已知n σσ= （1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即 122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒=== 1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈ 因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈ 反之，1()n ασ α-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-= ⇒1()n ασα--∈()Ker σ 因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ 从而()Ker σ={} 1()|n V ξσξξ--∈ Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（） 11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴==== α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈ 因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈ 反之，{} 11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈
数学与应用数学毕业论文-关于斜幂等矩阵性质的探讨
莆田学院 毕业论文 题目关于斜幂等矩阵性质的探讨学生姓名 学号 专业数学与应用数学 班级数本054 指导教师 二00九年五月十日
目录 摘要·······································································（错误!未定义书签。） 0 引言·································································（错误!未定义书签。） 1 一些引理 (2) 2 单个斜幂等矩阵的性质 (4) 3 多个斜幂等矩阵的运算性质 (6) 4 斜幂等矩阵的等价条件 (10) 结束语 (14) 致谢 (14) 参考文献 (14)
关于斜幂等矩阵性质的探讨 （数学与应用数学系 指导老师：晏瑜敏） 摘要：本文主要是对斜幂等矩阵的某些性质进行探讨、研究.在与幂等矩阵性质的对照下，本文得出主要的 相关结论有：单个斜幂等矩阵的性质，多个斜幂等矩阵的运算性质以及矩阵 A 为斜幂等矩阵的等价条件.通 过这些斜幂等矩阵性质的研究，揭示了斜幂等矩阵与幂等矩阵在一般性质上的异同点，以及为进一步认识斜幂等矩阵奠定基础. 关键词：斜幂等矩阵 幂等矩阵 秩 矩阵. Abstract: Some properties of the srew-idempotent matrix are discussed and studied in this paper.In comparison with the properties of idempotent matrix,the primary conclusions in this paper are the properties of single srew-idempotent matrix, multiple srew-idempotent matrix and operation properties the equivalent condition of A is srew-idempotent matrix. According to the study of these properties, the same and different points between the idempotent matrix and srew-idempotent matrix are revealed , as well as a better understanding of idempotent matrix inclined to lay the foundation. Keywords: srew-idempotent matrix idempotent matrix rank equivalent condition 0 引言 n n P ⨯表示数域P 上的n n ⨯阶矩阵构成的集合；符号)(),(,,,* 1A tr A r A A A -'分别表示矩阵A 的 转置，逆，伴随矩阵，秩，迹；E 表示n 阶单位矩阵；r E 表示r 阶单位矩阵；)(A R 表示A 的列空间， 即{} 1)(⨯∈=n P X AX A R ；)(A R '表示A 的行空间，即{} 1()n R A XA X P ⨯'=∈； )(dim A R 表示)(A R 的维数；)(V φ表示线性变换φ的值域,即{}V V ∈= ξφξφ)(；()V φ的维数称为φ的秩；)0(1 -φ 表示 φ的核，即{}V ∈==-ξφξξφ,0)0(1；)0(1-φ的维数称为φ的零度. 设n n A P ⨯∈，若满足A A =2 ，则称矩阵A 是幂等矩阵；若满足A A -=2 ，则在参考文献[1-2] 中称矩阵A 是斜幂等矩阵；若满足E A =2 ，则称矩阵A 是对合矩阵. 幂等矩阵是一类很重要的矩阵，在矩阵理论中有着较广泛的应用，它的相关结论也已经被许多学者研究，见文献[3-8].而关于斜幂等矩阵的文章却不多，在国内的相关文章只有参考文献[1-2]. 在参考文献[1]中研究的是关于斜幂等矩阵的一些秩的等式，它是利用幂等矩阵秩的有关等式来刻画斜幂等矩阵的一些与秩有关的等式，从而给出了两个斜幂等矩阵的和、差以及乘积仍为斜幂等矩阵的等价条件. 在文献[2]中研究的是用广义逆刻画斜幂等矩阵的性质，它是利用广义Schur 补B CA D - -的最
浅谈 空间上的幂等算子
浅谈Banach空间上的幂等算子 摘要 幂等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子，近年来，许多学者对其进行了研究，并取得一些较好的成果。本文以Banach空间中的幂等算子为主要研究对象。首先，讨论了Hilbert空间中幂等算子的线性组合的幂等性，并将Hilbert空间中幂等算子一些结论推广到Banach空间中的幂等算子；其次，在前人所作工作的基础上，进一步讨论了Banach空间中幂等算子的一些基本性质，给出Banach空间中幂等算子的一些等价条件；最后，讨论了Banach空间中幂等算子的谱；并以例题分析的形式说明了幂等算子的应用。本文的讨论虽不够深入，但对泛函分析的进一步学习有积极意义。 关键词：幂等元；幂等算子；Banach空间；算子谱；
Abstract Idempotent operator is a class operator with many special in operator theory, in recent years, many scholars have studied and achieved some good results .In this paper, the main object of study is idempotent operator of Banach space. First of all, Discussed the idempotent of linear combinations of the idempotent operator in Hilbert space , and extended some conclusions of idempotent operator in Hilbert space to Banach space; Secondly, further discussed some basic properties of idempotent operator in Banach space on the basis of previous work, and Given some equivalent conditions; Finally, we discuss the power spectrum of such operators ;and talk about the applications of idempotent operator in the form of examples. Although this discussion is not deep enough, it has positive significance for further study of functional analysis. Keywords: idempotent; idempotent operator; Banach space; spectrum of operator;
本科毕业论文三元域上矩阵空间的保幂映射
三元域上矩阵空间的保幂映射 【摘要】本文首先介绍了矩阵空间上的保持问题的背景及保幂问题的研究现状.并在此基础上刻画了三元域上矩阵空间的保幂映射的相关性质及定理，并对两个定理给出了自己的证明. 【关键词】保持问题；保幂等；映射；三元域 1 引言 1.1课题背景与发展状况 矩阵空间的保幂映射是矩阵空间保持问题的分支之一，因此了解保持问题的背景及其发展状况等对于本课题的研究是不可或缺的，下面我将分方面介绍保持问题的一些相关知识，以便更好的理解本文的研究背景. 设21,V V 为两个矩阵空间，刻画从1V 到2V 的保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的映射的结构问题称为保持问题.保持问题在微分方程，系统控制，量子力学等领域有着广泛的实际应用背景.如在解答微分方程时，为了简化问题，通常人们在解决一个问题之前可能会对其做一变换，一般要求变换应该是简单的且具有较好的性质的；再如，在量子系统的矩阵模型中，我们想找在系统变形时不影响熵的算子，这些都与保持问题有关.不仅如此，保持问题的结果在李代数等很多其他数学分支中都有应用.因此这一问题已成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一. 有关于保持问题的研究最早始于1897年Frobenius 给出的保行列式的线性变换的刻画.而一直到了二十世纪六十年代美国矩阵论专家Marcus 研究了秩1保持这一核心问题之后，这一方面的成果才大批出现.特别是近四十年，保持问题发展迅速，分发出了许许多多的分支.如果从保持不变量的角度出发，保持问题可分为:保持行列式问题，保秩问题，保秩1问题，保相似问题，保广义逆问题，保幂等问题，保粘切问题，保伴随问题，保秩可加问题,保对合问题，保交换、保幂零、保谱、保迹问题等等；如果从矩阵代数的角度出发，保持问题可分为:全矩阵代数的保持问题，三角矩阵代数的保持问题，对称矩阵代数的保持问题等等；如果从算子的角度出发，保持问题可分为:线性保持问题，可加保持问题持问题，一般保持问题等等. 对于保持问题的研究，数学家们首先着手研究的自然是线性保持这个比较特殊的领域，并且在这个领域的研究上取得了丰硕的成果.而随着线性保持问题研究的日益成熟，人们自然将研究的重点转向加法保持问题和一般的保持问题上.1991年M.Omladic 和P.Semrl 首先考虑用加法算子代替线性算子，开始了加法保持问题的研究，1993年，他们得到了复矩阵秩1的保持结果. 1996年，张显和曹重光将问题的研究引向一般域上的矩阵. 显然这类问题是LPP 的推广，但由于不能应用线性空间的理论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性增强了. 后来，随着加法保持问题研究的不断深入及其结果的不断完善，人们又减少了映射的条件，把线性和加法的条件都去掉，研究更一般的仅仅满足某种条件的保持问题.我们把这种问题称为一般保持问题.由于这种保持问题不再有线性和加法运算，所以大大增加了推导过程的难度，同时也需要更高的技巧.目前，这一类问题是保持问题中比较热门的研究课题之一，本论文的研究保幂映射即属于一般保持问题的其中一个分支. 1.2保幂映射问题的研究现状 保幂映射问题的研究起始于数学物理中的某些问题(参见文献]4[]1[-).Ovchin-Nikov ] 5[得到了幂 等矩阵偏序集上的自同构的形式.他所得到的结果在量子机械不变量的研究中是非常有用的.Molnar ] 6[用这个结果改进了Wigner 定理.另外，幂等集上的一些保持结果可用于刻画矩阵半群上的一般保持问题、矩阵几何，还可用于刻画李代数上的保持问题(参见文献[7]和[8]).李代数作为代数学中的一个重要的分支学科，其价值是不言而喻的，因此研究保持幂等方面性质的保持问题也是极其重要的.下面我们一起来对保幂问题做一个系统的认识. 设V A ∈（V 为矩阵空间），且有正整数2>k ，使得A A k =，则称A 为k 幂等矩阵，也称k 幂等元，特别的，当2=k 时，A 为幂等矩阵（幂等元），当3=k 时，A 为立方幂等矩阵（立方幂等元）映射V V →:ϕ称为是保幂等的，如果对任意的幂等元A 都有)(A ϕ是幂等元，即由A A =2 可以推出
幂等变换
摘要 幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广. 本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化. 关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用
Abstract Idempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory. This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation. Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application