微积分在经济生活中的应用
微积分在经济生活中的应用
人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系．
1 导数及微分的应用
导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本
边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变
()()C C x x C x ?=+?-
成本的平均变化率为
()()
C C x x C x x x
?+?-=
?? 若当0x ?→时，0lim
x C
x
?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情
况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是：
00()()
()lim lim
x x dC C C x x C x C x dx x x
?→?→?+?-'=
==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元．
在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有
(100)40C '=
(100)
50100
C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本．
1.1.2 边际收入
边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题．
设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是
0()()
()lim
x dR R x x R x R x dx x
?→+?-'=
=? 如(15)14R '=，其经济含义是，在产量为15这一水平上再增加或减少销售一个单位，其收入增加或减少14．
1.1.3 边际利润
由于利润函数是收入函数与成本函数的差，即()()()P x R x C x =-，因此边际利润函数为
()()()P x R x C x '''=-
由上面的分析我们可以得出：边际成本函数就是总成本函数对产量的导数；边际收入函数就是总收入函数对销量的导数；边际利润函数就是总利润函数对销量的导数．
例1 某企业每月生产的总成本C (千元)是产量x (吨)的函数
2()1020C x x x =-+
如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润．
解 因为利润函数为总收入减去总成本． 即
22()()()20(1020)3020P x R x C x x x x x x =-=--+=-+-
所以边际利润为
()230P x x '=-+
于是
(10)2103010P =-?+=（千元/吨） (15)215300P '=-?+=（千元/吨）
(20)2203010P '=-?+=-（千元/吨）
上述结果表明，当月产量为15吨时，边际利润为0，如果再增加产量，利润不会增加反而减少，所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润．
1.2 弹性问题
[2](3437)
P -
弹性原是物理学上的概念，意指某一物体对外界力量的反应力．经济活动中的弹性是指当经济变量存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度．
若两个经济变量之间的函数关系为()y f x =，设函数()y f x =在点0x 处可导，以,x y ??分别表示变量,x y 的变动量，则把
'00
000000
0/lim
lim ()/()x x y y x x y f x x x x y f x →→??=?=?? ⑴
称为函数()y f x =在点0x 处的弹性,记作
x x Ey
Ex
= 或
()
x x Ef x Ex =
若()f x 可导，则它在任意点处的弹性为：
()()()
Ef x x
f x Ex f x '= ⑵ ⑴式为点弹性，⑵式为弧弹性．弹性的本质是相对变化率，表现因变量对自变量的相对变化
所做出的反应即灵敏度．弹性的经济意义为：当自变量变化为1%时,函数变化为()
[]%Ef x Ex
. 设
x x Ey a Ex
==，即
000
0000
//lim
//x y y x dy y dy a x x dx y dx x ?→?=?==?
若0/1%x x ?=，即0/1%dx x =，则0/1%dy y a =?，而dy y ≈?，故0/%y y a ?≈，这就是说当x 在0x 处变化（上升或下降）1%时，y 变化（上升或下降）%a ．所以弹性是()f x 对x 变化反应的灵敏度．
例2 设某种商品的需求量Q 与价格x 之间的函数关系为
(83)Q x x =-
试求在149x =、169
、2（元）的价格水平时，需求量对价格的弹性（简称需求价格弹性）． 解
86(86)(83)83EQ x x x Q x Ex Q x x x
-'=?=-?=-- 故
149
14
8690.414839x EQ Ex
=
-?
=
=--?，表明在149元的价格水平时，价格上涨1%则需求量下降0.4%．
169
1x EQ Ex
=
=-，表明在
16
9
元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降1%．
2
2x EQ Ex
==-,表明在2元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降2%．
在一般情况下，商品的需求量和价格是成反方向变动的，即需求价格弹性
0EQ
Ex
<，故当1EQ Ex <-时，称需求是弹性的，当10EQ Ex -<<时称需求是低弹性的，当1EQ
Ex
=-时，称需求是有单位弹性的．
利用需求价格弹性分析有助于作出正确的定价决策，当需求是弹性时，总收入将因价格的下调而增加;当需求是低弹性时，总收入将因价格的上调而增加；当需求是有单位弹性时，总收入取得最大值．
设某商品的需求函数为()Q f x =，则总收入函数为()R Q x xf x =?=，因为
[]()()()1()()1()()dR x f x xf x f x f x f x e x dx f x ??
''=+=+=+????
又()0f x ≥，所以
当
1EQ Ex >-时0dR dx >，即当需求是低弹性时，总收入随价格增加而增加，故此时可上调价格而使收入增加．
当
1EQ Ex <-时0dR
dx <，即当需求是弹性的时候，总收入随价格增加而减少，故此时可下调价格而使收入增加．
当1EQ Ex =-时0dR
dx
=，即当需求有单位弹性时，价格水平是收入函数的驻点，故R 取得最大值．
例3 在上例中当149x =、16
9
、2（元）时，应如何调整价格,才能使收入增加？调整价格后收入变化幅度有多大？
解 当14
9
x =
时，因为()0.4e x =-，即需求是低弹性的，应该上调价格，此时由于
[]()()()
ER Exf x x
xf x Ex Ex xf x '== 1()
()
x
f x f x '=+ 110.40.6EQ
Ex
=+
=-= 即价格上调1%后收入增加0.6%；
当169x =
时，1EQ Ex
=-，此时收入最大，应该维持原价； 当2x =时，2EQ
Ex
=-，即需求是弹性的，此时应该下调价格，因为
1121ER EQ Ex Ex
=+=-=-
故价格下调1%时，收入增加1%．
1.3 偏弹性
在经济函数中，影响一个经济量的因素是多种多样的，例如，商品的需求量受到商品价格、消费者的爱好、每个人的收入等因素的影响．也就是说，商品的需求量是一个多元函数．又如，产出量与投入的劳力、资本、土地、能源等因素有关，或者说产出是诸多元素的多元函数．
与一元函数的导数类似，多元函数的偏导数在经济学中表示边际经济量．边际经济量的经济含义是：当其中一个的经济量变化一个微小单位时，（其他经济量需保持不变），总经济量的变化量．
我们以生产函数(,)G f K L =（其中K 表示资本，L 表示劳力）为例引入偏弹性的概念．称比
值G
K G K
??为产出G 对资本K 的偏弹性．它的经济意义是：当资本K 增加001时，产品增加的百分数；
称比值G
L G L
??为产出G 对劳力L 的偏弹性，它的经济意义是：当劳力L 增加001时，产品增加的百分
数．
例4 证明D C -生产函数中的参数α是产出G 对劳力L 的偏弹性，参数β是产出G 对资本
K 的偏弹性①．
证明 由D C -生产函数G AL K αβ
=
得
11;G G
A L K A L K L K
αβαβαβ--??==??． 于是，产出G 对劳力L 的偏弹性为1G
A L K
L L G AL K L αβαβ
αα-??=?=， 产出G 对资本K 的偏弹性为1G
A L K K K G AL K K
αβαβββ-??=?=． 1.4 最大利润与最小成本
[3](5056)
P -
利润取得最大值的必要条件是：()0P x '=
充分条件是：()0P x ''<
如果生产原料有两种，总利润为(,)P x y ，其中,x y 分别表示两种原料的数量．则取得最大值的
必要条件是：
00P P x y
??==??且 充分条件是：设0000002222
2
(,)
(,)
(,)
,
,x y x y x y P
P P A B C x
x y
y
???===????
满足2
0A C B ?->．
例5 设某企业生产q 个单位产品的总成本函数是: 32
()1050C q q q q =-+，求使得平均成本
()C q 为最小的产量;并计算出最小平均成本
解 3221050()1050q q q
C q q q q
-+=
=-+， 那么()210C q q '=-， 令()0C q '=， 5q =， 又(5)20C ''=>， 所以()C q 在5q =取得极小值点， 所以理论上()C q 的最小值是存在
的，5q =时平均成本()C q 为最小．
最小平均成本2min (5)51055025C =-?+=．
例6 某公司在生产中使用I 和II 两种原料，已知I 和II 两种原料分别使用x 单位和y 单位可
生产u 单位的产品，且有：22
(,)8324046u x y xy x y x y =++--，并且第一种原料每单位的价值
为10美元，第二种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的售价为40美元啊，求该公司的最大利润？
解 生产(,)u x y 单位的产品的总成本为104x y +，总收入为40(,)u x y ，从而利润函数为
22(,)40(,)10432012701596160240P x y u x y x y xy x y x y =--=++--，
再由
32012703200P y x x ?=+-=?，32015964800P
x y y
?=+-=? 解得驻点为：00(,)(21.9,17.9)P x y =，又
0000002222
2
(,)
(,)
(,)
320,
320,480x y x y x y P P
P x x y
y
???=-==-????，
2512000A C B ?-=>．
故P 在此点达到最大值，即该公司的最大利润为(21.9,17.6)28189()P ≈美元．
2 连续复利——e 的应用
[4](159164)
P -
利息是银行对储蓄（或借款）所支付（或收取）除本金以外的货币．银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示：
单位时间的利率=单位时间的利息/存入本金 例如，存入1000元，年利息是80元，则年利率为8%． 一般地，单位时间取年或月． 2.1 单利
设本金为0A （可指投资、存款等），年利率是r ，所谓单利是指仅按本金来计算利息．例如0
A 的投资时间为t 年，那么t 年后可得单利
0I A rt =
本利和是
0000(1)A A I A A rt A rt =+=+=+
例7 1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利
10000.065300I =??=（元）
本利和是
10003001300A =+=（元）
2.2 复利
所谓复利是指经过一年时间，将所生成利息加入本金再生利息，逐期滚算．假定本金为0A 元，
年利率为r ，那么一年后的利息是0A r ，此时本金就成了000A A r A r +=（1+）
．再经过一年又得复利[]0r A t （1+）
，本金成了 2
000A r rA r A r （1+）+（1+）=（1+）
以此类推，t 年后本金()A t 就成了
0()t
A t A r =（1+）
例8 如果例7按年计算复利，那么5年后本金就成了
5
(5)10001000 1.338231338.23(A ?=?==（1+0.06）元）
利息是338.23元．
设年利率为r ，如果一年计算m 次复利(m 是正整数)，那么t 年就计算tm 次，每次的利率算作
r m
． 设本金为0A 元，年利率为r ，每年计算m 次，那么t 年后本金为
0()mt
r A t A m
=（1+
） 例9 如果例7每年计算复利4次，那么5年后本金是
45
200.06(5)10001000 1.0151000 1.346861346.86()4
A ?=?=?==（1+
）元 利息是346.86元． 2.3 连续复利
从上面例子可以看出，计算复利的次数越多，既周期越短，利息就越高，我们自然会问，如果利息按连续复利计算，既计算复利的次数m 趋于无穷大时，t 年后本金（既本利和）是多少？此时可按如下公式计算
00
0()lim lim rt
m
mt rt r
m m r r A t A A A e m m →∞→∞??==???
?=（1+）（1+） 这种计利方法称为连续复利．
例10 如果例7按连续复利计算，那么5年后本金是
0.0650.3(5)100010001349.86A e e ?=?=?=（元）
连续复利的计算公式在其他许多问题中也常有应用．例如细胞分裂、树木生长等问题．
3 定积分的应用[5](2327)P -
3.1 由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量
根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：
()()()b
a
R b R a R x dx '-=? (1)
()()()b
a
C b C a C x dx '-=? (2)
()()()b
a
P b P a P x dx '-=? (3)
例11 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/吨），边际成本为5（万元/吨），求产量x 从250吨增加到300吨时销售收入()R x ，总成本()C x ，利润()P x 的改变量（增量）
．
解 首先求边际利润
()()()0.082550.0820P x R x C x x x '''=-=-+-=-+
所以根据式(1)、式(2)、式(3)，依次求出：
300
250(300)(250)()R R R x dx '-=?
300
250(0.0825)x dx =-+?
150=（万元） 300
300
250250
(300)(250)()5C C C x dx dx '-==??250=（万元）
300
300
250250
(300)(250)()(0.0820)P P P x dx x dx '-==-+?
?
100=-（万元）
3.2 由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称
2
1
21
()t t f t dt
t t -?
为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率．
例12 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[]0,2内的平均利息率．
解 由于
2
2
()(0.08r t dt dt =+?
?0.160.010.16=+=+
所以开始2年的平均利息率为
2
()0.0820
r t dt
r =
=+-? 0.094≈（年）．
例13 某公司运行t （年）所获利润为()P t
（元）利润的年变化率为()310P t '=?/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[]3,8内年平均变化率．
解 由于
38
8
5
8523
3
3
()310
210(1)
3810P t dt t '=?=??+=??
?（元/年）
所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为
8
53
()7.61083
P t dt '=?-?
（元/年）
即在这5年内公司平均每年平均获利5
7.610?元．
4 条件极值
[6](58)
P -
如果在极值问题中自变量x 与y 之间还要满足一定的约束条件(,)g x y c =，这种在(,)g x y c =条件下函数(,)f x y 的极值称为条件极值．求条件极值的问题需用到拉格朗日乘数法．
例14 某工厂集资ω元，拟建一个长方体无盖水池，已知侧面的单位面积造价为a 元，底面的单位面积造价为b 元，如何选择水池的尺寸，能使水池的容积最大？
解 设水池的长、宽、高分别为,,x y z 依题意就是求函数 V xyz = (0,0,0)x y z >>>
在条件约束(22)a xy yz b xy ω=?++?下的条件极值． 根据拉格朗日乘数法，作辅助函数
()()bxy ayz axz xyz z y x F ---+=22,,,ωλλ
由 ()02=--+='by az yz F x λ ①
()02=--+='bx az xz F y λ ②
()022=--+='ay ax xy F z λ ③ 022=---='bxy ayz axz F ωλ ④
①÷② (先移项) 得 y x = ①÷③ (先移项) 得 bx az =2 将它们代入④式，得 b
x 3ω
=
???
? ??
-
=舍去b x 3ω
又有 b
y 3ω
=
，ωb a
z 361
=
根据具体问题本身知道，水池容积的最大值是存在的，且最小值为零．所以，当水池的长、宽、高分别为 ωb b x 331=
，ωb b y 331=，ωb a
z 361
=时，水池的容积最大，最大容积为ωω
b ab
318．
由上例可以看出，求解条件极值的关键是通过拉格朗日乘数法作辅助函数()λ,,,z y x F ，条件极值存在的必要条件就是函数()λ,,,z y x F 取得极值的必要条件．
5 级数的应用
[7](1115)
P -
随着住房的私有化，个人住房抵押贷款成了人们生活中的一项重要的经济生活．下面用级数的知识来讨论个人住房贷款中人们常选择的按月还款方式的月还款额．
设贷款额为0B ，月还款为m ，贷款后第k 个月时欠款余额为k B ，则由第k 个月到第1k +个月中，除月还款m 外还有什么因素参与？无疑是月息，设月利率为r ，则有：
1(1)k k B r B m +=+-， 0,1,2,3,k =??? ⑴
即：1(1)k k B r B m -=+-， 1,2,3,k =??? ⑵ 由⑴式减去⑵式，得递推公式：
11(1)()k k k k B B r B B +--=+- 1,2,3,k =??? ⑶
令 1()k k k A B B -=-， 1,2,3,k =??? ⑷ 则⑶式变为：1(1)k k A r A +=+， 1,2,3,k =??? ⑸
于是有 1
1(1)k k A r A -=+， 1,2,3,k =??? ⑹
由⑷式和⑹式可知：
012k k B B A A A -=++???+
1
11(1)(1)k A r r -??=+++???++??
10(1)1
()k r B B r +-=-
0(1)1
()k r rB m r
+-=-
00(1)(1)1k k
m B r B r r
??=+--
+-??，1,2,3,k =??? 从而得到
0(1)(1)1k k k m
B B r r r
??=+-
+-??，1,2,3,k =??? ⑺ 设第个n 月已还清贷款，则0n B =，代入⑺式得
0(1)(1)1
n
n rB r m r +=
+- ⑻ 因此，若某人贷款0B ，月利率为r ，共贷款n 个月，则每月需还贷款公式为⑻式．此式也适用于购车贷款等的按月还款．下面举例说明⑻式的应用．
例15 某人贷款8万元用于购买汽车，设贷款月利率为0.402%，贷款期限为10年，试计算此人每月还款额是多少？
解 1012120n =?=，由公式⑻得：
120120
0.402%80,000(10.00402)520.4748672841.66(10.00402)10.618392
m ??+===+-（元） 这说明此人每月需还款841.66（元）．
通过上面的论述，我们会发现微积分已经广泛的应用于经济生活中，而且随着金融市场和现代企业制度的建立，微积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域．经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，微积分在经济生活中的地位越来越重要．
注释：
①D C -生产函数是数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的，被认为是一种很有用的生产函数．一般形式为：G A L K α
β
=??，G 为产量，L 和K 分别为劳动和资本投入量，
A 、α和β为3个参数， 0,1αβ<<．当1αβ+=时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程
中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额．若
1αβ+>，则为规模报酬递增；若1αβ+=，则为规模报酬不变；若1αβ+<，则为规模报酬递
减．
微积分在生活中的应用
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/0b15337888.html, 微积分在生活中的应用 作者：曹红亚 来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期 【摘要】微积分产生于十七世纪后期，完善于十九世纪。在现代社会中，微积分是高等数学中至关重要的组成部分，在数学领域中扮演着不可替代的角色，与此同时，微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。 【关键词】微积分;现实生活;实际应用 众所周知，微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义，其指的是微分学和积分学二者的总称，其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的，现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中，如天文学、生物学、工程学以及经济学等等，在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验，就此议题提出自己的几点看法和建议。 一、微积分在日常工作中的应用 微积分不仅仅应用在科研领域，其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中，我们需要装修或者从事装修工作，都需要进行工程预算，这时我们便会不自觉地应用微积分原理，首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元，然后对应用到的材料和工时进行计算，最终得出总的造价。再比如，现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业，那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解，在一天的几个时间段，做一分钟的调查，测出经过的人数或车数，再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量，这将是我们创业的一个重要参考面。 二、微积分在曲线领域中的应用 在微积分的现实应用中，最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。 如在当前社会中，相关数字音像制品或者正流行的数字油画，其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频，利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候，再由设备用数字方式来解读还原，使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如，中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点，放大，现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 三、微积分在买卖中的应用
生活中的微积分
生活中的微积分 姓名：骆雨 学号：2012212476 班级：国贸八班 公元3世纪，著名的数学家刘徽提出“割圆术”：割之弥细，所失越少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而不可割矣。这就是现在所说的微积分。 微积分的基本原理，或者说是基本思想很简单，可以概括为：微分等于无限细分，积分等于无限求和，两者合并叫微积分。也就是说，对某些不太好测量、计算、把握、分析的东西，先把它拆解成一个个独立的小单元，加以研究计算，得出结论（即微分）。然后再把它们累计相加，得出总结论即积分。有了它，对繁杂、纷乱的世界，我们就有了精确把握的认识，并能对一些难于驾驭的东西进行顺利把握的应用。 微积分的应用范围非常广泛，最典型的应用是求多元曲线的切线和法平面方程，求不规则图形的面积。而且它在天文学、物理学、经济学、工程学、化学、生物学等各个领域都发挥着重要作用。在我们的日常生活中，比如谷歌地球、中央电视台新闻频道的时事报道也都是微积分的应用。常看到地球转向某一点，放大、现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 再比如，现在的数字音像制品以及正时兴的数字油画，都是把声音和图像分解成一个个音素或像素，用数字的方式来记录、保存，重放时再由设备用数字方式来解读还原，使我们
听到或看到几乎和原作一模一样的音像。诸如此类的应用比比皆是。 21世纪，我们生活在市场经济时代和信息时代，瞬时变化，不断更新的经济与信息和我们的学习、工作息息相关。微积分在经济学中的应用对我们的日常生活也有重大影响。 例如，某一种商品的价格会影响我们对于该商品的需求。对于需求函数Q=f (p),由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f (p)为单调减函数， ?p 与?Q 异号，所以特殊定义需求对价格的弹性函数为)()(')(p f p p f p ?-=η。设某商品的需求函数为5 ^p e Q -=，求需求弹性函数;p=7,5,3时的需求弹性。 解： 5)()()(p p f p p f p =?'-=η， 6.0)3(=η<1，说明当p=3时，价格上涨%1，需求减少%0.6，需求变动的幅度小于价格变动的幅度； 1)5(=η=1，说明当5=p 时，价格上涨%1，需求也减少%1，需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的； 14.1)7(>=η，说明当 p=7时，价格上涨%1，需求减少%1.4，需求变动的幅度大 于价格变动的幅度。 当某种商品价格上涨时，我们通常会减少该商品的需求。并且，对于需求弹性不同的商品，比如生活必需品和高档消费品，我们往往在不自觉的情况下已经用导数即微分的知识来决定对它的消费量了。
微积分在经济生活中的应用
微积分在经济生活中的应用 人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系． 1 导数及微分的应用 导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时，0lim x C x ?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情 况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是： 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元． 在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本． 1.1.2 边际收入 边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题． 设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
微积分及经济学应用
第3章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为)(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =，)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用 ),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产出水平，K 表示资本，L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5;
微积分在生活中的应用Word版
微积分在生活中的应用 （何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830） 一.摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。 微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 二．关键词：物理，经济，应用。 三．引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要是互联网。 四（一）在物理中的应用 例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时； 对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积； 例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时； 根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。 例3.研究变力做功问题时； 对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。 （二）在经济上的应用 1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1 边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），
微积分在生活中的应用论文
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微积分在生活中的应用 摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用 关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导
绪论 作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。 我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。 一、微积分在几何中的应用 微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！ 1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线2f x 和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为
高数在经济学中的应用演示版.doc
《高等数学》知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数 学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。 一、复利与贴现问题 1、复利公式 货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利 息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。 如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。 下面推出按福利计息方法的复利公式。 现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。 若以年为一期计算利息： 一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ） 二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2 类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1） 若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是 r m ，容易推得 0(1) mt t r A A m =+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。 若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于 000lim (1)lim[(1)]m mt rt rt r m m r r A A A e m m →∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是 0rt t A A e =
微积分在实际中的应用
微积分在实际中的应用 一、微积分的发明历程 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 二、微积分的思想 从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述， 与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。公元3世纪,刘徽在《九章算术》中
微积分在经济学中的若干应用
微积分在经济学中的若干应用 微积分在经济学中的若干应用 1微积分的基本思想 微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。 1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网
①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； ②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，. （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： ①“求和”：； ②“求极限”：，其中. 可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：（1）微小局部求近似值； （2）利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。 2微积分在经济学中的基本应用 （1）一般均衡理论中的微积分方法：经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品
定积分在生活中的应用
PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏
定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。
微积分及经济学应用
第3章 微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数 在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。 其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的 大小。 例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5;
考研数学之微积分在经济学中的应用
考研数学之微积分在经济学中的应用 来源：文都教育 这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。 一、 差分方程 1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… ),(),(3423t t t t y y y y ??=???=? 2、差分方程的概念 一般形式：0),,,,,(2=???t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程. 3、一阶常系数线性差分方程的解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程； 当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐
高等数学在生活中的应用
高等数学在生活中的应 用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对高等数学的认识及它在生活中的应用当今世界，国际竞争日趋激烈，而竞争的焦点又是人才的。竞争21世纪哪个国家具有人才优势，哪个国家将占据竞争的制高点。而现在的社会需要的人才已经不是从前那种简单的一个文凭就可以了，而是需要全面的人才，全方位的人才，一种高素质高能力的人才！ 与此同时，高等数学恰恰在这方面发挥着巨大的作用！数学培养的就是你的思维能力，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而你建立模型地基础就是你怎样把实际问题转化为数学问题。再把复杂的问题简单化！这样就更容易的去解决问题、处理问题！ 在现代大学课程设置中，大部分学生要学习高等数学这门课程，只是很多学生不知道学这门课程有什么用途，缺乏学习的动力和兴趣，最后逐渐认为数学是一门非常枯燥的学科。这样不能够激发学生学习数学的兴趣。使学生们慢慢的不重视数学的重要性！ 高等数学在当今社会有着广泛的应用。如：计算机方面、电子应用方面、航天技术方面、医学方面等等众多领域都起着巨大的作用！ 在计算机领域，计算机中许多地方要用到数学模型，特别是算法复杂度，人工智能、业务领域的数学建模等等，都需要有一定的数学功底。 随着现代科学技术的发展和电子计算机的应用与普及，数学方法在医药学中的应用日益广泛和深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定
性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发展提供了强有力的工具。高等数学是医学院校开设的重要基础课程，用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。使我国的医术在前有的基础上再创辉煌！ “神舟”六号载人飞船成功升空，是我国航天事业科学求实精神的结晶，是坚定不移走自主创新之路的结果。载人航天是当今世界最复杂、最庞大、最具风险的工程，是技术密集度高、尖端科技聚集的高科技系统工程。而这些庞大的工程都离不开数学，复杂的数字计算、精确的时间等等这些都在数学范围内！ 其次，数学建模是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性。把数学建模的思想方法融入数学分析课程教学是培养学生创新能力和实践能力的一条有效途径,是当前大学数学课程改革的一个重要方向. 我们大学生的思维处于由形式逻辑思维向辨证逻辑思维过渡的阶段，数学建模不仅要求学生在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面做出合理的简化与假设，并且要求他们应用数学的语言和方法将实际问题形成一个明确的数学问题。因此，在高等数学中渗透建模思想，运用运动的、变化的、全面的、发展的观点去观察、分析和解决问题，不仅发展了我们大学生的一般思维能力，还发展了我们的辨证逻辑思维能
微积分在经济中的应用分析
一、经济分析中常用的函数 （一）需求函数和供给函数】【2 1.需求函数。需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q （p ）（Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数（如图一）。 需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。 2.供给函数。一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S （p ），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg 。一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。（如图二）
供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。 （二）、市场均衡 在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。 （三）、价格函数、收入函数、利润函数 1.价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多就可以把价格讲得越低。例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。 2.收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。 3.利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L（Q）=R （Q）-C（Q）。其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。 三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用 （一）、边际分析 经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。例如，当 【3。消费者多吃一单位的冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用】【4：设函数y=f(x)可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。 定义】 在经济学中，我们经常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数） （p C 。 边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以，产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产
高等数学的矩阵在实际生活中的应用
矩阵在实际生活中的应用 一．【摘要】 随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。 【关键词】 高等数学矩阵实际应用 二．应用举例 1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。 例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。 表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到 MN 的第一行元素表示了四个季 度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。 MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。 对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表： 表3. 总成本汇总表 ????? ??=200040003500250030003700480028002000250030002000N
微积分在经济学中的应用分析.doc
微积分在经济学中的应用分析 李博 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。 关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系 经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。 经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。 数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂
微积分在经济学的应用毕业论文
微积分在经济学的应用毕业论文 目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 微积分在经济学的应用 (1) 2.1 边际分析 (1) 2.2 弹性分析 (3) 2.2.1 弹性的概念 (3) 2.2.2 需求弹性 (3) 2.2.3 需求弹性与总收入的关系 (4) 2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用 (5) 2.3.1 边际经济量 (5) 2.3.2 偏弹性 (6) 2.3.3 偏导数求极值 (8) 2.4 积分在经济分析中的应用 (9) 2.4.1 边际函数求原函数 (9) 2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 (9) 2.4.3 收益流的现值与未来值 (10) 2.5 实际问题探索 (12) 2.5.1 经济批量问题 (12) 2.5.2 净资产分析 (13)
2.5.3 核废料的处理 (14) 3结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18) 外文页 (19)
微积分在经济学的应用 武亚南 摘要本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点. 关键词微积分边际分析弹性分析实际问题 1 引言 微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具. 微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用. 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的. 2 微积分在经济学的应用 2.1 边际分析 在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变
高等数学在实际生活中的应用72690
高等数学知识在实际生活中的应用 （4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。 （5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明： 图1 （二）数学建模的范例 例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？ 这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得 越近越好呢？ 先建立一个非常简单的模型： 模型1： A 黑 板 a B b D C 图2.3-1
先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知： ab b a x a b x b a ab x x b a tna x b x a 2)(tan 1tan tan )tan(,tan ,tan 2-≤ + -=+-=+-=-∴= βαβαβαβα 所以，当且仅当ab x = 时，)tan(βα-最大，从而视角βα-最大。 从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。 下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。 模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线O E 的方程（除原点）为： γtan x y = )0(>x 若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为 )tan ,(γx x ， 图2.3-2