斐波那契数列的隐含周期性质
图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性
所在省市：天津市
作者姓名：李元亨
所在学校：天津耀华中学
指导教师：王洪亮
一.简单背景介绍
斐波那契数列，又称兔子数列，是一种最简单的递归数列；它的提出，首先在斐波那契的《算盘之书》中出现，有趣的是，斐波那契只是把这种简单的计算关系作为十进制数字比罗马数字简单的优越性的一个例子，这个例子又叫做兔子谜题，原题如下：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力。
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
简单分析一下，可知：
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这样我们就得到了一个递归式：Fn =F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
三.关于斐波那契数列周期性性质的探究
斐波那契数列的无穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。我相信任何一个无穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关，也应当进行其在与数字进行其他运算方法的关系。利用类比的数学思想，我认为，有许多种无穷递增数列，即使在每项本身没有较易发现的关系，在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性。因此，我们有不太充分的理由可以相信，斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应当可以体现出某种周期关系。
为了让一个递增数列体现出一种周期性，我们只可以使其失去递增的特点，否则永远无法继续上一个周期。首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系（只要出现连续两项于前面的连续两项相等，后面必定具有周期性，证明从略）为了探讨这个问题，我将斐波那契数列一直用笔列至70项，使用了大量的时间，经过了巨大的运算量才发现了规律。后来，经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以10的余数。
所以我们可以探讨对其他数取余的情况，经过了如此大规模的计算，我认为我应当可以减少计算量。突然，一个想法映入我的脑海：可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研究，并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。
(一)斐波那契数列的周期性关系
对于斐波那契数列是否具有隐含的周期性，及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探究，所以我们定义一个数列bn = bn mod m（m是整数），以探究bn的周期性。为了更深层地讨论周期性问题，我们可以定义一个数列kn，以代表bn= bn mod n的周期长度。
1）首先我们讨论一下周期的存在性
利用上面建立的斐波那契数列an 建立一个bn 体现其余数关系。
我们任取一个数，比如说11
（bn=an+1-int（an+1/11）*11）即斐波那契数列中每一项对11取余。
这时，k(11)=10。下面这个表格展示了一个周期里的数字。
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b(n) 1 1 2 3 5 8 2 10 1 0
2）数表不容易体现其周期性，所以观察其连续图。
可以体现了较为明显的周期性，所以周期在m=11时存在。这时k（11）=10
不过我们还可以尝试一下其他的数使斐波那契数列的每一项对其取余，以确定这不是一个偶发事件。
3）所以我们把bn 的式子改为bn=an+1-int（an+1/22）*22即斐波那契数列中每一项对22
取余。
这时k（22）=30
递归还是可以体现很明显的周期性，不过显然周期中数字的个数k（22）=30要长很多。
下面这个表格展示了一个周期里的数字。
项数123456789101112131415 b(n) 112358132112111213316
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 13 10 1 11 12 1 13 14 5 19 2 21 1 0
而和等比数列不同的是，其周期中数字个数的在取余时变化（周期长度的变化）在除数变化不太大时，周期长度的差异不是很大，而在斐波那契数列中的每一项对其他数取余时，周期的变化就很明显了。这就是斐波那契数列相似的周期性中的不同点。
4）我们把bn 的式子改为bn=an+1-int（an+1/8）*8即斐波那契数列中每一项对8取余。这时k（8）=12
下面这个表格展示了一个周期里的数字。
5）在探究周期性的同时我们可以得到一个发现，即每一个周期的最后一个数都是0，而前
一个数是1。更有趣的猜想是，每一项的周期数k(n)似乎都是一个偶数。
项数123456789101112
b(n) 112350552710
这时极易找出一个反例，即在n=2时，k（2）=3
项数123
b(n) 110
显然，我们为了确认是否是k（n）在n>2时是偶数还需进一步验证。
下面为了节约篇幅，展示出我得到的一组数据。
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 k(n) 8 6 20 24 16 12 24 60 10 24 28 48 40 24 36 24 18 20 21 22 23 24 26 27 28 29 31 32 33 34 35 36 37
60 16 30 48 24 84 72 48 14 30 48 40 36 80 24 76
后有经过多次程序验证，我们可以得知在n<1500时这个猜想成立，进一步的证明还需要较高级的数学知识。
(二)周期长短的问题
经过刚才的验证，我们可以更了解到k(n)的性质。刚才我们在试验斐波那契数列对10取余时，发现对10 取余时得到的k（10）非常之大，已经远远大于24和10，更有k(25)与k(30)已经远远大于100，使我不禁怀疑了以上结论的正确性，不过最终找到了结果。
1)下面我们尝试一下对10取余。
这是对10 取余之后得到的bn，好像失去了周期性。
2)对于刚才的数据，我们观察到k(5)=20 远大于k(4)和k(7)。所以我们可以做出一个猜想——即这个数列的周期长度和5 一定有某种关系。
3)为了验证上面的猜想，我们作出项数与周期长度散点图。
可以发现，在5的倍数时周期长度偏大，且每5个数体现一定的周期递变性。
(三)斐波那契数列周期长度的关系
经过刚才的验证，我们可以更了解到k(n)的性质。刚才我们在试验斐波那契数列对11取余时可以发现，周期长度正好等于11-1=10。
我认为这不只是一个巧合，还另有其他道理。11是一个质数，我觉得我们可以从质数角度下手，来进一步讨论这个问题。但显然，下一个质数13就没有这样的性质，k(13)=28（如
下图）
1)根据刚才的推测，我认为5是解决这个问题的关键，因此我们需要找到一个比11多5k的
一个质数，自然而然，31是下一个讨论的对象。
2)我们来做一下b（31）并求一下k(31),如下表。
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 3 24 28 10 16 5 21
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
26 16 11 27 7 3 10 13 23 5 28 2 30 1 0
这时也符合k(p)=p-1,(p=5n+1,p为质数)
3)关于其他质数的讨论：
我认为这种关系不应当仅仅限于小部分质数，还已经得到了一些关于其他质数的k(p)，比如
说k(29)=14(如图表)
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 b(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 5 26 2 28 1 0
这时k(29)=14,而29-1=28，刚才的结论对其无效。但14是28的一个因数，这应该不仅仅是
一个巧合。
下面再试验一下k(19)。如图
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 b(n) 1 1 2 3 5 8 13 2 15 17 13 11 5 16 2 18 1 0 k(19)=18
4)这时结论可更正为p =5k±1 时k(p)|(p-1)
关于结论的一些想法
毕竟，我们只是解决了p =5k±1 时的质数的k(p)的关系，离彻底解决问题还差很多，毕竟这篇文章中的大多数结论只是在小范围内总结出来的，未经证明的一些想法，不具有更大的普遍性，还需要进一步证明一下。
结论与感悟
我们利用图形计算器，可以做到生活中不方便利用实物完成，且完成得不如图形计算器有趣的数据分析，并且减少了很大的计算量。图形计算器的参与让数学更简单，更有趣，更美好。整个探索开始是一次我在公交车上的突发奇想，而图形计算机的参与使得我在很多看似难以进行大规模数学计算的时候分析了如此多的数据。在难以分析的情况下使用并利用图形计算器的卓越数据处理关系更可以直观的观察出数据之间不容易用简单数据表达的内在关系，图形的引入更加增加了研究的多方面性。如果要进行笔算，仅是计算就会耗费大量的时间，又使人难以快速观察出许多隐含的关系。
斐波那契数列的隐含周期性质
图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性 所在省市：天津市 作者姓名：李元亨 所在学校：天津耀华中学 指导教师：王洪亮
一.简单背景介绍 斐波那契数列，又称兔子数列，是一种最简单的递归数列；它的提出，首先在斐波那契的《算盘之书》中出现，有趣的是，斐波那契只是把这种简单的计算关系作为十进制数字比罗马数字简单的优越性的一个例子，这个例子又叫做兔子谜题，原题如下： 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力。 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。 如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 简单分析一下，可知： 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这样我们就得到了一个递归式：Fn =F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*） 三.关于斐波那契数列周期性性质的探究 斐波那契数列的无穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。我相信任何一个无穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关，也应当进行其在与数字进行其他运算方法的关系。利用类比的数学思想，我认为，有许多种无穷递增数列，即使在每项本身没有较易发现的关系，在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性。因此，我们有不太充分的理由可以相信，斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应当可以体现出某种周期关系。 为了让一个递增数列体现出一种周期性，我们只可以使其失去递增的特点，否则永远无法继续上一个周期。首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系（只要出现连续两项于前面的连续两项相等，后面必定具有周期性，证明从略）为了探讨这个问题，我将斐波那契数列一直用笔列至70项，使用了大量的时间，经过了巨大的运算量才发现了规律。后来，经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以10的余数。 所以我们可以探讨对其他数取余的情况，经过了如此大规模的计算，我认为我应当可以减少计算量。突然，一个想法映入我的脑海：可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研究，并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。 (一)斐波那契数列的周期性关系 对于斐波那契数列是否具有隐含的周期性，及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探究，所以我们定义一个数列bn = bn mod m（m是整数），以探究bn的周期性。为了更深层地讨论周期性问题，我们可以定义一个数列kn，以代表bn= bn mod n的周期长度。 1）首先我们讨论一下周期的存在性 利用上面建立的斐波那契数列an 建立一个bn 体现其余数关系。 我们任取一个数，比如说11 （bn=an+1-int（an+1/11）*11）即斐波那契数列中每一项对11取余。
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式 一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法： 特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p） 注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1） 二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数 （1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法： 特征方程是y×y=py+q（※） 注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。 例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An， 特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒 例三： 【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2
短周期元素性质归纳
短周期元素性质详细归纳 湖南省郴州市湘南中学：田万福 1号元素H 1、最外层电子数=电子层数主族序数=周期序数（Be，Al） 2、原子半径最小，最轻的气体单质 3、单质常做还原剂 N2+H2 ?NH3（工业合成氨，放热反应） H2+F2=2HF（黑暗处就能反应） H2+Cl2=2HCl（光照爆炸，点燃苍白色火焰） CuO+H2=Cu+H2O（吸热反应） 4、制备实验室：Zn+H2SO4=ZnSO4+H2 工业制法：C（s）+H2O（g）=CO+H2 5、同位素：质子数相同而中子数不同的核数H D T 2号元素He 单质无化学键（稀有气体都无化学键，单原子分子） 3号元素Li 1、最外层电子数是内层电子数的一半（P）最外层电子数是最内层电子数的一半（Na） 2、密度最小的金属，保存在石蜡油中，防止氧化 3、与水反应生成碱和氢气，与O2不能生成过氧化物 4号元素Be 1、最外层电子数＝次外层电子数；最外层电子数＝电子层数； 2、氧化物为BeO；价态+２价；两性元素，其氧化物和氢氧化物为两性 5号元素B 最外层电子数比次外层多一个；氢化物B2H6；硼酸（H3BO3）可用于洗涤不小心溅在皮肤上的碱液6号元素C 1、最外层电子数是内层电子数的2倍最外层电子数是最内层电子数的2倍（Si） 2、形成化合物种类最多（有机物） 3、同素异形体：石墨，金刚石，C60（氧气与臭氧，红磷与白磷，正交硫和单斜硫） 4、氧化物AB AB2型 CO：有毒，可燃（淡蓝色火焰，S、H2、CH4、C2H5OH），还原性气体 CO2：电子式温室效应，固态称为干冰，用于人工降雨（还有AgI） 检验方法：使澄清石灰水变浑浊（注意与SO2区别鉴定）
斐波那契数列资料
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
时间和空间的性质及其维数
时间和空间的性质及其维数 付昱华 （中海油研究总院，E-mail: fuyh1945@https://www.360docs.net/doc/0b5817686.html,） 摘要根据唯物辩证法，时间和空间都具有两重性，即绝对性和相对性。没有绝对时间和绝对空间，相 对时间和相对空间也就不存在，反之亦然。但是，它们的地位又是不平等的。绝对时间和绝对空间更重要，因为它们分别是相对时间和相对空间的参照系。另外，绝对空间是平直的，而相对空间可以是平直 的也可以是弯曲的。至于时间和空间的维数，是一个极为复杂的问题，需要讨论的是复杂时间和复杂空间。绝对空间是三维的，绝对时间是一维的（由三维绝对时间形成的）。对于相对空间，可以有多维空间、分数维空间、复数维空间、变维空间。对于相对时间，可以有与相对空间相对应的多维时间、分数维时间、复数维时间、变维时间。换句话说，空间与时间的关系是一一对应关系。针对一般认为空间是三维的、时间是一维的观点，根据分形理论关于自相似性和相似性的观点，得出对应于三维空间的三维时间。应用相对论中的洛伦兹变换，导出一种特殊情况下三维时间的具体形式，并将其改写为变维分形的形式。文中实例表明，建立多维时间和多维空间等框架，不仅是可能的，在某些情况下也是必须的。 关键词绝对时间，相对时间，绝对空间，相对空间，分形理论，变维分形，复杂时间，复杂空间 前言 时空理论的发展，走过了一条艰难曲折而又漫长的路。最初由牛顿建立了绝对空间和绝对时间的理论。这种时空观认为空间是个刚性的框架，而时间是均匀流逝着的。时间与空间均不受任何物理过程的影响。以后建立的相对论，提出了四维时空连续区的概念。即任何一个物理事件都对应着四个数字：其中三个表示事件的地点，一个表示事件的时间。爱因斯坦认为大量事件的总体构成一个四维时空连续区域，时空的性质与物体运动有关，其中包含着时间和空间不再是绝对的和彼此之间相互独立的含义。随着量子理论的发展，又提出了时间和空间是事物之间的一种次序的观点。 尽管时空理论在不断发展，但是有一种观点始终未变，即一般认为，空间是三维的，时间是一维的。 时间是一维的观点，令人想起了欧几里德几何学的第五公设：过直线外一点只能做一条其平行线。如所周知，只能做一条平行线的观点早已被非欧几何所突破。既然如此，时间是一维的观点是否也应该突破呢？ 早在1982年，张树润在《潜科学杂志》上讨论了七维时空，提出时间是四维的。笔者在不知张树润工作的情况下，于2002年9月提出三维时间和多维时间的观点。在此基础上还可以讨论分数维时间、复数维时间和变维时间。 空间的维数同样需要重新考虑。 根据这种情况，本文提出复杂时间和复杂空间的概念，并对有关的问题进行初步探讨。 1时间和空间的绝对性和相对性 根据唯物辩证法，时间和空间都具有两重性，即绝对性和相对性。相对时间和相对空间是有条件的，暂时的，有限的；绝对时间和绝对空间是是无条件的，永恒的，无限的。绝对和相对是相互依存的，二者缺一不可。没有绝对时间和绝对空间，相对时间和相对空间也就不存在，反之亦然。没有绝对时间和绝对空间，相对时间和相对空间就不能定义。现在，如果说一个事物只有优点没有缺点，恐怕没有谁会相信。不可能只存在相对时间和相对空间的道理，和不可能存在只有优点的事物的道理是一样的。 类似于绝对真理存在于相对真理之中，绝对时间和绝对空间只存在于相对时间和相对空间之中。
特征方程
特征方程法求解递推关系中的数列通项 当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们 在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：1n n n aa b a ca d ++=+ 令 ax b x cx d +=+，即2()0cx d a x b +--= ， 令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有111 1 1n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+） (2)若12x x ≠,则有11 1 122 n n n n a x a x q a x a x ++- -=-- （其中1 2 a cx q a cx -=-）
例题1：设23()27 x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <， 求使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。23()27 x f x x -+=- 解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327 x x x -+= - 解得012x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83 327 x x x x x x x x x x -++---++-===?-++----- 可知使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --+ +=?--，所以数列 123n n a a ??+????-????是以34-为首项，18为公比的等比数列。 则11312()348n n n a a -+ =-?-，则11 911()482311()48n n n a ---=+
斐波那契数列的通项公式推导解析
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质 一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1?√52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p +1a u-p a q-u 三、a n+1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ） 五、a n+12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n+m = a n?1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n+2a 2n?1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m+n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n+2 - a n ?a n+1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 ?12 下面是一篇文章：
第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1 6. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 7. [f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1) 8. f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
不动点(特征方程)法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d
线性递推数列的特征方程
具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做 线性递推数列 将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：
1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。 例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .
元素性质的周期性变化的规律
一、原子半径同一周期（稀有气体除外），从左到右，随着原子序数的递增，元素原子的半径递减；但由于阴离子是电子最外层得到了电子而阳离子是失去了电子所以, (同种元素) (1) 阳离子半径<原子半径(2) 阴离子半径>原子半径(3) 阴离子半径>阳离子半径。短周期中电子填充到最外电子层，同层电子间屏蔽效应弱，因此有效核电荷增加显著，而电子层数不变，核对外层电子吸引力逐渐变大，所以短周期元素原子半径从左到右递减较快。长周期元素中，从第3（ⅢB）族开始，电子填充至到次外层上，这新增加到次外层上的电子对外层电子屏蔽作用强。因此，随核电荷的增加而有效核电荷却增加不多。同一族元素中，由上至下虽然核电荷增加较多，但相邻两元素之间依次增加一个电子层因而屏蔽作用也较大，结果有效核电荷增加不显著。同一族中，从上到下，随着原子序数的递增，元素原子半径递增。主族中从上到下核电荷明显增大，但随电子层数的增加，屏蔽作用增加，因而有效核电荷增加不明显，由于电子层数的增加，原子半径明显增大；副族的过渡元素，第一过渡系与第二过渡系由于有效核电荷增大不及电子层增加的作用，原子半径增大。但由于镧系收缩，使第二、第三过度系同族元素的半径几乎不变，有的甚至减小。 二、电离能同周期主族元素从左到右作用到最外层电子上的有效核电荷逐渐增大，半径逐渐减小，电离能也逐渐增大，稀有气体由于具有稳定的电子层结构，其电离能最大，故同周期元素从强金属性逐渐变到非金属性，直至强非金属性。同周期副族元素从左至右，由于有效核电荷增加不多，原子半径减小缓慢，有电离能增加不如主族元素明显。由于最外层只有两个电子，过渡元素均表现金属性。同一主族元素从上到下，原子半径增加，有效核电荷增加不多，则原子半径增大的影响起主要作用，电离能由大变小，元素的金属性逐渐增强。同一副族电离能变化不规则。 三、电子亲和能变化趋势与电离能相似，具有大的电离能的元素一般电子亲和能也很大 四、电负性一周期从左至右，有效核电荷递增，原子半径递减，对电子的吸引能力渐强，因而电负性值递增；同族元素从上到下，随着原子半径的增大，元素电负性值递减。过渡元素的电负性值无明显规律。就总体而言，周期表右上方的典型非金属元素都有较大电负性数值，氟的电负性值数大（4.0）；周期表左下方的金属元素电负性值都较小，铯和钫是电负性最小的元素（0.7）。一般说来，非金属元素的电负性大于2.0，金属元素电负性小于2.0。
时间,空间性质的3篇基础
论空间，时间中物理运动的变化 第一篇确定《绝对空间》对物理学的意义 我想每个知道宇宙大爆炸论的人，都有这样的疑问，宇宙在没有爆炸之前是什么样的？现在宇宙外面是什么样子的？我相信没有人能回答，不过没关系，等你看了我的 观点之后就有答案了。 大爆炸论是不是正确的，我不敢确定，但宇宙开始是很小的是确定的，有很多伟大的科学家证实过，正因此大爆炸论才被大多数人所接受。宇宙开始很小，说明我们周 围的空间，在宇宙没爆炸之前是在宇宙之外的，只是宇宙行成之后，才变成我们今天 这个样子的。我幻想把所有爆炸形成的东西都抽离出去，得到一个绝对空间（这个绝 对空间不是牛顿说的绝对静止，它是绝对零度的空间）。跟着我的思想，来飞越百亿 年的光阴去感受它了解它的性质。这个空间没有温度，是绝对零度的，它不吸收能量，没有光，没有任何可观测物质，它有韧性可以弯曲，它没有时间，在它里面有质量的 物体不可以超光速，它有记忆，它本身也是种物质。 这些性质我是通过抽离的方法，把我们周围已知的东西抽出来得到的。首先我把大 爆炸形成的物质和能量抽出来，它就没有了温度，没有温度，它就是绝对0度，没有 了能量和物质，它就没有了物质和光。它不吸收能量这点不会错，有能量守恒定理， 如果这个空间吸收能量，能量就不能守恒。它可以弯曲是根据《广义相对论》，引力 波也已经证实了。这些性质可以确定，下面是我大胆的观点 一在这个空间里不可以超光速，根据狭义相对论，速度越快质量越大，物质是不能 超光速的，这一点我不知道有没有证实过所以没写在上面，不过我感觉是正确的。 二这个空间有势能，这个是我根据万有引力推出的，这一点我不敢确定。观点是如 果没有势能我们垂直往上抛一个物体，它就不会落下来 三这个空间没有时间和有记忆，我下面两篇会会和你们详细分析。 四这个空间也应该有质量，也是种特殊的物质，只有这样，空间的势能和速度越快质量越大，还有宇宙反物质的稀少，才能合理。我大胆断言，我们苦苦在找的暗物质， 就是空间本身，或着说暗物质本来就是空间的一部分，在宇宙没有大爆炸之前就存在。假如暗物质和空间不是同时存在，根据现宇宙在不断膨胀，暗物质要持续增加才能保 证宇宙的膨胀，可是我们现在并没有找到暗物质从哪里增加，在假如我们现在的科技 手段观察不到暗物质，那么暗物质的增加，势必会对周围的星系造成影响，这种影响 我们也没有观察到。还有暗物质是是增加的，它的压力要大与我们的宇宙，我们的宇
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江 斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。 下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。 由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-= λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2 51-=μ。 先以2 51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2 15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+ -+n a a a a n n n n ， 即)2()2 15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215( 11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2 15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12 15215=-++x x 即55=x ， 所以 ])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ，
所以)2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， )2]()251()251[(5 1])215(551[)251()215(55112111≥--+=+--++=++-++n a n n n n n 所以)3]()251()251[(5 1≥--+=n a n n n ， 又121==a a 适合上式，故 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 同理可得251--=λ，2 51-=μ时，*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 因此斐波那契数列的通项公式是 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=
数列的特征方程
递推数列特征方程的来源与应用 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ， 当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列???? ??-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+=
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列： 1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公 式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1)
又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即： 根据斐波那契数列通项公式，可以得到 因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道： 那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即 这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
时间本性和热力学
读书评论 时间本性和热力学 评《黑洞与时间的性质》 吴忠超 半年前，我收到了这部题为“黑洞与时间的性质”的电子书稿。这部专著的作者是两位理论物理工作者刘辽、赵峥教授以及他们以前的学生田贵花、张靖仪两位教授。这是一部富有智慧的作品。我阅读之际写下一些感想，供大家分享。 刘辽、赵峥从70年代迄今对引力物理做了多方面的研究，撰写了大量论文。这些论文涉及引力物理的测量问题、引力热力学、黑洞霍金辐射、奇点定理、虫洞、量子宇宙学、时序猜测、黑洞信息丢失等等，这些都已纳入了这部专著。限于篇幅，这篇短文只能就他们对时间本性与热力学关系的贡献作一点介绍。 我们知道，古今中外的思想家都为探索时间的本性绞尽脑汁，而时间仍一如既往地保持着它永恒的神秘。在爱因斯坦之前，康德以自然科学家和哲学家的双重身份对时间和空间提出了一些真知灼见，而其余的人只不过以不同的语言对时间进行了一些描述。我们谈论最多的是时间，最不了解的也是时间。只有在爱因斯坦提出狭义相对论和广义相对论之后，时间本性的研究才真正进入科学的王国，这只是近一百年的事。 广义相对论的意义是，时空被其中的物质的能量动量张量所弯曲，而引力物理最基础的实验无非是时空的测量问题。从某种意义上讲，广义相对论早期三大验证也是时空测量问题。在爱因斯坦与朗道等人研究工作的基础上，赵峥从80年代起就开始关注这方面的探讨。他发现热力学第零定律，即热平衡具有传递性，与钟速同步的传递性等价。无论是热力学第零定律，还是钟速同步传递性，若不成立，这个物理世界就会面目全非。 在经典广义相对论中，霍金和彭罗斯在上个世纪70年代证明了，在非常广泛的物理条件下，时空中至少存在一个固有时间有限的物理过程。赵峥等指出，“固有时间有限”必然伴随着系统温度达到绝对零度或出现发散的情况，这违背了用固有温度表达的广义热力学第三定律。这就进一步增强了下述信念：考虑引力量子化的广义热力学定律将排除时空奇点，保证时间的无始无终性。 田贵花与赵峥用整体微分几何探讨了这方面的问题，并意外地发现，如果采用固有时间进行量度，则沿类光测地线运动的“自由光线”的加速度不是零，而是无穷大。这是一个耐人寻味的结果。 热力学第一定律，即热物理框架中的能量守恒定律，显示了时间流逝的均匀性。热力学第二定律因霍金辐射的发现而在引力物理中大放异彩。科学界已达成共识：黑洞视界的面积代表了黑洞的熵。本书作者历年来在霍金辐射的方向做了很多贡献，发表了大量论文。近年来，对黑洞过程是否破坏信息守恒的问题，威尔切克（F. Wilczek，诺贝尔奖得主）和帕利克（M. K. Parikh）就史瓦兹黑洞提出了富有创见的隧穿机制，证明了黑洞辐射过程信息守恒。张靖仪与赵峥把他们的工作推广到克尔黑洞族以及更一般的黑洞，同时指出，他们的证明中假设了黑洞辐射是可逆过程，而真实的过程肯定不可逆，因此威尔切克和帕利克的证明有很大局限性，他们还未能证明信息守恒。这对黑洞信息丢失问题给出了新的启示。 “时间机器”最早出现于科幻小说。从1988年开始，索恩等人对这一课题展开了科学探讨，他们用广义相对论研究了制造“时间机器”的可能性。由于“时间机器”可 作者简介：吴忠超，浙江工业大学物理系教授。
高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式
特征方程推导数列
递推数列特征方程的来源与应用 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。 很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受