同济高数上册公式大全
第一章 函数与极限
一. 函数的概念
1.两个无穷小的比较
设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)
()
(lim
（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)
2.常见的等价无穷小 当x →0时
sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，
1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α
二．求极限的方法
1．两个准则
准则 1. 单调有界数列极限一定存在
准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )
若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim
2．两个重要公式 公式11sin lim
0=→x
x
x
公式2e x x x =+→/10
)1(lim
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式
当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
)
()!
12()1(...!5!3sin )
(!
...!3!211
2125332++++-+++-=++++++=n n n n n
x
x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n
n x o n
x x x x x +-++-=++ )(!
))
1()...(1(...!
2)
1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+
+-+
+=+ααααααα
)(1
2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：
（1）0)(lim 0
=→x f x x ，0)(lim 0
=→x F x x ；
（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)
()(lim
x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)
()(lim
x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()
(lim 0x F x f x x ''→；当
)
()(lim
x F x f x x ''→为无穷大时，)()
(lim 0x F x f x x →也是无穷大．
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.
∞
∞
型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：
（1）∞=→)(lim 0
x f x x ，∞=→)(lim 0
x F x x ；
（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
)()
(lim
)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)
()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
（3）)
()
(lim
x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞
型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞
∞
型
同样适用．
使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00
”和“∞
∞
”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00
”或“
∞
∞
”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．
6．利用导数定义求极限
基本公式)()
()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在）
7.利用定积分定义求极限
基本格式?∑==∞→1
1)()(1lim dx x f n k
f n n k n （如果存在）
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点
设0x 是函数y = f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3．（介值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f (ξ ) = c
推论：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分
一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。二．求导公式
三．常见求导
1.复合函数运算法则
2.由参数方程确定函数的运算法则
设x =φ
(t )，y =)(t ?确定函数y = y (x )，其中)('),('t t ?φ存在，且)('t φ≠ 0，则
)
(')('t t dx dy φ?= 3.反函数求导法则
设y = f (x )的反函数x = g (y )，两者皆可导，且f ′(x ) ≠ 0 则)0)('())
(('1
)('1)('≠==
x f y g f x f y g 4.隐函数运算法则
设y = y (x )是由方程F (x , y ) = 0所确定，求y ′的方法如下：
把F (x , y ) = 0两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y ′ 的表达式（允许出现y 变量） 5.对数求导法则 （指数类型 如x x y sin =）
先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y ′。
对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。 关于幂指函数y = [f (x )]g (x ) 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 6. 求n 阶导数（n ≥ 2，正整数）
先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性，然后写出y (n )，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(π
n x y n += （4） x y cos =,)2
cos()
(π
n x y n +=
(5)x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(
第三章 微分中值定理与导数应用
一 .罗尔定理
设函数 f (x )满足
（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导；（3） f (a ) = f (b ) 则存在ξ ∈(a ,b )，使得f ′(ξ ) = 0
二． 拉格朗日中值定理
设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导； 则存在ξ ∈(a ,b )，使得
)(')
()(ξf a
b a f b f =--
推论1．若f (x )在(a ,b )内可导，且f ′(x ) ≡ 0，则f (x )在(a ,b )内为常数。 推论2．若f (x ) ,g (x ) 在(a ,b ) 内皆可导，且f ′(x ) ≡ g ′(x )，则在(a ,b )内f (x ) = g (x )+ c ，其中c 为一个常数。
三 .柯西中值定理
设函数f (x )和g (x )满足：（1）在闭区间[a ,b ]上皆连续；（2）在开区间(a ,b )内皆可导；且g ′(x ) ≠ 0则存在ξ ∈(a ,b )使得
)
(')
(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g (x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
四.泰勒公式（①估值②求极限（麦克劳林））
定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）
设f (x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式
，称为皮亚诺余项
定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）
设f (x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n +1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式，
,称为拉格朗日余项
x=0 时，也称为n阶麦克劳上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当
林公式。
常用公式(前8个)
五．导数的应用一．基本知识
设函数f (x )在0x 处可导，且0x 为f (x )的一个极值点，则0)('0=x f 。
我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法 1. 第一充分条件 )
(x f 在
x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当
x x <时,
0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的
两侧
)(x f '不变号，则0x 不是极值点.
2.第二充分条件
)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，
则0x 为极大值点；②若
0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.
3.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）
二.凹凸性与拐点 1．凹凸的定义
设f (x )在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x , x ，恒有
则称f (x)在I 上是凸（凹）的。
在几何上，曲线y = f (x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y = f (x)是凸（凹）的。如果曲线y = f (x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y = f (x)是凸（凹）的。 2．拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法
设函数f (x )在(a ,b )内具有二阶导数)(''x f ，
如果在(a ,b )内的每一点x ，恒有)(''x f > 0，则曲线y = f (x )在(a ,b )内是凹的； 如果在(a ,b )内的每一点x ，恒有)(''x f < 0，则曲线y = f (x )在(a ,b )内是凸的。 求曲线y = f (x )的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数)(''x f ；
第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。
三．渐近线的求法
四．曲率
第四章 不定积分
一．基本积分表：
二．换元积分法和分部积分法
?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
换元积分法
（1）第一类换元法（凑微分）：
[])()(d )()]([x u du u f x x x f ???=??='
（2）第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=?????
分部积分法
??-=vdu uv udv
使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律。
记住口诀，反对幂指三为)(x u ，靠前就为)(x u ，例如xdx e x arcsin ?，应该是
x arcsin 为)(x u ，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。
三．有理函数积分
有理函数：
)()
()(x Q x P x f =
，其中)()(x Q x P 和是多项式。
简单有理函数：
⑴
2
1)
()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=
⑵)
)(()
()(b x a x x P x f ++=
⑶b
a x x P x f ++=2)()
()(
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.
第五章定积分一．概念与性质
1、定义：
∑
?
=
→
?
=
n
i
i
i
b
a
x
f
dx
x
f
1
)
(
lim
)
(ξ
λ
2、性质：（10条）
( 3 )
3.基本定理 变上限积分：设
?=Φx
a
dt
t f x )()(，则
)
()(x f x =Φ'推广：
)()]([)()]([)()
()
(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=? N —L 公式：若)(x F 为
)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f b
a -=?
4.定积分的换元积分法和分部积分法
二．定积分的特殊性质
第六章定积分的应用
一．平面图形的面积
1.直角坐标：?-
=b
a
dx
x
f
x
f
A)]
(
)
(
[
1
2
2.极坐标：?-
=β
α
θ
θ
?
θ
?d
A)]
(
)
(
[
2
12
1
2
2
二．体积
1.旋转体体积：
a)曲边梯形x
b
x
a
x
x
f
y,
,
),
(=
=
=轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：?=
b
a
x
dx
x
f
V)
(2
π
b)曲边梯形x
b
x
a
x
x
f
y,
,
),
(=
=
=轴，绕y轴旋转而成的旋转
体的体积：?=b a
y
dx
x
xf
V)
(
2π（柱壳法）三.弧长
1.直角坐标：
[]
?'
+
=b
a
dx
x
f
s2
)
(
1
2.参数方程：
[][]
?'
+
'
=β
α
φ
?dt
t
t
s2
2)
(
)
(
极坐标：
[][]
?'
+
=β
α
θ
θ
ρ
θ
ρd s2
2)
(
)
(
第七章 微分方程
一． 概念
1.微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2.解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.
(1).变量可分离的方程
dx x f dy y g )()(=，两边积分??=dx x f dy y g )()(
(2).齐次型方程
)(x y dx dy ?=，设x y u =，则dx
du
x u dx dy +=；
或
)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx +=
(3).一阶线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 用常数变易法或用公式：
???
???+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(
(4).可降阶的高阶微分方程
1、
)()
(x f y n =，两边积分n 次； 2、
),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；
3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp
p
y =''
（一） 线性微分方程解的结构
1、
21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；
2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的
通解；
3、
*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐
次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.
（二） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
0=+'+''qy y p y
特征方程：
02
=++q pr r ，特征根： 21,r r
（三） 常系数非齐次线性微分方程
)(x f qy y p y =+'+''
1、
)()(x P e x f m x λ=
设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中
???????=是重根
是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、
()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=
设特解
[]x
x R x x R
e
x y m
m
x
k ωωλsin )(cos )()2()
1(*+=，
其中 } ,max{n l m =，?????++=是特征根
不是特征根
i i k ωλωλ ,1 ,0
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第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
同济大学高等数学教学大纲
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
同济大学___高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
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同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
高数上册公式大全(同济六版)
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
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第一章函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x) (1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x - 0时 a 1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ， x 1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x 求极限的方法 1 ?两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0 x 公式 2lim (1 x)1/x e x 0 3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式 当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 sin x cosx 2 x 3 x 2! 3! 3 5 x x 3! 5! 2 4 x x 2! 4! n! OX 〉 2n 1 1)n A / 2n 1 、 o(x ) 2n n x 2n x x
同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“一”型的未定式，其它的未定式须 先化简变形成“ ”或“一”型才能运用该法则； (2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不 能断 In(1 x) 3 f... ( 1) n n 1 x / n o(x ) n (1 x) (1) 2! x 2 (1)-( (n 1))x n n! o(x n ) arcta n x 2n 1 n 1 X 2n 1 1) o(x ) 2n 1 5 ?洛必达法 则 定理1 (1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ; x x o (2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 上存在(或为无穷大)，则im 丄? -■ ■ x x 0 F(x) 3存在时，佃出 x x 0 F(x) lim x x o F (x) F (x) 0 ; ..f (x) lim x x 0 F (x) 这个定理说明：当 匕为无穷大时, lim x 冷 F (x) lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x) 也存在且等于lim x x 0 F (x) f (x).当 lim x x o F (x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 X o 定理2设函数f(x)、 lim f(x) x X 0 f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ; ..f (x) lim x x F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; x x o 存在(或为无穷大)，则叫鵲 注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x (3) ..f (x) lim x x o F (x) 时未定式一型
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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则；) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
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高等数学上册复习要点 」、函数与极限 (一)函数 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数f(x)在X o连续> lim f(x)二f(x°) X T X o ‘第一类：左右极限均存在? 间断点可去间断点、跳跃间断点 .第二类：左右极限、至少有一个不存在? 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其 推论. (二)极限 1、定义 1)数列极限 limX n=a= PEA。，m N EN,x/n>N, x^ a < s n T°o 2)函数极限 lim f (x) = A= * > 0,我> 0, %,当0^|x-x°|"时，f(x)-A —X r X o
左极限：f(X0) = lim f (X) 右极限：f(X。)= lim f (x) X T X o I X o
lim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x 0 ) X _；Xo 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1) y^ X^ Z n ( n - n °) 2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义：若lim 〉二0则称为无穷小量；若lim 〉八：则称为无穷大量 2) 无穷小的阶：高阶无 穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 2 ) lim y n = lim z n = a 丿 n ^^ n -^c lim x n 二 a n 》：： Th1 ：~ ：二： o(： ) ? Th2 -?：，? ,lim 一存在， a r lim —= a lim —(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则； 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限： 「 sin x 彳 a) li 叫 1 b) X r ° x 1 lim (1 x)x X r 0 lim (V -)^ e x 』： x a) x ~ si n x ?tan x ?arcs in x ?arcta nx
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高等数学公式 (tanx) sec2 x 2 (arcsin x) 1 1 x2 (cot x) csc (secx) secx x tanx (arccos x) 1 1 x2 (cscx) cscx cot x 1 (a x) a x ln a (arctan x) 2 1 x (log a x) 1 x ln a (arccot x) 1 1 x2 导数公式：基本积分表： kdx kx C （k 为常数）x u dx x u 1 C u 1 1 dx x ln x C 1 1 x2 dx arctan x C 1 dx 1 x2 arcsin x C cosxdx sin x C sin xdx cosx C 1 cos2 x dx sec2 xdx tan x C 1 2 dx sin x 2 csc xdx cot x C secx tan xdx secx C cscxcot xdx cscx C e x dx e x C a x a x dx C ln a 两个重要极限： lim sin x 1 x 0 x lim(1 1 x e x x )
三角函数公式： sin 2 2sin cos cos 2 2cos 2 1 1 2sin 2cos2sin2 2 2 sin cos 1 2 2 sec 1 tan 零点定理：设函数 f x 在闭区间a, b 上连续，且 f a f b 0 ，那么在开区间a, b 上至少一点，使f 0 。（考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调 性） 罗尔定理：如果函数 f x 满足三个条件： （1 ）在闭区间a, b 上连续； （2 ）在开区间a, b 内可导； （3 ）在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ， 那么在a, b 内至少有一点 a b ，使得f0 。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证 明题） 拉格朗日中值定理：如果函数 f x 满足 （1 ）在闭区间a,b 上连续； （2 ）在开区间a,b 内可导， 那么在a, b 内至少有一点 a b ，使等式 f b f a f b a 成立。（证明题） 定积分应用相关公式 1 b 函数的平均值y f x dx b a a 空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离 d M 1 M 2 2 x2 x1 2 y1 y2 2 z1z2 '
同济高等数学公式大全
同济高等数学公式大全 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
同济大学---高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、函数与极限 （一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数在连续 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限 左极限：右极限：
2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)
c)（） d)（） e) 二、导数与微分 （一）导数 1、定义： 左导数： 右导数： 函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数
1）定义： 2）公式： （二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且 三、微分中值定理与导数的应用 （一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）； 则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）； 则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3） 则 （二）洛必达法则
同济高等数学1归纳
高等数学归纳(第一章~第三章) 2010126137 彭伟奕 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 、 集合 ●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。 ●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。 (a 属于A,记作a ∈A ； a 不属于A ，记作a ?A 。) ●表示集合的方法： （1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A={}123n a a a a ，， （2） 描述法：集合M={} x x ︱具有性质P ，例：M={} 210x -=︱x ●集合间关系：A 包含于B （A ?B ），A 不包含于B （A ?B ） A 是B 的真子集（ A B ?） ，A 等于B （A=B ）,空集?是任何非空集合的真子集。 ●集合的运算：并，交，差 {}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =?∈且 A\B={}|x x A x B ∈?且 I\A 为A 的余集或补集，亦记c A ●集合运算法则： 交换律：A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律：（A ∪B ）∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律：（A ∪B ）∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律：c c (A B)A B c = ｃｃｃ （ＡＢ）＝ＡＢ 直积（笛卡尔乘积）：A ?B={（x,y ）|x ∈A 且x ∈B}，例：R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合，R ×R 记作２ Ｒ。 ● 区间与邻域： （1）区间 开区间：（a,b ）,a,b 为开区间（a,b ）的端点。 闭区间：[a,b] 半开区间：[a,b ﹚, ﹙a,b] （2）邻域：以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域，记作U （a ） 点a 的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x ＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a 为邻域的中心，δ为邻域半径。
同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)
同济六版上册高数 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数上册归纳公式篇完整
高数上册归纳公式篇完整 The pony was revised in January 2021
公式篇 目录 一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开
4.曲率 四、定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、不定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、微分方程
1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限 1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x)) 2.常用等价无穷小(x→0时) 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n阶导数公式 λ 特别地,若n = 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身
4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x ?很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导) 罗尔定理(端点值相等)()(b f a f =) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理(0)('≠x g ≠0) 2.高阶中值定理()(x f 在),(b a 上有直到)1(+n 阶导数) 泰勒中值定理 n R 为余项