主范式的求法及应用
利用真值表求主合取范式
利用真值表求主合取范式
1、把变量的各种可能取值与想对应的函数值，用表格的形式一一列举出来，这种表格就叫做真值表。
2、设一个变量均有0、1两种可能取值，n个变量共有2n种可能，将它们按顺序（一般按二进制数递增规律）排列起来，同时在相应位置上写上逻辑函数的值，便可得到该逻辑函数的真值表。
3、例如：逻辑函数的Y=AB+BC+CA的真值表如下：真值表以表格的形式表示逻辑函数，其优点是直观明了。
4、输入变量取值一旦确定，即可以从表中查出相应的函数值。
5、所以，在许多数字集成电路手册中，常常以不同形式的真值表，给出器件的逻辑功能。
6、另外，在把一个实际逻辑问题，抽象成为数学表达形式时，使用真值表是最方便的。
7、所以，在数字电路逻辑设计过程中，第一步就是要列出真值表；在分析数字电路逻辑功能时，最后也要列出真值表。
8、但是，真值表也有一些缺点：首先，难以对其使用逻辑代数的公式和定理进行运算和变换；其次，当变量比较多时，列真值表会十分繁琐。
命题公式主范式的求法及运用
毕业论文(设计)
题 目: 命题公式主范式的求法及应用
院 ( 系 ): 专业年级: 姓 名: 学 号: 指导教师:
数学与信息科学学院 数学与应用数学 05 级 马蓓蓓 051030233 屈聪 硕士
2009 月 3 日
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
主范式的求法及应用
论文作者签名:
年 月 日
摘 要
主式即主合取式与主析取式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由式的不唯一性引出主式的唯一性，得到求主式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题.
性质2.3[3]任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即 时， .
性质2.4[3]每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其余 种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]由不同极大(小)项组出的合取(析取)式称为主合(析)取式.
3
由于主式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
分类号O158单位代码11395
密 级 学 号1204210135
学生毕业论文
题 目
主式的求法及应用
作 者
王定超
院 (系)
数学与统计学院
专 业
数学与应用数学
指导教师
祁兰
答辩日期
2016年5月21日
榆 林 学 院
毕业论文诚信责任书
本人重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
因此，主合取式和主析取式有着“互补”关系[4].设命题公式 中含有 个命题变元，且 的主析取式中含有 个小项 ，则 的主析取式中必含有其余的 个小项，不妨含为 ，即 于是
求主析取范式的方法
求主析取范式的方法求主析取范式是一种用于逻辑推理和逻辑问题求解的方法。
在逻辑学中，主析取范式是指一个逻辑表达式被转化为一组合取范式的形式。
这种形式的特点是将逻辑表达式分解为多个子表达式的合取。
在这篇文章中，我们将介绍求主析取范式的方法以及它的应用。
求主析取范式的方法可以分为以下几个步骤：1. 将逻辑表达式转化为合取范式：合取范式是由多个子表达式的析取构成的。
首先，我们需要将逻辑表达式中的所有逻辑连接词转化为合取和析取。
这可以通过使用逻辑等价关系和逻辑运算法则来实现。
2. 进行析取运算：将合取范式中的合取运算符替换为析取运算符。
这可以通过使用逻辑等价关系来实现。
3. 求主析取范式：在合取范式中，找到具有最大析取项数目的子表达式，将该子表达式作为主析取范式。
主析取范式是一个具有最大析取项数目的合取项。
4. 化简主析取范式：对主析取范式进行化简，去除其中多余的子表达式。
这可以通过使用逻辑等价关系和逻辑运算法则来实现。
求主析取范式的方法在逻辑推理和逻辑问题求解中有广泛的应用。
它可以用来简化逻辑表达式，使其更易于理解和分析。
例如，在电路设计中，可以使用求主析取范式的方法来简化逻辑电路的布尔表达式，以减少电路的复杂性和成本。
求主析取范式的方法还可以用于逻辑推理和证明过程中。
通过将逻辑表达式转化为主析取范式，我们可以更容易地进行逻辑推理和证明。
例如，在推理问题中，我们可以将问题陈述和已知条件转化为逻辑表达式，然后将这些逻辑表达式转化为主析取范式，以确定是否存在解决方案。
求主析取范式的方法还可以用于逻辑问题的求解。
通过将逻辑问题转化为逻辑表达式，并将该逻辑表达式转化为主析取范式，我们可以确定是否存在满足问题条件的解。
例如，在谜题和逻辑游戏中，我们可以将谜题条件转化为逻辑表达式，并使用求主析取范式的方法来确定是否存在解决方案。
求主析取范式是一种用于逻辑推理和逻辑问题求解的方法。
它可以用来简化逻辑表达式，进行逻辑推理和证明，以及解决逻辑问题。
命题逻辑公式的范式和主范式
计算机科学M O O C课程群离散数学基础本单元内容比较多，视频分割成三个部分：范式的概念、主范式及其应用和主范式的编码PART 1 范式的概念•范式的一些基本定义−文字：原子命题及其否定式统称为文字（形）。
»例：对变量表 {p, q}，p, ¬p, q, ¬q 都是文字。
»例：把 F 称为空文字，记作 NIL。
−基本积：由有限个文字的合取构成。
(简单合取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本积有 p, ¬p, q∧¬p, ¬q∧¬p∧r 等等。
−基本和：由有限个文字的析取构成。
(简单析取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本和有 p, ¬p, q∨¬p, ¬q∨¬p∨r 等等。
•定理6−一个基本和是永真的当且仅当其中含有某个原子的互补对；»由排中律和零律：α∨p∨¬p ⇔ α∨1 ⇔ 1−一个基本积是矛盾的当且仅当其中含有某个原子的互补对。
»由矛盾律和零律： α∧p∧¬p ⇔ α∧0 ⇔ 0•定义：析取范式−一个命题公式称为是一个析取范式当且仅当其具有形式 A1∨A2∨ …∨A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本积 (1≤i≤n)。
−例1：¬p ∨ (q∧¬r) ∨ s， (n=3)−例2：¬p， (n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r， (n=1)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r， (n=3)•定义：合取范式−一个命题公式称为是一个合取范式当且仅当其具有形式 A1∧A2∧…∧A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本和 (1≤i≤n)。
−例1：(¬p∨q∨s)∧(¬p∨¬r∨s)， (n=2)−例2：¬p， (n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r， (n=3)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r， (n=1)•定理7(1) 一个合取范式是永真的当且仅当其中含有的基本和都是永真的；(2) 一个析取范式是矛盾的当且仅当其中含有的基本积都是矛盾的。
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式是布尔代数中的两个重要概念，主要用于将一个逻辑表达式转化为某些变量的与或组合形式。
本文将简要介绍主析取范式和主合取范式的求法。
一、主析取范式
主析取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的析取项的与式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主析取范式为（A∧C∧D∧E）∨（B∧C∧D∧E）∨（A∧C∧E）∨（B∧C∧E）∨
（A∧C∧D）∨（B∧C∧D）。
求解主析取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简合取范式。
2.将最简合取范式中的每一项转化为主析取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∨”连接。
二、主合取范式
主合取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的合取项的或式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主合取范式为（A∨B)∨C)∨(A∨B)∨D)∨(A∨B)∨E)。
求解主合取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简析取范式。
2.将最简析取范式中的每一项转化为主合取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∧”连接。
需要注意的是，主析取范式和主合取范式并非每个逻辑表达式都有。
当逻辑表达式已经是主析取范式或主合取范式时，无需再进行转化。
总之，主析取范式和主合取范式的求法是布尔代数中的基础知识，掌握这两个概念对于理解和应用逻辑表达式非常重要。
离散数学第三讲范式与主范式
合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
AA1A2An(n1), A： i 质合取式 n1时，单个质合 析取 取式 范也 式是
合取范式: AB1B2Bm(m1) B： i 质 析 取 式 m1时 ， 单 个 质 析合取取式范也式是
4
(2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,···,M j2n k .
(3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
18
2、主范式
一个命题公式的真值表是唯一的, 因此一个命题公式的主 析取范式(主合取范式)也是唯一的。 定理2：在真值表中使一个命题公式A的真值为真(假)的 指派所对应的小项(大项)的析取(合取)，即为A的主析取 范式(主合取范式) 。
下列条件判定之：
(a)若AＴ，或A可化为与其等价的、含2n个小项的主 析取范式，则A为永真式。
(b)若AＦ，或A可化为与其等价的、含2n个大项的主 合取范式，则A为永假式。
(c)若A不与Ｔ或者Ｆ等价，且又不含2n个小项或者大 项，则A为可满足的。
21
2、主范式
（2）证明命题公式是否等价 由于任一公式的主范式是唯一的，所以将给定的公式求
P ~ 1P ~ 2 P ~ n m 1 2 n m r(r0 ,1 , ,2n1 )
i
1,
0
P~P~i为 i为PPi i
8
2、主范式
极小项的个数：n个命题变元可以构成 2 n个极小项。
例如：2 个变元P , Q 可构造 4 个极小项
m3
m2
m1
PQ
PQ PQ PQ
m0 PQ
00
利用真值表求主范式的方法
利用真值表求主范式的方法
利用真值表求主范式的方法是一种计算布尔函数的有效方法。
真值表是一个表格，其中列出了布尔函数的所有可能输入和对应输出值。
从真值表中，我们可以确定函数的主范式，即包含所有输入和输出组合的最小项或最大项。
这些主范式可以帮助我们简化函数并找出其逻辑特性。
以下是利用真值表求主范式的具体步骤：
1. 给定一个布尔函数，列出其真值表，其中包括所有可能的输入和相应的输出值。
2. 找出真值表中所有输出为1的每个组合，并将它们称为最小项。
例如，如果布尔函数有4个输入变量，则真值表将包含16个可能的组合。
如果输出为1的组合有3个，则有3个最小项。
3. 将这些最小项组合成一个包含所有最小项的主范式。
这可以通过使用布尔代数规则来完成，例如使用与操作符和或操作符。
4. 如果存在多个主范式，则可以使用其中任何一个来简化布尔函数。
但是，一般情况下，我们会选择包含最少项的主范式，因为这意味着最简单的逻辑表达式。
5. 如果需要，可以使用主范式来创建逻辑电路或编写计算机程序，以实现相应的布尔函数。
通过这些步骤，我们可以快速、准确地确定布尔函数的主范式，从而简化其逻辑表达式并实现相应的功能。
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其真值为1的指派为(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的，知(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1)
故 的主析取范式：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
表2-1 使相应公式为真的极小项
极小项
二进制
十进制
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7
表2-2 使相应公式为假的极大项
极大项
二进制
十进制
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
5
6
7
性质 2.1[3] 个命题变元可构成 个极大(小)项.
性质 2.2[3]全体极大(小)项的合(析)取范式永为0(1).
范式分为合取范式与析取范式，而合取范式与析取范式在命题公式中不唯一，为使命题公式的范式唯一即析取范式与合取范式进行规范化，化成命题公式的主合取范式与主析取范式.本文主要介绍主范式的三种方法——等值演算法、真值指派法、真值表法.利用真值表法可以快速，有效的得到主范式；真值指派法适合一些特殊的范式得到主范式，这两种方法都可以避免传统算法中较复杂的等值演算法.利用主范式可以求公式的成真成假赋值、判断公式的类型、几个公式的等值、在实际问题上也有一些具体应用，并给出相应例子加深理解主范式的方法和应用.
2 预备知识
定义2.1[1]在一公式中，仅由命题变元及否定构成的析取式(合取式），称该公式为简单析取式(简单合取式），其中每个命题变元或其否定，称为析取项(合取项).
定义2.2[1]一个命题公式 称为合取范式(析取范式)，当且仅当 可表示为简单析取式的合取(简单合取式的析取)，即 ；其中 为简单析取式(简单合取式) .
(3)列出真值为0的极小项，通过“互补”得到相应的极大项进行合取为主合取范式.
例3.1求命题公式 的主范式.
解由题意,使用真值表可得,
表3-1 使相应公式为真的极小项
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 1 1
(1) 命题变元按字典序列排列；
(2) 对公式的每个解释，以二进制数从小到大或从从大到小顺序列出；
(3)若公式复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所得公式的真值.
真值表法求主范式的步骤如下：
(1)写出相应的真值表；
(2)列出真值为1的极小项进行析取得到主析取范式；
性质2.3[3]任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即 时， .
性质2.4[3]每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其余 种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]由不同极大(小)项组出的合取(析取)范式称为主合(析)取范式.
由于主范式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
定义2.3[2]在含有 个命题变项的简单析取式(简单合取式)中,若每个命题变项和它的否定式不同时出现,而二者之一必出现且反出现一次,且第 个命题变项或它的否定式出现从左算起的第 位上(若命题变项无角标，就按字典顺序排列).称这样的简单析取式(简单合取式)为极大项(极小项).
用 表示极小项, 表示表示极大项，以 , , 三个命题变元为列，见下表2-1,2-2.
极小项.
而简单合取式 已是极小项 ，于是
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
若公式 中含 个命题变项， 的主析取范式中含 个极小项，则 有 个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余 个赋列值都是成假赋值如： ，各极小项均含三个变元，因而各极小项的角标均为二进制数，它们分别为001,011,100,111.这四个赋值为该主范式的赋值.当然，主析取范式中出现的极小项为 ，它们的角标的二进制表示000,010,101,110为该公式的成假赋值[6].
(1)把命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中每一项若是极小项，则分别取二进制数；若含有不是极小项，进行补项，再分别取二进制数.如 三个元，析取范式 补项取真值指派为(1,1,1),(1,1,0)；
(3)若有相同的指派进行合并，写出每个指派的极小项进行析取，则得到主析取范式.
例3.3[2]求命题公式 的主范式.
分类号O158单位代码11395
密 级学 号1204210135
学生毕业论文
题目
主范式的求法及应用
作者
王定超
院 (系)
数学与统计学院
专业
数学与应用数学
指导教师
祁兰
答辩日期
2016年5月21日
榆 林 学 院
毕业论文诚信责任书
本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
例3.4求命题公式 的主范式.
解将命题公式 化成析取范式得：
其真值为1的指派为(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的知：(1,0,0)，(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
则 主析取范式:
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.3
Keywords:principal normal form;truth table;true value assignment method;equivalent calculating method
1 引言
主范式即主析取范式与主合取范式，它是离散数学数理逻辑的一个重要分支并是计算机科学基础的必备知识,它与计算机有着不可分割的关系.在计算机科学的操作系统、数据结构、算法分析、编译系统、系统结构、逻辑结构等都含有主范式的知识.随着计算机科学对人们的生活越来越重要，数理逻辑支撑学科的迅速发展，而主范式理论及应用是数理逻辑重要的概念之一，其方法和应用也颇具价值.
公式 在全部可能的真值指派所取的真值表，称为真值表[3].真值表由表的 左部分列出公式的每一种解释，右部分给出相应每种解释公式得到的真值.
若真值用0和1表示真和假，则对公式中 个不同命题变元的 个解释，可按 为二进数从小到大或从大到小次序表示出来，假如公式 有2个命题变元，它便有 个解释，写成相应的二进制数为00、01、10、11.命题公式真值表的构造步骤如下：
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
1
1
0
0
1
1
0 1
1 1
0 1
1 1
1 1
1 0
0 1
1 1
0
1
0
1
1
0
0
1
其真值为1的极小项为
则 主析取范式:
其真值为0的极小项通过主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.2真值指派法
设 为含有命题变元 的命题公式，给 一组确定的取值，称做公式 关于 的一组真值指派[3].其真值用1和0表示真和假.真值指派法求主析取范式构造步骤如下：
(2)否定号的内移(利用德摩根斯)或者消去(利用双重否定律)；
(3)利用分配律：利用 对 的分配律求析取范式，利用 对 的分配律求合取范式．
公式的析取范式和合取范式是不唯一的.而任何命题公式的主范式都是存在的，并且是唯一的[5].
利用等值演算法求主范式的步骤如下：
(1)将命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中所有永假的析取范式要除去；
4.2 判断公式是否等值
若公式 中共含有 个命题变项，按 个命题变项求出 的主析取范式 ，若 ，则 ，否则 .
例4.1[5]判断下列两组公式是否等值:
(1)
(2)
解(1)用等值值派法分别求出主合取范式：
(3)将析取范式中重复出现的合取项和相同的变元合并；
(4)对合取项添加补入没有出现的命题变元本身和否定形式的合取，然后应用分配展开式.
例3.5求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
例3.6[5]求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
简单合取式 ， 在此析取范式中都不是极小项，及求出它们派生的
关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法
The method and application of
ABSTRACT
Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development.The method and the applicationisof great value.In this paper,wemake corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness ofprincipal normal formbythe introduction of related theorem ofprincipal normal formanddefinition.Wegetthemethodsofprincipal normal form: truth table method,true value assignment method, andequivalent calculating method, and thengivetheapplicationsofprincipal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming trueor false, and solve practical problems.