特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式

一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.

（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).

（2）此处如果用特征根法：

特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）

注意：若用特征根法，λ的系数要是-1

例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则

λ=1/（1-2）= -1那么

A（n+1）+1=2（An+1）

二：再来个有点意思的,三项之间的关系：

A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数

（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],

则m+k=p, mk=q

（2）此处如果用特征根法：

特征方程是y×y=py+q（※）

注意：

①m n为（※）两根。

②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，

③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，

特征方程为：y×y= - 5y+6

那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)

A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)

所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)

A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)

you see 消元消去A（n+1），就是An勒

例三：

【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2

C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：

A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零

此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路

（1）此处似乎只能用特征根法：

特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)

①特征方程有两个不等的实根，设为α，β，

则{（An-α）/（An-β）}为等比数列

注意：α，β可以互换位置

②特征方程有一个实根，α

则{1/（An-α）}伟等差数列

③特征方程没有实数根，

则{An}为循环数列，

每年总要有几个题要来个A2007，A2008，A2009，A20xx

例四：这个例题的数字给的十分有意思——伟强

A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）

特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2

则{（An+√2）/（An－√2）}为等比数列

（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）

＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2] ＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]

＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）

＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]