高考圆锥曲线典型例题(必考)
椭 圆
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45
3
和 25
3
，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2
10＝1或3x 210＋y 2
5
＝1.
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2
6
＝1.
题型二 椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2
1
F PF S ＝12mn sin 60°＝3
3
b 2，
【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2
，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】
已知P 是椭圆x 225＋y 2
9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2
＋y 2
＝1
4
和圆
(x －4)2＋y 2＝1
4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值
为9.
题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的
左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1)
22.(2)为x 218＋y 2
9＝1.
【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，
F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1|
|PF 2|＝e ，则e
的值是( )
【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题
【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：22
22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12
，
其左焦点到点P (2，1)的距离为
10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，
且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
.
【变式训练4】【2012高考广东理20】
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e=3，且
椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
练习
1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，
线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =( )
A. 2
B. 2
C.3
D. 3 选A
.2（2009浙江文）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B
在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A ．3
2
B ．22
C ．13
D ．12 【答
案】D
3.（2009江西卷理）过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆
于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为
A ．22
B ．3
3
C ．12
D ．13 【答案】B
4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为
直线32
a
x =
上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
()
A 12 ()
B 23 ()
C 34 ()
D 4
5
【答案】C
5【2012高考四川理15】椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于
点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。【答案】3
6【2012高考江西理13】椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、
右焦点分别是F 1，F 2。若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】
5
5
【例4】【解析】(Ⅰ)：
22
+143
x y =． (Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12
x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其
中y 0＝12
x 0．
∴22
022
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??=
=-?=-?=-?-+?=??．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣
3
2
x m +(m ≠0)，入椭圆：
22
22+143333032
x y x mx m y x m ?=???
-+-=?
?+??＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->
m
m ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB |
＝
A B x x -|
∵点P (2，1)到直线l
的距离表示为：d =
=
．
∴S ?ABP ＝12d |AB |＝1
2
|m ＋
，当|m ＋2|
m ＝﹣3 或m ＝
0(舍去)时，(S ?ABP )max ＝12
．
此时直线l 的方程y ＝﹣312
2
x +．
【变式训练4】【解析】（1）
设c =
由222
3
c e c a a ==
=，所以222213
b a
c a =-=
设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22
221x y a b
+=，所以
2
2
2
222(1)3y x a a y b
=-=-
||PQ === 当1b ≥时，当1y =-时，||PQ
有最大值3=
，可得a =
1,b c == 当1b <
时，3PQ <=< 不合题意
故椭圆C 的方程为：2
213
x y +=
（2）AOB ?中，1OA OB ==，11sin 22
AOB S OA OB AOB ?=???∠≤ 当且仅当90AOB ?∠=时，AOB S ?有最大值12
，
90AOB ?∠=时，点O 到直线AB 的距离为2d =
2222
22222d m n m n =
?=?+=+ 又22223
133,2
2
m n m n +=?==，此时点62(,)22M ±
±。
双曲线
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心E 的轨迹方程.【解析】x 22－y 2
14
＝1(x ≥2).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P 为双曲线x 29－y 2
16＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2
＋y 2＝4和
(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )
【解析】选D. 题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点
Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使PQ AP ?＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解
析】(1，6
2
).
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点
为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
－e 2＞1 －e 2＜1
－k 2＞1 －k 2＜1【解析】，故选C. 题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】(2010广东)已知双曲线x 2
2
－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点
P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值.
【解析】(1)轨迹E 的方程为x 2
2＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.(2)符合条件的h
的值为3或 2.
【变式训练3】双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心
率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2等于( )
＋2 2 ＋2 2 －2 2 －2 2 【解析】故选D 总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a ，b ，c 的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线；当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线；当
||PF 1|－|PF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，P 无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y ＝±b
a x ，可将双曲
线方程设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待
定系数法. 练习
1、【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲
线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）22
1205
x y +=
【答案】D
2．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 A ．(－153，15
3
)
B ．(0，15
3
)
C ．(－
153，0) D ．(－153
，－1) 3.【2012高考湖北理
14】如图，双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b
-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴
两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切
点分别为,,,A B C D . 则
（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面
积2S 的比值12
S S = .【答案】;2
15+=
e 25
221+=S S
【例3】由题意知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1
x 1－2(x －2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2
x 1，y ＝
2y 1
x 1
，即x 1＝2x ，y 1＝2y
x
，③则x ≠0，|x |＜ 2.
而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 21
2
－y 21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 2
2
＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.
方法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点，①×②得y 2
＝－y 2
1x 21－2
(x 2－2).③
又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 212－y 21＝1，即y 2
1＝x 21
2
－1.
代入③式整理得x 2
2
＋y 2＝1.
因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合.故点
A 1和A 2均不在轨迹E 上.过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2
＝0.
解方程组?????=-=-+12
,
0222
2
y x y x 得x ＝2，y ＝0.所以直线l 与双曲线只有唯一交点
A 2.
故轨迹E 不过点(0,1).同理轨迹E 也不过点(0，－1).
综上分析，轨迹E 的方程为x 2
2＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.
(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)，
联立x 2
2
＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.
令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，得h 2－1－2k 2＝0，
解得k 1＝h 2－1
2
，k 2＝－
h 2－1
2
.由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－
h 2－1
2
＝－1，
故h ＝ 3.
过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此
A 1H ⊥A 2H ，由
h
2×(－h
2
)＝－1，得h ＝ 2. 此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，
它们与轨迹E 分别仅有一个交点(－23，223)与(23，22
3).
所以，符合条件的h 的值为3或 2.
【变式训练3】据题意设|AF 1|＝x ，则|AB |＝x ，|BF 1|＝2x . 由双曲线定义有|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a
?(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝(2＋1)x －x ＝4a ，即x ＝22a ＝
|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，两边
平方整理得c2＝a2(5－22)?c2
a2
＝e2＝5－22，.
抛物线
典例精析
题型一抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
【解析】(1)y2＝8x或x2＝－y.(2)方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.
【解析】d min＝2a－1.
题型二直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FB FA ?＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)y 2＝4x (x ＞0). (2)3－22＜m ＜3＋2 2.
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA ·FB ＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22).
【变式训练2】已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴的交点坐标为(0,2)，则1y 1＋1
y 2＝ .【解析】1
2
.
题型三 有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .
(1)求证：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
(2)是否存在实数k 使NA ·NB ＝0若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
【解析】
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须使用弦长公式.
【变式训练3】已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2
＋y 2
＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是 .【解析】45
5
.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F 不在准线l 上，这是一个重要的隐含条件，若F 在l 上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p ；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p .
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p
sin 2α
(α为AB 的倾斜角)，
y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 2
4
等.
练习
1.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=
(A)14 （B ）35 (C)34 (D)45
【答案】C
2.【2012高考安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为（ ）
()A 22
()B 2 ()C 322 ()D 22【答
案】C
【例3】证明：如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2
，
得2x 2－kx －2＝0，
由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1，所以x N ＝x M ＝
x 1＋x 22＝k
4
，所以点N 的坐标为(k 4，k 2
8
).
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k
4)，将y ＝2x 2代入上式，
得2x 2－mx ＋
mk
4
－k 2
8
＝0，
因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝m 2－8(mk 4－k 2
8
)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －
k )2＝0，所以m ＝k ，即l ∥AB .
(2)假设存在实数k ，使NA ·NB ＝0，则NA ⊥NB ， 又因为M 是AB 的中点，所以|MN |＝2
1
|AB |.
由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 2
2
＋4)＝
k 2
4
＋2.因为MN ⊥x 轴，所以|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝
k 2＋16
8
.
又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
1＋k 2
·
(k
2)2
－4×(－1)＝12
k 2
＋1·k 2＋16. 所以k 2＋168
＝1
4
k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使·＝0.
直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y 2＝ax 与直线y ＝(a ＋1)x －1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解析】综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－4
5
.
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a ≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数a
a 1 ＝0，即a ＝－1的可能性，从而漏掉两解.本
题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a ＝0时，曲线y 2＝ax ，即直线y ＝0，此时与已知直线y ＝x －1 恰有交点(1,0)；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a ＝－4
5
时直线与抛物线相切.
【变式训练1】若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( )
A.{1，－1，
52，－52} B.(－∞，－52]∪[5
2
，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1)∪[5
2，＋∞)
【解析】答案为A.
题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例2】(2010辽宁)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的
直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)如果|AB |＝15
4
，求椭圆C 的方程.
【解析】(1)e ＝c a ＝23.(2)x 29＋y 2
5
＝1.
【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.
【变式训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b 的值为 .【解析】a b ＝y 0x 0＝3
2
.
题型三 对称问题
【例3】在抛物线y 2＝4x 上存在两个不同的点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围.
【解析】故k 的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l 对称，则满足直线l 与AB 垂直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于x ＋y ＝0对称的两点A ，
B ，则|AB |等于( )
【解析】设AB 方程：y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3，得x 2＋x ＋b －3＝0， 所以x A ＋x B ＝－1，故AB 中点为(－12，－1
2
＋b ).
它又在x ＋y ＝0上，所以b ＝1，所以|AB |＝32，故选C. 总结提高
高考圆锥曲线典型例题(必考)
椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2 6 ＝1.
题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2， 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2 ，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2 ＋y 2 ＝1 4 和圆 (x －4)2＋y 2＝1 4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D)
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在. 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一．知识要点 1．曲线方程 （1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 化” （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐 标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 （1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、 B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。 （2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 （3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 高考数学 圆锥曲线常见习题及解析 （经典版） 椭圆 一、选择题： 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第 一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a = ，2:b l y x a =-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即121 2 OP F F c ==， 即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得222 00()b x x c a +=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ?-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线 的离心率2e =，所以选B. 3．已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342 =的焦 点重合，则该双曲线的离心率等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．2 3 2018年高考圆锥曲线大题 一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||． 3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆． （1）求C的轨迹方程； （2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） , 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. ）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线 的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而 圆锥曲线经典小题 一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 2 1±= D ．x y ±= 2．已知,40π θ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22 222=-θθx y C ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ( ) A ．23 B ．3 C ．2 7 D ．4 4．已知双曲线1422 2=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A ．5 B ．24 C ．3 D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．23 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．已知双曲线12 2 2=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=?MF MF 则点M 到x 轴的距离为( ) A ．3 4 B ．3 5 C ．332 D ．3 7．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ． 213+ D ．215+ 8．已知双曲线,122=-y x 点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若,21PF PF ⊥ 则||1PF ||2PF +的值为( ) 圆锥曲线典型例题强化训练 一、选择题 1、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）A A. 2 12x y = B.2 12y x = C.2 4x y = D.2 6x y = 2、若圆0422 2 =--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2 2 ,则a 的值为（ ）C A ．-2或2 B ．2 321或 C ．2或0 D ．-2或0 3、设F 1、F 2为曲线C 1： x 2 6 + y 2 2 =1的焦点，P 是曲线2C ： 13 22 =-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 1 4 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2 4、经过抛物线x y 22 =的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ ）A A.0346=--y x B. 0323=--y x C.0232=-+y x D. 0132=-+y x ' 5、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） D A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 6、如图，过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点 C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ） B A ．x y 232 = B ．x y 32 = C ．x y 2 92 = D ．x y 92 = 7、以14 122 2=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）D A ． 1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.11642 2=+y x 8、已知双曲线192 22=-y a x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)
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