傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。

首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里

叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？

这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。

那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。

函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。

第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭

因子，后者求的是级数，包含所有系数和正交函数，其值还是等于原函数。

我们还是回到复指数傅里叶变换，其意义是将一个任意函数表示成一系列系数和正交函数相乘的累加，这也是一种变换，奇特的是，我们可以说这没有变换域！时域的可以说还是在时域的，尽管自变量中有w。然而我们也可以说这变换了域，因为自变量现在可以看成是w，而时间t，只不过是一个系数因子。那么，我么知道exp(jwt)表示的是一个圆周，w取一系列值（与原函数周期相关），而如果此圆周的半径再作一些变化的话，我们将得到一个圆面。根据上面正交函数的理解，这些函数都正交。可以很明显看出，所有函数图像都是在一个圆面上，也就是说，我们要将一个任意函数（当然是周期的）投影到一个圆面上！！！这太神奇了！怎么投影呢？？？怎么会投影到一个圆面上呢，投影了之后结果会等价么？？？

回答是肯定的。就是投影到一个圆面上，并且，完全等价！可以这样理解，我们有一个和原函数的x轴垂直的圆面，在这个圆面上有很多种角频率（w表示）、很多种半径的点在作圆周运动，每一个角频率对应2pi*kf0，也就是那么多个函数，构成一个完备的正交函数集，这些函数的自变量是t，在圆周上，随着时间的变化，点才会转动，当对应一个w，经过时间t，相位即是2pi*kf0t，如果这个点和原函数在t时刻的函数点（在函数图象上）重合，那么我们把原函数在t时刻的值投影到这个圆周上，规则是，函数值绝对值就是模，其幅角等于2pi*kf0t，也就是说，实轴和虚轴的值也可以确定了。

若没有重合，则略过，即此时t对应函数值不是这个频率的。而前面的那个模呢，正是时刻t的函数值对这个角频率圆周函数的一点贡献，将所有的t都贡献给这个频率的圆周，那么得出的就是这个角频率的圆周函数对应的系数，也就是权重，也就是半径！这就是一次投影！其他的所有投影都是这样来的！第二个问题，圆满解决！

实际上，为便于理解，或者说得形象一点、简单一点，复指数傅里叶级数是这样一种投影，首先，构造一个以x轴为轴线，以原函数长度为最大周期的一个“圆筒”（不知道半径），其次，逐个频率投影，投影方式是每个频率在螺旋前进中每个位置拟合（实际上点要重合）原函数并且以原函数值绝对值为模（如果重合。没重合的则略过），最后在整个区间累加，累加相当于又径向压缩这个圆筒成为一个圆周，这个圆周是以这个频率为角速度，以这个累加值为半径旋转出来的！这个圆周呢，在我们的直角坐标系中可以表示为二维图像，因为它只有两个参数，半径和角速度。而通常我们是以角速度（角频率）作横轴，以半径作纵轴。很多的角频率对应其各自的半径，画在一幅图中，于是就得到所谓的傅里叶变换图，即是频谱图！

问题应该圆满解决，over。

附：关于螺旋运动，我们学正弦曲线时可想到，实际上可看作垂直于x轴的圆面上的匀速圆周运动再在x轴方向移动，也即螺旋前进。余弦同。