2020年高考理科数学原创专题卷:《圆锥曲线与方程》
原创理科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程
考点40:椭圆及其性质(1-5题,13,14题) 考点41:双曲线及其性质(6-10题,15题) 考点42:抛物线及其性质(11,12题)
考点43:直线与圆锥曲线的位置关系(17-22题) 考点44:圆锥曲线的综合问题(16题,17-22题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I 卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易
椭圆E 的焦点在x 轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E 的标准方程为( )
A. 2212x +=
B. 22
12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2.【2017课标3,理10】 考点40 易
已知椭圆C :22
2
21x y a b +=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的
圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )
A
.
B
.
C
.
D .13
3.【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难
已知椭圆
2
21(0)1
x y m m +=>+的两个焦点是12,F F , E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点,当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为( )
A.
2
3
4.【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难
如图, 12,A A 为椭圆22
195
x y +=长轴的左、右端点, O 为坐标原点, ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则
22
OS OT
+=()
A. 14
B. 12
C. 9
D. 7
5.【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试考点40难
已知椭圆的左焦点为
1
F,有一小球A从
1
F处以速度v开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无
论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到
1
F时,它所用的最长时间是最短时间的5倍,则椭圆的离心率为()
A.
1
3
51
-
C.
3
5
D.
2
3
6.【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试考点41易
设椭圆
22
22
1
x y
m n
+=,双曲线
22
22
1
x y
m n
-=,(其中0
m n
>>)的离心率分别为
12
,e e,则()
A.
12
,1
e e> B.
12
,1
e e< C.
12
,1
e e= D.
12
,e e与1大小不确定
7.【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点41易
已知双曲线
22
1
259
x y
-=上有一点M到右焦点
1
F的距离为18,则点M到左焦点
2
F的距离
是()
A. 8
B. 28
C. 12
D. 8或28
8.【2017课标II,理9】考点41 易
若双曲线C:
22
22
1
x y
a b
-=
(0
a>,0
b>)的一条渐近线被圆()22
24
x y
-+=
所截得的弦长为2,则C的离心率为()
A.2 B.
3 C.2 D.
23 9.【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点41中难
A、F分别是双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左顶点和右焦点,A、F在双曲线的一
条渐近线上的射影分别为B 、Q , O 为坐标原点, ABO ?与FQO ?的面积之比为12
,则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B.
1
2
C. 2
10.【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点41 难
已知12,F F 是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>,的左、右焦点,设双曲线的离心率为e .若
在双曲线的右支上存在点M ,满足212MF F F =,且12sin 1e MF F ∠=,则该双曲线的离心率e 等于( )
A.
54 B. 535
2
11.【2017课标1,理10】 考点42 中难
已知F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、
B 两点,直线l 2与
C 交于
D 、
E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )
A .16
B .14
C .12
D .10
12.【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点42 难
已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r
,
抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为,则准线l 的方程为( )
A. x =x =- C. 2x =- D. 1x =-
第II 卷(非选择题)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。) 13.【来源】2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中 考点40 中难
设1F 、2F 分别是椭圆116
252
2=+y x 的左,右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为)4,6(,则|PM |+|1PF |的最大值为_______
14.【来源】2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考 考点40 难
21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点,A 为椭圆上一点,且)(211OF +=,
)(2
1
2OF OA OC +=
,则=+|||| . 15.【2017课标1,理】 考点41 中难
已知双曲线C :22
2
21x y a b -=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A
与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为________. 16.【2017课标II ,理16】 考点42 难
已知F 是抛物线C:28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N 。若M
为FN 的中点,则
FN =
。
三、解答题(本题共6小题,共70分。)
17.(本题满分10分)【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点43 考点44 中
难
已知O 为坐标原点, 12,F F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点,其离心率
2
e =
, M 为椭圆C 上的动点, 12MF F ?的周长为4+. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知椭圆的右顶点为A ,点,B C (C 在第一象限)都在椭圆上,若OC BA λ=u u u r u u u r
,且·0OC OB =u u u r u u u r ,求实数λ的值.
18.(本题满分12分) 【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点43 考点44中难
已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,
2??
? ???
1A , 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点(2A 位于1A 右侧),B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ,使得向
量OP OQ +u u u r u u u r 与2A B u u u
u r 共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
19.(本题满分12分)
【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点43 考点44中难
如图,已知圆()2
2
:14
E x y
+-=经过椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左右焦点
12
,
F F,与椭圆C在第一象限的交点为A,且1F,E,A三点共线.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与直线OA(O为原点)平行的直线交椭圆C于,
M N两点,当AMN
?的面积取最大值时,求直线l的方程.
20.(本题满分12分)【2017课标1,理20】考点43 考点44中难
已知椭圆C:
22
22
=1
x y
a b
+
(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,
3
),P4(1,
3
)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
21.(本题满分12分)
【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点43 考点44中难
已知过()
0,2
A的动圆恒与x轴相切,设切点为,B AC是该圆的直径.
(Ⅰ)求C点轨迹E的方程;
(Ⅱ)当AC 不在y 轴上时,设直线AC 与曲线E 交于另一点P ,该曲线在P 处的切线与直线BC
交于Q 点.求证: PQC ?恒为直角三角形.
22.(本题满分12分)
【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点43 考点44 难
已知点()1,0F ,直线:1l x =-,直线l '垂直l 于点P ,线段PF 的垂直平分线交l '于点Q . (1)求点Q 的轨迹C 的方程;
(2)已知点()1,2H ,过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点,直线,AH BH 分别交l 于点,M N ,求证:以MN 为直径的圆必过定点.
参考答案
1.C
【解析】由条件可知2
b c
==,2
a=,所以椭圆方程为
22
1
42
x y
+=,故选C. 2.【答案】A
【解析】
3.D
【解析】解:联立直线与椭圆的方程整理可得:()()()
2
241310
m x m x m
+++++=,满足题意时:2
)1
)(
2
(
12
)1
(
162≥
?
≥
+
+
-
+
=
?m
m
m
m2
0≥
∴
>m
m
Θ,
当2
m=时,椭圆的离心率取得最小值
6
3
.
4.A
【解析】设()()()
1122
,,,,,
Q x y T x y S x y,
12
,
QA QA斜率分别为
12
,k k,则,
OT OS的斜
率为
12
,k k,且
2
122
5
3399
y y y
k k
x x x
=?==-
+--
,所以
()21
222222
111112
1
451
59
k
OT x y x k x
k
+
=+=+=
+
,同理
()22
2
2
2
451
59
k
OS
k
+
=
+
,因此()()()
2222
221211
222
121
2
1
25
451
45145145181
25
5959595
9
k k k k
OS OT
k k k
k
??
+
?
+++??
+=+=+
++++
()222
111
222
111
451812512670
14
595959
k k k
k k k
+++
=+==
+++
.故选A.
5.D
【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近,到右顶点的距离最大,所以由题设可得
()
546
a c a c a c
+=-?=,即
42
63 e=
=,应选答案D 。
6.B
【解析】在椭圆
22
22
1
x y
m n
+=中,22
1
c m n
=-,∴
22
1
1
c m n
e
m m
-
==,
在双曲线
22
22
1
x y
m n
-=中,22
2
c m n
=+,∴
22
2
2
c m n
e
m
+
==,
∴
4
222244
124
11
m n m n m n n
e e
m m m m
-+-??
?=?==-<
?
??
,故选B.
7.D
【解析】根据双曲线的定义可知点M到两焦点的距离的差的绝对值为2a,即12
210,
MF MF a
-==又
1
18,
MF=则
2
828
MF=或.故选 D.
8.【答案】A
【解析】
9.D
【解析】~
ABO FQO
??,所以
22
22
1
2
ABO
FQO
S OA a
S OF c
?
?
===,所以椭圆的离心率2
c
e
a
==,故选D.
10.B
【解析】依题设,
212
2
MF F F c
==,
∵
12sin 1e MF F ∠=, ∴1212sin 2a
MF F e c
∠=
=, ∴等腰三角形12MF F ?底边上的高为2a , ∴底边1MF 的长为4b , 由双曲线的定义可得422b c a -=,∴2b a c =+,
∴()2
24b a c =+,即22242b a ac c =++, ∴23250e e --=,解得53
e =
. 11.【答案】A
12.A
【解析】由题意,知,02p F ??
???
,直线l 的方程为2p x =-.设()()1122,,,A x y B x y ,则
11,2p AF x y ??=-- ???u u u r , 22,2p FB x y ??=- ???u u u r .由3AF BF =u u u r u u u r ,得12322p p x x ?
?-=- ??
?,即
()21123x p x =
- ①.设直线AB 的方程为2p y k x ?
?=- ??
?,代入抛物线方程消去y ,得(
)
222
2
2
204k p k x k p p x -++=,所以2124p x x = ②.联立①②,得132x p =或12
p
x =(舍
去),所以13y =.因为1AA CF S =
1121232
p y x p ?
?++
?
??=,将11
,x y 的值代入解得
2p =l 的方程为2x =A .
13.15
【解析】由椭圆方程可知2
2
2
25,1695,3a b c a c ==∴=∴==,两焦点坐标()3,0±,由
椭圆定义可得122210PM PF PM a PF PM PF +=+-=-+,结合三角形三边关系
可知225PM PF MF -≤=,所以21015PM PF -+≤,最大值为15 14.6
【解析】由椭圆方程127362
2=+y x ,得6=a ,由椭圆定义可得12221==+a AF AF ,因为()121OF OA OB +=
,所以B 为1AF 的中点,()
22
1
OF OA OC +=,所以C 为2AF 中点,因为O 为21F F 中点,所以1
22
1
,21AF OC AF OB ==,所以()62
1
21=+=+AF AF OC OB .
15.【答案】23
【解析】
16.【答案】6
【解析】如图所示,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线与x 轴交于点'F ,做MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ,
17.(1)2214
x y +=;(2)32λ=.
【解析】(1)因为12MF F ?的周长为423+ 所以22423a c +=+,①,
由题意223
c
a b e a
-==
=②, 联立①②解得2,3a c ==1b =,
所以椭圆的方程为2
214
x y +=; (2)设直线OC 的斜率为k ,则直线OC 方程为y kx =,
代入椭圆方程2
214
x y +=并整理得()
22144k x +=, ∴2
14C x k =+2
2
1414C k
k ?
?++,
由22
1
4x y +=知A (2,0),因为
OC BA λ=u u u r u u u r ,所以k k AB OC AB =∴//
所以直线AB 的方程为()2y k x =-,
代入椭圆方程并整理得()
222214161640k x k x k +-+-=,
∵22164
2,14A A B k x x x k -==+,∴2222282824,,141414B k k k x B k k k ??---= ?+++??
,
因为·0OC OB =u u u r u u u r
224·014k k -+=+, 所以21
2
k =
,因为C 在第一象限,所以0k >
,∴2k =,
因为OC ??
=u u u r , ()
222222414442,0,14141414k k k BA k k k k ??--??
?=--= ? ?++++?
?
??u u u r , 由OC BA λ=u u u r u u u r
,得λ=
∵k =
,∴λ=. 18.(1)2
212
x y +=(2)不存在 【解析】(1)设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
.
依题意得22222,
{
,21112a b c c a a b
=+=+=解得22a =, 21b =. 所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=. (2
)假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意,则因为直线l 的方程为:
2y kx =+,于是联立方程, 2
22
{1
2
y kx x y =+?+= 22122102k x kx ??
+++= ???.
由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知,
221842k k ??
?=-+= ???
2420k ->, 212k ∴>.
令()11,P x y , ()22,Q x y , ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++u u u r u u u r
,
1224212k x x k +=-
+Q , ()121222y y k x x +=++ 2
22
12k
=+, 4222,k OP OQ ??∴+=- ? ???
u u u r u u u r ()222
2,112k k =-+, 由题知(
)
2
2,0A , ()0,1B , )1,2(2-=→
B A .
从而,根据向量OP OQ +u u u r u u u r
与B A →2共线,可得22k =, 22k =
,这与21
2
k >矛盾. 故不存在符合题意的直线l .
19.(1)
22196
x y +=;(2) 23
33y x =±. 【解析】 (1)∵1F , E , A 三点共线,∴1F A 为圆E 的直径,且14AF =, ∴
212
AF F F ⊥.由
()2
2014x +-=,得3x =±,∴3
c =,∵
2
2
2
211216124AF AF F F =-=-=, ∴22AF =, ∴1226a AF AF =+=, 3a =. ∵2
2
2
a b c =+,∴2
6b =,∴椭圆C 的方程为22
196
x y +=. (2)由(1)知,点A 的坐标为
(
)
3,2,∴直线OA 的斜率为
2
33
,故设直线l 的方程为23y x m =+,将l 方程代入22
196x y +=消去y 得: 226433180x mx m ++-=, 设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12233x x m +=-
, 2121
32
x x m =-, 2248724320m m ?=-+>,∴
3232m -<<
又21MN x =-
=,∵点A 到直线l 的
距离
d =
,
∴
12AMN S MN d ?=
?=
=
=
142≤=, 当且仅当228
91429m =-
=???- ???
,即3m =±时等号成立,
此时直线l 的方程为33
y x =
±. 20.解析:(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由
2222
1113
4a b a b +>+
知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上. 因此2
221
11314b a
b ?=????+=??,解得2
241a b ?=??=??.
故C 的方程为2
214
x y +=.
21.(1) 2
8x y =;(2) 证明见解析.
【解析】(Ⅰ) 设C 点坐标为(),x y ,则B 点坐标为,02x ??
???
. 因为AC 是直径,所以BA BC ⊥,或C 、B 均在坐标原点.
因此0BA BC ?=u u u r u u u r ,而,22x BA ??=- ???
u u u r , ,2x BC y ??
= ???u u u r ,
故有2
204
x y -+=,即28x y =,
另一方面,设2
00,8x C x ?? ??
?是曲线2
8x y =上一点,
则有20168x AC +==
, AC 中点纵坐标为
2
02
02168216
x x ++=, 故以AC 为直径的圆与x 轴相切.
综上可知C 点轨迹E 的方程为2
8x y =. (Ⅱ)设直线AC 的方程为2y kx =+,
由22{
8y kx x y
=+=得: 2
8160x kx --=
设 ()()1122,,,C x y P x y ,则有1216x x =-.
由28x y =对x 求导知4
x y '=,
从而曲线E 在P 处的切线斜率2
24
x k =
, 直线BC 的斜率211
11184
2
x x k x x =
=
-
, 于是 121216
11616
x x k k -=
==-. 因此QC PQ ⊥ .
所以PQC ?恒为直角三角形. 22.(1)2
4y x =;(2)详见解析.
【解析】(1)依题意得QP QF =,即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等, 所以点Q 的轨迹是以F 为焦点, l 为准线的抛物线.
设抛物线方程为2
2(0)y px p =>,则2p =,即点Q 的轨迹C 的方程是2
4y x =. (2)
由题意可设直线():10AB x my m =+≠,代入2
4y x =,得2
440y my --=,
设22
1212,,,44y y A y B y ????
? ?????
,则12124,4y y m y y +==-; 又()1,2H ,设直线,AH BH 的斜率分别为12,k k , 则121222
12122244
,221144
y y k k y y y y --=
===++--, 设()()1,,1,M N M y N y --, 令1x =-,得()111228
222
M y y y y -=-
=
++, 同理,得()222228
222
N y y y y -=-=
++, 从
而
()()()()()121212121212424222244244·422244244
M N y y y y y y m y y y y y y y y m ??-++----?+??=
===-+++++-+?+; 12882222M N y y y y ????
+=-+- ? ?++????
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=-
+++
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m m +=-
-+?+
4m
=-
.
又以MN 为直径的圆的方程为: ()()()2
10M N x y y y y ++--=, 即()()2
2·10M N M N y y y y y y x -++++=,即224
230x x y y m
+-++=, 令220
{
230
y x x y =+-+=,解得3x =-或1x =,
从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0.
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取