第七章 微分方程经典例题

第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为

,262.0ghSdtdVQ＝

流量系数 孔口截面面积 重力加速度 ,12cmS .262.0dtghdV ①

设在微小的时间间隔],,[ttt水面的高度由h降至,hh则,2dhrdV ,200)100(100222hhhr .)200(2dhhhdV



②

比较①和②得: ,262.0)200(2dtghdhhh 即为未知函数得微分方程.

,)200(262.03dhhhgdt

,1000th ,101514262.05gC



所求规律为 ).310107(265.45335hhgt 例10 求解微分方程.2222xyydyyxyxdx

解 原方程变形为2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy 令,xyu则,dxduxudxdy方程化为,1222uuuudxduxu 分离变量得112212121uuuu,xdxdu 两边积分得 ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu 整理得 .)2(12/3Cxuuu 所求微分方程的解为 .)2()(32xyCyxy 例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面.

解 设旋转轴Ox轴，光源在),0,0( ),(:xyyL

设),(yxM为L上任一点，MT为切线，斜率为,yMN为法线，斜率为,1y ,NMROMN ,tantanNMROMN 由夹角正切公式得

,11tanyxyxyyOMN ,1tanyNMR

得微分方程 ,02yyxyy ,12yxyxy 令 ,xyu方程化为 ,112uudxduxu 分离变量得 ,1)1(22xdxuuudu

令 ,122tu得 ,)1(xdxtttdt

积分得 ,ln|1|lnxCt 即.112xCu 平方化简得 ,2222xCxCu

代回,xyu得 .222CxCy 所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 .2222CxCzy 例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽hOA, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为)(abb, 且鸭子游动方向始终

朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程. 解 设水流速度为),|(|aaa鸭子游速为),|(|bbb则鸭子实际运动速度为.bav

取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点),,(yxP则鸭子运动速度},,{},{ttyxyxvvv

故有.yxttvvyxdydx现在),0,(aa而,pobeb其中POe为与PO同方向的单位向量. 由},,{yxPO故,},{22yxyxePO 于是},,{22yxyxbb

bav

.,2222yxbyyxbxa

由此得微分方程 ,22yxbyyxavvdydxyx

即 ,12yxyxbadydx 初始条件为.0|hyx令,uyx则,yux,udyduydydx代入上面的方程,得 ,12ubadyduy

分离变量得 ,12dybyaudu 积分得),ln(lnCybaarshu即baCyshu/)ln(],)()[(21//babaCyCy 故].)()[(21])()[(2/1/1//babababaCyCyCCyCyyx 将初始条件代入上式得,/1hC故所求迹线方程为

2hx,/1/1



baba

hyhy

.0yh 一、一阶线性微分方程 形如

)()(xQyxPdxdy (3.1)

的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数. 当,0)(xQ方程(3.1)成为

0)(yxPdx

dy (3.2)

这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解

.)(dxxPCey (3.3)

其中C为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将

通解中的常数C变易为待定函数)(xu，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(dxxPexuy 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()( (3.5)

二、伯努利方程：形如 nyxQyxPdxdy)()(

(3.7)

的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且1,0n. 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny，得

),()(1xQyxPdxdyynn 或 ),()()(1111xQyxPynnn 于是，令nyz1，就得到关于变量z的一阶线性方程 )()1()()1(xQnzxPndxdz.

利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解

.)1)(()()1()()1(1CdxenxQeydxxPndxxPnn

例5（E03）求方程0)12(23dyxydxy的通解. 解 当将y看作x的函数时，方程变为 2321xyydxdy

这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，方程改写为 1223xydydxy 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为 0223xydydxy

分离变量，并积分得,2ydyxdx即211yCx 其中1C为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2yyux代入原方程,得

yyu1)( 积分得 Cyyu||ln)( 故原方程的通解为)||(ln12Cyyx，其中C为任意常数. 例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？

解 令y是在时刻t罐中的添加剂的总量. 易知100)0(y. 在时刻t罐中的溶液的总量

tttV5800045408000

因此，添加剂流出的速率为 ttyttytVty58000454558000溶液流出的速率

添加剂流入的速率80402，得到微分方程 tydtdy580004580 即 805800045ytdt

dy

于是，所求通解为 9

580004558000451600101600080tCtCdteeydttdtt

由100)0(y确定C，得 016000010160009C，8160010C， 故初值问题的解是 9

816001600101016000tty，

所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是 58.1512160020160010201016000)20(98yg.

注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示： 容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.

例10（E06） 求方程1)()(23xyxxyxdxdy的通解.

解 令,uxy则,1dxdudxdy于是得到伯努利方程.23uxxudxdu 令,121uuz上式即变为一阶线性方程.3xxzdxdz

其通解为 22xezCdxexx232.2222xCex 回代原变量，即得到题设方程的通解 .211222xCexzxyx

例11（E07）求解微分方程 .)(sin12xyxyxdxdy 解 令,xyz则,dxdyxydxdz xydxdz







x

yxyx)(sin1

2,sin12z

利用分离变量法解得 ,42sin2Cxzz 将xyz代回，得所求通解为 .4)(2sin2Cxxyxy

二、),(yxfy型 这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是： 令),(xpy 则)(xpy，原方程化为以)(xp为未知函数的一阶微分方程，

).,(pxfp

设其通解为 ),,(1Cxp