二次函数图象与字母系数的关系教案
下列结论：
的大致图象可能是二次函数图象与字母系数的关系
(三)二次函数图象与字母系数的关系(含答案)
题型（三） 二次函数图象与字母系数的关系 1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y =ax 2 +bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2 ＜0； ②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2 =4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为 （4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 6.(2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数x c y =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2 的图c 象可能是（ C ）
二次函数的图像教学设计
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
二次函数的图象和性质优质课教案
一．教学目标 1.知识与能力 能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.过程与方法 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。 3.情感态度与价值观 通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。 二．教材分析 二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。 本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。 在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质， 三．教学重点 能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 四．教学难点 能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较， 五．教学准备多媒体 六．教学过程 教学内容教师行为学生行为设计意图 【创设问题情境，引出新课】 上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？提出问题，引导 学生回顾已学的 知识。并追问： 你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些 性质吗？它们的 图象与y=2x2的 图象有什么关 系？ 【板书课题】 积极回忆已 学的知识， 并思考回 答。 对于函数y=ax2（a>0）图象 性质加以总结。这里取a为 正，负数对比，不仅进一步 复习巩固，同时为今天运用 类比教学打下铺垫，提问时 分层回答，不断补充，体现 合作，互助。
二次函数教案设计(全)
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
26.3 二次函数的字母系数
二次函数的字母系数 今天我们一起来谈一谈二次函数的一般式和顶点式中的字母系数的问题吧！ 例1：如图，根据图形来判别二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y 和顶点式：)0()(2≠++=a k m x a y 中字母系数的范围。 解：一般式： 由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0c 顶点式： 由开口方向可得0>a 由对称轴可得0>-m 所以0
大家通过上面的问题应该对于二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 中的字母系数所对应的图像特征应该掌握的不错了，那么对于关于字母系数的一些式子你是否了解呢？下面我们一起来看一看。 例1：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +++-、、、242的正负性 解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0abc 因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12<-a b 因为0>a 所以02>+b a 因为抛物线经过点（1,0），所以0=++ c b a 例2：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +---、、、242的正负性 解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得 因为0>a 所以0>b 由图像与y 轴交于负半轴，所以0
二次函数yabc的图像和性质教案
二次函数y a b c的图像 和性质教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
2＋bx＋c的图像和性质 教学内容 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 教材分析 二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。 学情分析 教学目标 1.知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2.过程与方法 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a) 教学方法和手段 讲授法、练习法 学法指导 讲授指导 教学过程 （一）提出问题导入新课 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了 （二）学习新知 1、思考：像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗
二次函数的图像和性质教案
5.4二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x
二次函数图象与字母系数的关系
二次函数图象与字母系数的关系 教学目标： 1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号. 教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架 知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42 -的符号之间的关系 （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0 开口向下 a<0 (2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定 交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0 交点在坐标原点 c=0 (3)b 的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定 对称轴在y 轴左侧 a,b 同号 对称轴在y 轴右侧 a,b 异号 对称轴在y 轴 b=0 (4)ac b 42 -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b (5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。 抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）, (6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定 二、典型例题 例1 （1） 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数 b ax y +=与反比例函数x c y = 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?0b ?0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的 （填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?042>-ac b ?1>c ?02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有 （填序号） 3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数x a y =与c bx y +=在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 三、课堂小结：谈谈你的收获 四、课下作业 1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有?a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；?02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有 （填序号）
2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计
第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手
作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．
九年级数学： 22.1二次函数的图像和性质第二课时教案
22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
2019届九年级数学下册 小专题(二)二次函数的图象与字母系数的关系练习 (新版)湘教版
小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系： (1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； (2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c； 当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c； 当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c； 当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可； (5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b 2a ＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1 时，x＝－b 2a ＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系； (6)b2－4ac>0?抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac＝0?抛物线与x轴有一个交点； b2－4ac<0?抛物线与x轴无交点． 1．(xx·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C) A．abc＞0 B．2a＋b<0 C．3a＋c<0 D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根
2．(xx·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2 ＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．(xx·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 5．(xx·达州)如图，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0； ③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25 .其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(xx·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②
二次函数根系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，， 这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方 程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若 ，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征；
④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【范例解读】 题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m
二次函数的图像与性质的教案
二次函数的图像与性质的教案（3） 【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质； 【难点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质； 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究： 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以 得到什么结论？ 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移 而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论： （1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不 同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2
二次函数的图像与性质教案
二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级：九年级 执教老师：田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-） 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填
2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标为 。 当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大； 当x 时，函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ） 提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是 ， 顶点坐标是（ ） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。
二次函数y=ax+bx+c的图像和性质教案
数学个性化教学教案 授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h 学生姓名 授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质授课教师 教学目标1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴； 3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象； 4.会用待定系数法求二次函数的解析式． 教学重、难点1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标． 2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用． 3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题． 教学过程一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 [归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成形 式. 其图像和性质如下表： 图像 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减性最值 a>0 向上 a<0 向下 知识点2确定二次函数的解析式 (1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般 式，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组 求解即可. (2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为 顶点式. 特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为； 当抛物线的对称轴为y轴时，h= ，此时可设函数的解析式为； 学习札记
课堂练习
课堂练习
本课小结 课后作业布置 课后赏识 评价 课后反馈本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成 □延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受□基本能接受 □不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般 □不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制） 存在问题_______________________________________配合需求：家长________________________________________________ 学管师________________________________________________
含字母参数的二次函数问题
含字母参数的二次函数问题 引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？ 二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶 点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.
它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元 二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根． 练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。 （1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-
含字母系数的二次函数
含字母系数的二次函数 类型1：根据字母判断函数的形式 例1：已知函数()n mx x n y m -+++=11（m ，n 为实数） 当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由； 类型2：图形的变换 例2：将二次函数2()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 类型3：判定抛物线与直线的交点情况 例3：已知抛物线p ：12 3)1(2-++-=k x k x y 和直线l :2k kx y +=：对下列命题判断真伪，并说明理由：无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点。 拓展：设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.
类型4：求二次函数解析式 例4：已知二次函数c ax ax y +-=22的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，AB=4,OA=OC ，求二次函数解析式。 类型5：有关公式的应用 已知抛物线 21(0,)y ax bx c a a c =++≠≠过点(1,0)A ，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限. (1) 使用a 、c 表示b ； (2) 判断点B 所在象限，并说明理由； (3) 若直线22y x m =+经过点B ，且与该抛物线交于另一点(,8)c C b a +， 求当1x ≥时1y 的取值范围.
《二次函数的图像和性质》教案
5、4二次函数的图像与性质(1) 教材分析: 本节内容就是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质,以及二次函数的有关概念的基础上进行的,它既就是前面所学知识的应用、拓展,又就是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华,还就是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用. 教学设计: 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤与方法,然后根据表中的各对对应值,在直角坐标系中描出相应的各点,用光滑的曲线连接,画出图象.通过画出图象,让学生分析、归纳二次函数的图象与性质、 教学目标: 知识与技能:1、掌握二次函数的图象的作法及其性质,会根据图象用数学语言表达图象的性质. 2、能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点. 过程与方法:通过对二次函数图象与性质的发现,提高分析、归纳等能力,体验数学中的数形结 合思想的应用、 情感态度与价值观:引导学生养成全面瞧问题,分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示与学 生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性. 教学重难点: 重点:能在直角坐标系中,正确画出二次函数的图象,并能说出二次函数的图象的性质、 难点:作二次函数图象时要选取适当的点,选取适当数目的点、 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排:4课时 教学过程: 知识回顾: 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数: (k ≠0)图象:双曲线 问:1.如何画出函数图象呢? 2.如何得到相应的性质呢? 【设计意图】: 通过对一次函数与反比例函数解析式、图象的回顾,一方面巩固学生的旧知,另一方面对本节课的学习起到类比作用、 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图: k y x
二次函数图像与字母系数的关系
一．选择题 1. 若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（） A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2 2. 设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．0 3. 设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（） A．6或﹣1B．﹣6或1C．6D．﹣1 4. 小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面六条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b=0；⑤4a+2b+c＞0；⑥一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实根．你认为其中正确信息的个数有（） 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣． 其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．①③D．②③ 8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（） A．0B．1C．2D．3 9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c， 则P的取值范围是（） A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3 10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a； 其中正确的结论是（） A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④ 二．填空题 11．（2016?南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 12．（2016?十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是13．（2016?东明县）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是．