2019届全国100所名校最新高考冲刺卷(三)高三数学(理)试题(解析版)

2019届全国100所名校最新高考冲刺卷（三）高三数学（理）

试题

一、单选题

1．已知集合122A x x ??=<

=-<<

???

?

，则A B =I （ ） A ．1

322x

x ??

<

B ．{}

12x x -<<

C ．122x x ??<

D ．131222x x x ??

-<≤≤

???

或 【答案】A

【解析】根据集合的交集运算直接求解. 【详解】

因为122A x x ??=<

?

=-<<

???

?

， 所以1

322A B x x ??

?=<

． 故选：A 【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2．已知复数z 满足i 2i z =+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i + B ．12i -

C ．12i -+

D ．12i --

【答案】A

【解析】根据i 2i z =+，利用复数的乘除法得到i z a b =+的形式，再利用共轭复数的概念求解. 【详解】 因为i 2i z =+， 所以()2i

i 2i 12i i

z +=

=-+=-， 所以复数z 的共轭复数是12i +． 故选：A

3．向量()1,4a =-r ，(),8b x =r

，若a b a b ?=r r r r ，则a b -=r r （ ）

A ．5

B C

D 【答案】A

【解析】由已知等式求出x ，再根据模的坐标运算计算出模． 【详解】

由a b a b ?=r r r r

得32x -+=2x =-．

∴(4,8)b =-r ，(3,4)a b -=-r r ，5a b -==r r ．

故选：A ． 【点睛】

本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．

4．已知双曲线2213x y m += ）

A ．2y x =±

B ．y x =

C ．y x =

D ．y x = 【答案】D

【解析】根据双曲线221

3x y m +=的离心率为

33=求解. 【详解】

3=， 解得2m =-，

所以双曲线的方程为22

132

y x -=，

其渐近线方程为y x =．

5．已知命题P ：“若函数()f x 为奇函数，则()00f =，命题Q ：“过点()3,1A 作圆()2

221x y r -+=的切线有且只有一条，则切线方程为270x y +-=”．则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．P Q ∧ B ．()P Q ∨? C ．()P Q ?∧ D ．()()P Q ?∧?

【答案】C

【解析】先判断命题P ，Q 的真假，再利用复合命题的真假结论求解. 【详解】

只有当函数()f x 在0x =上存在定义时，才有()00f =，故命题P 为假命题．则P ?为真命题；

因为过点()3,1A 作圆()2

221x y r -+=的切线有且只有一条，所以点A 在圆上，故可

得圆的方程为()2

215x y -+=，圆心坐标为()1,0M ，101

312

AM k -=

=-，所以过点()3,1A 的切线方程为()()123y x -=-?-，化简可得270x y +-=．故命题Q 为真

命题. 故选：C 【点睛】

本题主要考查复合命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6．对任意的实数x ，不等式()11ax x -<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),0-∞ B ．[)4,0- C ．(]4,0- D ．(],4-∞-

【答案】C

【解析】根据不等式的结构，分0a =， 0a ≠两种情况讨论求解，当0a ≠时．根据二次函数的性质，利用判别式法求解. 【详解】

当0a =时，2110ax ax --=-<，不等式成立； 设()2

1f x ax ax =--，

当0a ≠时．函数()f x 为二次函数，()f x 要恒小于0，抛物线开口向下且与x 轴没有交点，

即2

040a a a

V ， 解得40a -<<， 综上：实数(]4,0a ∈-． 故选：C 【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.

7．某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（ ）

①甲、乙的中位数之和为159； ②甲的平均成绩较低，方差较小； ③甲的平均成绩较低，方差较大； ④乙的平均成绩较高，方差较小； ⑤乙的平均成绩较高，方差较大． A ．①②④ B ．①③④

C ．①③⑤

D ．②⑤

【答案】B

【解析】根据中位数，平均数，方差的公式，算出结果，逐项验证. 【详解】

由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为76，79，故甲、乙的中位数之和为155．

x 甲

6372768396785++++=

=，x 乙6972798897

815

++++==．

2S 甲 ()()()()()22222

163787278767883789678122.85??=-+-+-+-+-=??， 2

S 乙

()()()()()22222169817281798188819781106.85??=-+-+-+-+-=?

?． 所以正确的说法是①③④．

本题主要考查茎叶图、平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．执行如图所示的程序框图，要使输出的结果为2187m =，则①中应填的条件可以为（ ）

A ．4?n ≤

B ．5?n ≤

C ．6?n ≤

D ．7?n ≤

【答案】D

【解析】执行几次次循环，找出规律，验证即可. 【详解】

执行第一次循环，3m =，3n =； 执行第二次循环，27m =，5n =； 执行第三次循环，243m =，7n =； 执行第四次循环，2187m =，9n =． 则①中应填的条件可以为7n ≤?． 故选；D 【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 9．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）

2

当且仅当ad ＝bc （即

a b

c d

=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()254f x x x =--的最大

值及取得最大值时x 的值分别为（ ） A 521,

5

B 213,

5

C 1361,

13

D 6129,

13

【答案】A

【解析】将254x x --代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到

由柯西不等式可知：()22222

(254)21(5)(4)5x x x x ??-+-+-+-=??

… 所以2545x x -+

-≤，当且仅当245x x -=-即x ＝

21

5

时取等号， 故函数()254f x x x =-+-的最大值及取得最大值时x 的值分别为521

,5

，

故选：A ． 【点睛】

本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

10．直线x m =，y x =将圆面22

4x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，

且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240

【答案】D

【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面被分成2块，当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面被分成3块，当22m -<<时，圆面被分成4块，分别求出涂色的种数，再求和. 【详解】

当2m ≤-或2m ≥时，圆面2

2

4x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420?=种，

当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面2

2

4x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360??=种，

当22m -<<时，圆面2

2

4x y +≤被分成4块， 此时不同的涂色方法有5432120???=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D 【点睛】

本题主要考查排列，组合及简单计数问题，还考查了分类讨论的思想，属于基础题. 11．我们把有两个侧面是直角三角形的四棱锥称为“直角四棱锥”，如图所示是某直角四棱锥的三视图，则该直角四棱锥的体积为（ ）

A ．

43

B ．

25

3

C ．83

D ．43

【答案】A

【解析】根据三视图，该直角四棱锥来自于正方体，画出直观图再求解. 【详解】

由三视图可知，该直角四棱锥为如图所示的四棱锥1A DEC F -，

其中正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点， 故可得该直四棱锥的体积为1142122323

V =?????=． 故选：A 【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 12．如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1按箭头的方向可以构成一个“锯齿形”数列{}n a ：1，3，3，4，6，5，10，???，记其前n 项和为n S ，则57S =（ ）

（参考公式()()2

22

21

1321413

n n n ++???+-=

-）

A ．4927

B ．4957

C ．4967

D ．5127

【答案】B

【解析】根据锯齿形”数列{}n a ：1，3，3，4，6，5，10，???，的规律，当n 为偶数时，满足21n n a a +=+，{}n a 是等差数列，用通项公式求得n a ；当n 为奇数时，满足

()213n n n a a a n +-=+≥，即23

2

n n n a a ++-=

，用累加法求得n a ，然后用分组求和法求解. 【详解】

当n 为偶数时，21n n a a +=+，所以{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以4

2

n n a +=

； 当n 为奇数时，()213n n n a a a n +-=+≥，即23

2

n n n a a ++-=

，所以533a a -=，754a a -=，…，21

2

n n n a a -+-=

， 将上述各式两边分别相加可得()()138

n

n n a ++=

，

而11a =满足该式，故当n 为奇数时，()()()2

131

438

8

n n n a n n ++=

=++，

所以()()5713572456S a a a a a a =++???++++???+，

()()222113574135787343049578??=++???++?++???+++++???+=?

?． 故选：B 【点睛】

本题主要考查数列的应用，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知等差数列{}n a 满足：42a =，945S =，则公差d =________． 【答案】3

【解析】根据945S =，利用前n 项和公式及等差数列的中项，得到5a ，再结合42a =利用通项公式求解. 【详解】 由题意()

199

9452

a a S +=

=， 所以1910a a +=，即5210a =， 得55a =，

故公差54523d a a =-=-=．

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．实数x ，y 满足10220x y x y x y +≤??

-≤??-+≥?

，则3z x y =-的最小值为________．

【答案】4-

【解析】由实数x ，y 满足10220x y x y x y +≤??

-≤??-+≥?

，画出可行域，将目标函数3z x y =-转化

为3y x z =-，平移直线3y x =，当直线在y 轴上的截距最大时，找到最优点，此时，目标函数取得最小值. 【详解】

由实数x ，y 满足10220x y x y x y +≤??

-≤??-+≥?

，画出可行域如图所示阴影部分，

其中，边界点的坐标分别为()2,2A --，14,

33B ??- ?

??

，11,22C ??

???， 将目标函数3z x y =-转化为3y x z =-，平移直线3y x =，当直线经过点()2,2A --时，直线在y 轴上的截距最大，

此时，目标函数取得最小值，z 的最小值为4-． 故答案为：4- 【点睛】

本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.

的等边三角形，且SA SC ⊥，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为________．

【答案】16π

【解析】根据题意，易得ABC V 的中心即为三棱锥S ABC -外接球的球心，求得球的半径，代入球的表面积公式求解. 【详解】

因为SA SC ⊥，所以截面圆SAC V 的外心是AC 的中点， 因为底面ABC 是边长为23

所以其外接圆的圆心为其中心，又因为侧面SAC ⊥底面ABC ，

由截面圆的性质可知：ABC V 的中心即为三棱锥S ABC -外接球的球心， 设外接球的半径为R ，由正弦定理知

23

2sin 60R =?

，解得2R =，

故三棱锥S ABC -的外接球的表面积为24π16πS R ==． 故答案为：16π 【点睛】

本题主要考查球的组合体问题，还考查了空间想象的能力，属于基础题.

16．已知点()1,2P 在抛物线22y px =上，过抛物线的焦点F 作直线l （l 的斜率存在）交抛物线于A ，B 两点，则2AF BF +的最小值为________． 【答案】223

【解析】易得抛物线的方程为2

4y x =，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程

()24,

1,y x y k x ?=??

=-??

，由抛物线的定义得到()122121AF BF x x +=+++，再结合韦达定理利用基本不等式求解. 【详解】

因为点()1,2P 在抛物线2

2y px =上

所以抛物线的方程为24y x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ．

直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程()24,

1,y x y k x ?=??=-??

解得(

)

22

2

2

240k x k x k -++=，

121=x x ，

由抛物线的定义可知：

()

121221212333AF BF x x x x +=+++=++≥=，

当且仅当122,x x ==

所以2AF BF +的最小值为3+，

故答案为：3 【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．

（1）若8b =，12a c +=，求ABC V 的面积；

（2）若ABC V ABC V 周长的取值范围．

【答案】（1；（2）(]8,12. 【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得π

3

B =，根据8b =，12a c +=，由余弦定理可求得ac ，再由正弦定理求解.．

（2）根据ABC V ，由正弦定理可得b ，再由余弦定理得到

【详解】

（1）因为角A ，B ，C 成等差数列，得π3

B =， 根据余弦定理可得

()2

2222cos 3144364b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-=，

解得803

ac =

， 所以11803203

sin 22323

ABC S ac B =

=??=

△． （2）由正弦定理可得

2sin b

R B

=， 所以433

2sin 2432

b R B ==?

?=， 由余弦定理可得2221

cos 22

a c

b B a

c +-==，

所以2216a c ac +-=，因为222a c ac +≥， 所以16ac ≤（当且仅当4a c ==时取等号）， 所以()2

216a c ac ac +--=，

即

()

2

31664a c ac +=+≤，所以8a c +≤（当且仅当4a c ==时取等号，

又因为4a c +>，所以812a b c <++≤， 即ABC V 周长的取值范围是(]8,12． 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱11A C 的中点．

（1）求证：1//BC 平面1AB M ．

（2）若1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，求二面角11M AB C --的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）

2

.

【解析】（1）连接1AB 交1A B 于点D ，连接DM ，则D 为1A B 的中点，M 为棱11A C 的中点，根据三角形中位线得到1DM BC ∥，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）取11B C 的中点O ，连接1A O ，过O 作1ON CC ∥交BC 于点N ，根据1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，得到1OA ，1OB ，ON 两两垂直，以O 为原点，ON ，1OB ，1OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．分别求得平面1AB M 和平面11C AB 的

一个法向量，代入公式1

212

cos n n n n θ?=u r u u r

u r u u r 求解. 【详解】 （1）如图所示：

连接1AB 交1A B 于点D ，连接DM ，则D 为1A B 的中点， 因为M 为棱11A C 的中点，所以1DM BC ∥． 因为DM ?平面1AB M ，1BC ?平面1AB M ， 所以1//BC 平面1AB M ．

（2）取11B C 的中点O ，连接1A O ，过O 作1ON CC ∥交BC 于点N ，

因为1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12AB AC AA ==

=，所以1OA ，1OB ，ON 两两垂直，

故以O 为原点，ON ，1OB ，1OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意可得220,,22M ??

- ? ??

?，()

12,0B ，()10,2,0C ，(2A ，

所以(1AB =-u u u r

，(12,AC =-u u u u r

，2,22AM ?=--- ??

u u u u r ． 设平面1AB M 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r

，

则111

00n AB n AM ??=???=??u v u u u v u v u u u u v ，

即1111112020x x y z ?--=??--=??

，

令1y =

，可得(12,n =-u r

，

设平面11C AB 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r

，

11110

n AB n AC ??=???=??u v u u u v u v u u u u

v ，

即2222222020

x x ?-+=??--=?? 令22z =

可得()

2n =u u r

，

设二面角11M AB C --的大小为θ，

则12

12

cos 3n n n n θ?===u r u u r u r u u r ，

所以二面角11M AB C --

的余弦值为3

． 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.

19．随着经济的不断发展和人们消费观念的不断提升，越来越多的人日益喜爱旅游观光．某人想在2019年5月到某景区A 旅游观光，为了避开旅游高峰拥挤，方便出行，他收集了最近5个月该景区的观光人数数据见下表：

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合旅游观光人数少y （百万人）

与月份编号t 之间的相关关系，请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程?y

bt a =+，并预测2019年5月景区A 的旅游观光人数．

（2）当地旅游局为了预测景区A 给当地的财政带来的收入状况，从2019年4月的旅游观光人群中随机抽取了200人，并对他们旅游观光过程中的开支情况进行了调查，得到如下频率分布表：

若采用分层抽样的方法从开支金额低于4千元的游客中抽取8人，再在这8人中抽取3人，记这3人中开支金额低于3千元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．

（参考公式：?y

bx a =+，其中1

2

21

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx

==-=-∑∑，a y bx =-．）

【答案】（1）?0.320.08y t =+，2百万人；（2）分布列见解析，数学期望为

3

2

． 【解析】（1）根据数据分别求得t ，y ，

5

2

1

i

i t

=∑，

5

1

i i

i t y

=∑，代入5

15

2

21

55i i

i i

i t y t y

b t

t

==-=

-∑∑，求得

b ，a ，写出y 关于t 的回归方程，再令6t =预测即可.

（2）根据分层抽样，开支金额为[)1,2，[)2,3，[)3,4（单位：千元）应抽取的人数分别为1，3，4，则X 0=，1，2，3，分别求得相应的概率，列出分布列再求期望. 【详解】 （1）1234535

t ++++=

=，0.50.61 1.4 1.7

1.045y ++++=

=， 5

2

1

55i i t ==∑，5

1

18.8i i i t y ==∑，5

15

2

2

2518.853 1.04

0.325553

5i i

i i t y t y

b t t

=--??=

=

=-?-∑∑，

所以? 1.040.3230.08a y bt

=-=-?=， 所以y 关于t 的回归方程为?0.320.08y

t =+． 当6t =时，? 2.00y

=，即预计2019年5月景区A 的旅游观光人数为2百万人． （2）由题意知开支金额为[)1,2，[)2,3，[)3,4（单位：千元）应抽取的人数分别为1，3，4，则X =0，1，2，3，

()3438C 410C 5614P X ====，()1244

38C C 2431C 567P X ====，

()214438C C 2432C 567P X ====，()34

38C 413C 5614

P X ====．

所以X 的分布列为

故X 的数学期望为()1331301231477142

E X =?+?+?+?=． 【点睛】

本题主要考查线性回归分析，离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．设点P 为圆223x y +=上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，动点M 满足

PQ =u u u r u u u r

，记点M 的轨迹为E ．

（1）求曲线E 的方程；

（2）已知点()0,1A -，斜率为k 的直线l 与曲线E 交于不同的两点

C ，

D ，且满足

AC AD =u u u r u u u r

，试求k 的取值范围． 【答案】（1）2

213

x y +=；

（2）()1,1-. 【解析】（1）设点(),M x y ，()00,P x y ，则()0,0Q x PQ =u u u r u u u r

可得

00x x

y =???

=??再由点()00,P x y 在圆223x y +=上，将00,x y 代入化简即可.

（2）当0k =时，显然满足题意，当0k ≠时，设l ：()0y kx m k =+≠，与椭圆联立

方程组可得(

)()2

2

2136310k

x

kmx m +++-=，由题意0>V ，即22130k m +->，

①设()11,C x y ，()22,D x y ，得到CD 的中点F 的坐标，根据AC AD =u u u r u u u r

，则有

AF CD ⊥u u u r u u u r ，即1AF k k ?=-，可得2

132

k m +=

，②，将②代入①求解即可. 【详解】

（1）设点(),M x y ，()00,P x y ，则()0,0Q x ，

故()0,MQ x x y =--u u u u r ，()00,PQ y =-u u u r

，

PQ =u u u r u u u r

可得00x x

y =???

=??，

因为点()00,P x y 在圆22

3x y +=上，所以22003x y +=，

所以)

2

2

3x

+

=，

即曲线E 的方程为2

213

x y +=．

（2）当0k =时，显然满足题意，当0k ≠时，设l ：()0y kx m

k =+≠，

联立方程组可得22

,1,3

y kx m x y =+???+=??，即()()

222

136310k x kmx m +++-=， 由题意0>V ，即22130k m +->，① 设()11,C x y ，()22,D x y ，

由根与系数的关系可得：122613km x x k +=-+，()

21223113m x x k

-=+，

则CD 的中点223,1313km

m F k k ??-

?++??

，

又因为AC AD =u u u r u u u r ，所以AF CD ⊥u u u r u u u r ，

所以1AF

k k ?=-，即2

2

11313013m

k k km k ++?=---+，

化简可得2

132

k m +=，②

将②代入①可得2

22131302k k ??++-> ???

，化简可得2

1k <，

解得()()1,00,1k ∈-?，综上可得k 的取值范围是()1,1-． 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．已知函数

()()22ln f x x x x =-，()2g x x ax =-．若函数()f x 的图象在点

()()1,1f 处的切线l 与()g x 的图象也相切．

（1）求l 的方程和a 的值； （2）设不等式()()()23202m f x a x m x m -??≥-++->

???

对任意的1,e e x ??

∈????恒成

立，求实数m 的取值范围．

【答案】（1）10x y +-=，1a =；（2）(]0,3

【解析】（1）求导()()21ln 2f x x x x '=-+-，再求得()()1,1f f '，写出切线l 的方程，设直线l 与()g x 的图象相切于点()00,x y ，()12g x ax '=-，由

2

00001211,ax x ax x -=--=-求解.

（2）将不等式()()()23202m f x a x m x m -??≥-++->

???

，对任意的1,e e x ??

∈????恒成

立，转化为()

()2

212ln 202m x x x x m x --+

--≥，对任意的1,e e x ??

∈????

恒成立，记()()()22

12ln 22

m h x x x x x m x -=-+

--，用导数法求其最小值，由()min 0h x ≥求解.

（1）()()()

()2

1

22ln 221ln 2f x x x x x x x x x

'=-+-?

=-+-， 所以()11f '=-，()10f = 故切线l 的方程为()1y x =--， 即l ：10x y +-=，

设直线l 与()g x 的图象相切于点()00,x y ，()12g x ax '=-，

由题意可得02

0000

012110

ax x ax y x y -=-??-=??+-=?，解得1a =．

（2）由1a =，得不等式为()()2

3122m f x x m x -??≥-++-

???

，

等价于不等式()()2

2

12ln 202

m x x x x m x --+

--≥， 记()()()2

212ln 22

m h x x x x x m x -=-+--， ()()()12ln 1,e e h x x m x x ??

'=+-≤≤ ???

，

令()0h x '=得1x =或()2

e

0m x m -

=>．

①当2m ≥时，12e e m

--≤（舍去），所以1x =．

当1,1e x ??

∈ ???

时，()0h x '<，当()1,e x ∈时，()0h x '>， 所以()()()min 1

1302

h x h m ==-

-≥恒成立， 故3m ≤，此时m 的取值范围是23m ≤≤． ②当02m <<时，1

2

e e

1m --<<，

当2

1,e e m x -??∈ ???

时，()0h x '>，当2e ,1m x -??∈ ???时，()0h x '<，当()1,e x ∈时，

()0h x '>，

所以()1min 1,0e h h ????

≥?? ?????，即8e 32e 13

m m -?≤?-??≤?，

综合①②可知03m <≤， 所以实数m 的取值范围是(]0,3． 【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化回归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.

22．已知曲线C

的参数方程为212x y αα?=????=-??

（α为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；

（2）设直线l

的参数方程为cos 23sin 2x t y t αα?=+????=-+??

（其中t 为参数），若l 与曲线C 相交于A 、B

两点，且

AB =l 的斜率．

【答案】（1

）2cos sin 4ρθρθ=

-+；

（2

）k =

k =【解析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数得到直角坐标方程，然后将2

2

2

x y ρ+=，

cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线C 的极坐标方程.

（2）将直线l

的参数方程cos 3sin 2x t y t αα?=????=-+??

代入圆的直角坐标方程得22sin 40t t α--=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，利用参数的几何意义，

由

12AB t t =-==求解.

【详解】

（1）由曲线

C 的参数方程消去参数得：2240x y y +-+-=．① 将2

2

2

x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，

代入①可得曲线C 的极坐标方程为2cos sin 4ρθρθ=-+．