高三数学公开课(不等式的性质)
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
高三数学不等式
∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.
x y 7.(2010· 山东)已知 x，y∈R ，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的 3 4 最大值为 . 3
＋
x y 解析 ∵x>0，y>0 且 1＝ ＋ ≥2 3 4 x y 仅当 ＝ 时取等号. 3 4
xy ，∴xy≤3.当且 12
0<x<1 x>1， 4 ③当 3x 或3x 即 0<x<1 或 x> 时， 3 0< <1 >1 ， 4 4 3x logx >0，即 f(x)>g(x). 4 4 综上所述，当 1<x< 时，f(x)<g(x)； 3 4 当 x＝ 时，f(x)＝g(x)； 3 4 当 0<x<1 或 x> 时，f(x)>g(x). 3
［1，＋∞)
.
(2)线性规划问题中的有关概念 ①满足关于 x， y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性 约束条件； ②关于变量 x，y 的解析式叫目标函数，关于变量 x，y 一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行 解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优 解；
答案 ①③⑤
9.设 f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中 x>0 且 x≠1， 试比较 f(x)与 g(x)的大小.
解
3x ∵f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx . 4
0<x<1 x>1， 4 ①当3x 或 3x 即 1<x< 时， 3 >1 0< <1 ， 4 4 3x logx <0，∴f(x)<g(x)； 4 3x 4 3x ②当 ＝1，即 x＝ 时，logx ＝0，即 f(x)＝g(x). 4 3 4
不等式的性质课件——2025届高三数学一轮复习
不等式的性质
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第3课时
不等式的性质
第3课时
不等式的性质
掌握等式性质.
会比较两个数的
大小.
考试
要求
理解不等式的性质，并能简单应用．
第3课时
第3课时不等式的性质
不等式的性质
链接教材
1．比较实数a，b大小的基本事实
>
− > 0 ⇔ __，
＝
作差法ቐ − ＝0 ⇔ __，
(a，b∈R)
<
− < 0 ⇔ __.
夯基固本
第3课时
不等式的性质
链接教材 夯基固本
2．不等式的性质
性质1
性质2
b<a
对称性：a>b⇔____；
a>c
传递性：a>b，b>c⇒____；
性质3
a＋c>b＋c
可加性：a>b⇔__________；
性质4
ac>bc
ac<bc
可乘性：a>b，c>0⇒______；a>b，c<0⇒______；
B．p≤q
C．p>q
D．p≥q
(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(
A．P>Q
B．P＝Q
C．P<Q
D．不能确定
)
)
2
(1)B (2)C [(1)p－q＝
＝
2 −2 −
＝
+
− 2 +
2
2 −2
－a－b＝
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，
1 1 x y 且a>b.x>y，所以a>b， a b 所以x<y. a b 故x＋1<y＋1， x＋a y＋b x y 即 x < y .所以 > . x＋a y＋b
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
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[例 1]
1 1 4 已知 x，y 均为正数，设 m＝ ＋ ，n＝ ，试比 x y x＋y
较 m 和 n 的大小．
[思路点拨]
变形 转化为因式 与0比较 两式作差 ――→ ―――→ 乘积形式
判断正负，得出大小
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[解]
x＋y 1 1 4 4 m－n＝ x ＋ y － ＝ xy － ＝ x＋y x＋y
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
高三数学下6.1不等式的性质2教案
课题：不等式的性质（2）教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a ＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：ab>ba⇔>-aba=b⇔-=aab<b⇔<-2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形． 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a c 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c证明：∵dc b a = ∴d d c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且d b ＞1 ∴db dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件． 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 2．已知R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 3．已知||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小．解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b1 4．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 七、板书设计（略）八、课后记：。
高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式
＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相 等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等 的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
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— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
— 2—
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基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
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— 8—
(新教材) 高三总复习•数学
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的 两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )
数学高考复习名师精品教案：第45课时：第六章 不等式-不等式的概念与性质
数学高考复习名师精品教案第45课时：第六章 不等式——不等式的概念与性质课题：不等式的概念与性质一．复习目标：1．掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．二．知识要点：1．不等式的性质：①对称性： ；②传递性： ． ③加法性质； ． ④乘法性质： ， ． ⑤乘方性质： ；开方性质 ．2．比较两数大小的一般方法是： ．三．课前预习：1．命题（1）,n n a b ac bc n N *>⇒>∈，（2）22a b a b c c >⇒>，（3）11a b a b>⇒<， （4）0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，（5()a b n N *⇒>∈（6）a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，（7）220a b a ab b <<⇒>> 其中真命题的是 ．2．已知01x y a <<<<，则 （ ）()A log ()0a xy <()B 0log ()1a xy <<()C 1log ()2a xy <<()D log ()2a xy >．3．如果0m b a <<<，则 （ ）()A coscos cos b m b b m a m a a m +-<<+- ()B cos cos cos b b m b m a a m a m-+<<-+ ()C cos cos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ ()D cos cos cos b m b m b a m a m a +-<<+-． 四．例题分析：例1．比较11n n x y +++和*(,,)n n x y xy n N x y R ++∈∈的大小．例2．设0,1a a >≠，0t >，比较1log 2a t 和 1log 2at +的大小，并证明你的结论．例3．在等比数列{}n a 与等差数列{}n b 中，11330,0a b a b =>=>，且31a a ≠，比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小．例4．设数列{}n a 的通项公式是21000n n n a =， （1）讨论数列{}n a 的单调性；（2）求数列中的最大项．五．课后作业：1．设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的 （ ）()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件 2．下列不等式：（1）232()x x x R +≥∈，（2）553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，（3）222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 33．给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出 11log log log b a a b b b<<成立的条件的序号是 （填所有可能的条件的序号）．4．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数， 则15((),(3)22f f f 的大小关系是 ．5．已知,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中,0,0x y x y ≠>>， 比较a b +与c d +的大小．6．某人乘坐出租车从A 地到B 地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每Km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每Km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适合？7．设()f x =，比较 11|()()|f x f x -与1212||()x x x x -≠的大小．8．设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小．9．设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小。
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[高三数学复习专题课]不等式的性质中的几类常见问题【内容分析】在高三第一轮复习的体系中，不等式的性质作为解不等式、证明不等式的基础和依据，起着至关重要的作用，由这些基本性质可以继续推导出其它不等式有关性质。
在高中课本教材中所列举的性质是最基本、最重要的，因此，不仅要掌握性质的内容，会比较大小，更要理解性质成立的条件，把握性质的“可逆性”（充分必要性）。
只有理解好，才能牢固记忆及正确运用，否则就会产生几类常见的问题，这就是本节课所要探讨的。
【考纲分析】【复习目标】知识目标：不等式的基本性质能力目标：解决几类常见的问题：（1）利用不等式的性质和比差法判断不等关系（2）关注不等式的性质成立的条件；（3）利用不等式性质，反过来探求不等式成立的条件；（4）利用不等式的性质求范围【复习重点难点】重点：比差法判断不等关系中的因式分解和配方思想以及不等式的基本性质成立的条件难点：利用不等式性质求范围以及探求不等式成立的条件【知识梳理】1、比较大小的基本方法：比差法两个实数的大小比较：a b a ba b a ba b a b>⇔->⎧⎪=⇔-=⎨⎪<⇔-<⎩这也是将不等式问题——比较两个实数a和b的大小，转化为恒等变形问题的依据比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值) 2、不等式的基本性质：【复习过程】一、利用不等式的性质和比差法判断不等关系 例1、（1）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d<-- 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。
注意性质的使用条件。
证明：∵0<<d c ，0>->-d c ，又0>>b a ∴0>->-d b c a ，故db c a -<-11。
而0a b >>，∴b aa cb d<--（同向可乘性）例2、设R y ,x ∈，比较1x 2y xy 2x 222-+-与的大小 分析：本题考查学生用作差法来判断大小关系解：（1）()()()01x y x 1x 2y xy 2x 22222≥-+-=--+-时等号成立当且仅当1y x ,1x 2y xy 2x 222==-≥+-∴练习1：设R y ,x ∈，比较()()2222y x xy yx --与的大小解：()()()0432 (22)22222≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==---y y x y x y x xy yx()()时等号成立当且仅当y x y x xy y x 2222=+≥+∴小结：作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方二、不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，如果忽略了某些条件，则会出现一些错误。
例3、（1）判断下列命题的真假：①2x x >，则1x >，②,a b c d >>，则lg()lg()a d b c ->-，③a b >>（2）判断下列命题的真假：①a b >，则22ac bc >，②a b >，则11a b< 解：（1）分析：①不等式中有这样的性质：⑴,0a b c >>，则ac bc >，不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，⑵,0a b c ><，则ac bc <，不等式两边乘上一个负数，改变不等号的方向。
在不等式变形过程中，乘除都要注意乘除这个数的正负，它直接影响到不等号的方向。
因为不知道x 的正负，所以不能直接除。
第①题，错误。
②关于对数的不等式，在对数中，要求真数大于0，所以要求,a d b c --大于0,但条件中，没有明确a 与d 和b 与c 的大小，所以不能确定a d -，b c -是否一定大于0，第②题，错误。
③好像是正确的，因为不等式中好像有这样的公式，但原公式是0a b >>，则>0a b >>，则n n a b >，如果,a b 小于0,则这两个公式不成立，题目中的,a b 并没有确定是否大于0,所以③是错误的。
（2）分析：①一看到这个题，很多学生肯定认为是：不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，所以是正确的。
但20c ≥，如果0c =，则0乘以任何数都是等于0的，则22ac bc =，所以①错误。
②这个倒数法则，用特殊法来验证，两个都是正数是正确的，两个都是负数也是正确的，但忽略了0，0不能做分母的，如果a 或b ，其中一个为0,则这个命题不成立。
这里,a b 没有确定和0的大小比较，用特殊法来验证，取一正数一负数，也可以说明这个命题错误。
小结：“正负，小心应付” “ 0，特殊对待”（1）因为我们对正数很熟悉，所以在不等式中，常常把不定量默认为正数，而忽略了负数，以后我们看到不定量，一定要想到它会不会是负数或0。
（2）由于0的特殊性，0乘以任何数都等于0，0不能做分母，就要求我们在乘除不定量时，要特别注意不定量是否等于0。
还有，在作商法比较大小时，也要注意分母不能为0。
练习2：对于实数c b a 、、，判断下列命题的真假（1）若22bc ac b a >>，则 （2）1>>bab a ，则（3）若220b ab a b a >><<，则 （4）若ba b a 11,0<<<则 （5）若ba ab b a ><<则,0 （5）如果⎩⎨⎧<<<<00d c b a ，那么bd ac <（1）（2）（4）（5）（6）假命题；（3）真命题。
练习3：若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b－d ；(4)a·(d－c)＞b(d －c)中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析： 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解： ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ， ∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)， a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a(d －c)＞b(d －c)，∴(4)正确，故选C. 答案 C三、利用不等式性质，探求不等式成立的条件不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。
例4、已知三个不等式：①0>ab ②bda c >③ad bc >,以其中两个作为条件，则可以组成 个正确的命题 解：对命题②作等价变形：0>-⇔>abad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③⇒②； 若0>ab ，0>-ab adbc ，则ad bc >，故①②⇒③； 若ad bc >，0>-abadbc ，则0>ab ，故②③⇒①。
∴可组成3个正确命题。
小结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假。
练习4：已知b a >，bb a a 11->-同时成立，则ab 应满足的条件是__________。
解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知0)1(>+abab ，从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1-<ab 。
四、利用不等式性质求范围不等式性质成立是否具有“可逆性”（充要条件）。
对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。
哪些性质是可逆的？例5、如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是________；2x y -的取值范围是________ “同向，注意运算”利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。
例6、若角,αβ满足：22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是_______；βα-2的取值范围是______ 0παβ-<-< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23ππ例7、已知函数c ax x f -=2)(满足5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ，求f(3)的取值范围20)3(120)2(38)1(351340)2(3838320)1(3535)2(38)1(35)3(3835149)()4()4()(9)2()1()3(9)3(,4)2(,)1(21212121212121≤≤-∴≤+-≤-≤≤-≤-≤∴+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--=-+=+-+=-+-=-+=-=-=-=f f f f f f f f t t t t t t c t t a t t c a t c a t c a f t f t f c a f c a f c a f 两式相加可得：，由已知可得：可得则设解由题可得：分析：此题利用不等式性质，看似合乎情理，但实际上是错误的。
由,a b 是互相制约的，a ，b 是不可能同时取到最大值的，所以多次运用同向不等式相加，导致取值范围的扩大。
这种解法，在整体上保持了,a b 的相互制约的关系，从而得到准确的范围。
练习5：已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，求32a b -的取值范围。
错解：因为15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，把这两式相加减，可以得到04,13a b ≤≤-≤≤，所以0312,622a b ≤≤-≤-≤，从而63214a b -≤-≤。
分析：此题利用不等式性质，看似合乎情理，但实际上是错误的。