复杂网络基础2(M.Chang)

复杂网络基础理论

第二章网络拓扑结构与静态特征

第二章网络拓扑结构与静态特征

l2.1 引言

l2.2 网络的基本静态几何特征

l2.3 无向网络的静态特征

l2.4 有向网络的静态特征

l2.5 加权网络的静态特征

l2.6 网络的其他静态特征

l2.7 复杂网络分析软件

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2.1 引言

与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重

于从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何

量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进

而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一

般方法，最后讨论网络本身的形成机制。

统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性

方面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究

领域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提

供的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的

基础。

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2.1 引言

静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观

统计平均值。

在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结

。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们

将分开讨论无向、有向与加权网络。

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2.2 网络的基本静态几何特征

￠2.2.1 平均距离

￠2.2.2 集聚系数

￠2.2.3 度分布

￠2.2.4 实际网络的统计特征

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2.2.1 平均距离

1.网络的直径与平均距离

网络中的两节点v i和v j之间经历边数最少的一条简

单路径（经历的边各不相同），称为测地线。

测地线的边数d ij称为两节点v i和v j之间的距离（或

叫测地线距离）。

1／d ij称为节点v i和v j之间的效率，记为εij。通常

效率用来度量节点间的信息传递速度。当v i和v j之间没

有路径连通时，d ij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度

量非全通网络。

网络的直径D定义为所有距离d ij中的最大值

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2.2.1 平均距离

平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之

间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离

程度，即网络有多小，计算公式为

对于无向简单图来说，d ij＝d ji且d ii＝0，则上式可

简化为

很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小

得惊人，这就是所谓的小世界效应。7

2.2.1 平均距离

2.距离与邻接矩阵的关系

定义

对于无权简单图来说，当l＝1时，。容易证明无

权简单图邻接矩阵A的l次幂A l的元素表示节点v i和v j

之间通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出

式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1；

否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。

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2.2.1 平均距离

容易用数学归纳法证明

据此，若D为网络直径，则两节点v i和v j之间的距离d ij

可以表示为

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2.2.2 集聚系数

首先来看节点的集聚系数定义。假设节点v i与k i个

节点直接连接，那么对于无向网络来说，这k i个节点间

可能存在的最大边数为k i（k i－1）／2，而实际存在的

边数为M i，由此我们定义C i＝2M i／［k i（k i－1）］

为节点v i的集聚系数。

对于有向网络来说，这k i个节点间可能存在的最大

弧数为k i（k i－1），此时v i的集聚系数C i＝M i／［k i（

k i－1）］。

将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平

均集聚系数为

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2.2.2 集聚系数

显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点

，没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间

都有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节

点数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网

络的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社

会网络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），

即趋向一个非零常数。

节点v i的集聚系数也可定义为C i＝N iΔ／N iΛ。式中

N iΔ代表与节点v i相连的“三角形”数目，数值上就等

于M i；N iΛ代表与节点v i相连的“三元组”数目，即节

点v i与其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分

别认识”，数值上就等于k i（k i－1）／2。11

2.2.2 集聚系数

如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点v i 的集聚系数C i？

显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素表示的是与节点v i相连的边数，也就是节点v i的度k i。而邻接矩阵三次幂A3的对角元素＝∑（a ij·a jl·a li）（j≠l）表示

2.2.2 集聚系数

【例2.1】计算下面简单网络的直径、平均距离和各节

点的集聚系数。

解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1；

d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；

d26＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；

d56＝3。由此可得直径和平均距离为

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2.2.2 集聚系数

下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定

义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之

间可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在

的边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3

。

若采用第二种定义可知：与相连的三角形数为N1Δ

＝１，而与v1相连的三元组数为N1Λ＝3，故C1＝1／3

。

也可以利用式计算，因为

邻接矩阵A的前三次幂为

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2.2.2 集聚系数

故＝2，＝3，从而

同理可得其他各节点的集聚系数为

C2＝1／3；C3＝1／3；C4＝0；C5＝0；C6＝0

由此很容易算出该网络的集聚系数

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2.2.3 度分布

1.节点的度

在网络中，节点v i的邻边数k i称为该节点v i的度。

对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平

均度＜k＞

无向无权图邻接矩阵A的二次幂A2的对角元素

就是节点v i的邻边数，即。实际上，无向无权图

邻接矩阵A的第i行或第i列元素之和也是度。从而无向

无权网络的平均度就是A2对角线元素之和除以节点数

，即＜k＞＝tr（A2）／N。式中，tr（A2）表示矩阵

A2的迹，即对角线元素之和。

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2.2.3 度分布

2.度分布

大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率

分布的。定义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络

中所占的比率。

规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其

度分布集中在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。

完全随机网络：度分布具有Poisson分布的形式，

每一条边的出现概率是相等的，大多数节点的度是基

本相同的，并接近于网络平均度＜k＞，远离峰值＜k

＞，度分布则按指数形式急剧下降。把这类网络称为

均匀网络。

无标度网络：具有幂指数形式的度分布：P（k）

17∝k?γ。所谓无标度是指一个概率分布函数F（x）对于

2.2.3 度分布

任意给定常数a存在常数b使得F（x）满足F（ax）＝

bF（x）。幂律分布是唯一满足无标度条件的概率分布

函数。许多实际大规模无标度网络，其幂指数通常为

2≤γ≤3，绝大多数节点的度相对很低，也存在少量度值

相对很高的节点（称为hub），把这类网络称为非均匀

网络。

指数度分布网络：P（k）∝e?k/к，式中к＞0为一

常数。

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2.2.3 度分布

3.累积度分布

可以用累积度分布函数来描述度的分布情况，它

与度分布的关系为

它表示度不小于k的节点的概率分布。

若度分布为幂律分布，即P（k）∝k?γ，则相应的

累积度分布函数符合幂指数为γ－1的幂律分布

若度分布为指数分布，即P（k）∝e?k/к，则相应

的累积度分布函数符合同指数的指数分布

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2.2.4 实际网络的统计特征

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