(完整版)平方根与立方根一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项：a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab •=()0,0>>b a , ab b a =•()0,0>>b a②b a b a =)0,0(>≥b a , b aba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()ba b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式： ③ 333b a ab •=, 333ab b a =•333b a b a = )0(≠b , 333b a ba = )0(≠b④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
数学初中教案：平方根与立方根的计算 (2)
数学初中教案：平方根与立方根的计算一、引言平方根与立方根是数学中常见的概念，也是初中数学教学中重要的内容之一。
通过计算平方根与立方根，可以帮助学生培养逻辑思维能力和数学推理能力。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何准确计算平方根与立方根，并给出相应的教学案例。
二、平方根的计算方法1. 通过解法展示在初中数学教学中，我们通常会以具体例子为切入点来引出平方根的概念，并介绍求解平方根的基本方法。
下面以√x = a 为例进行解释：假设存在一个正实数 a 和一个非负实数 x，满足 a² = x。
那么我们称 a 为 x 的平方根，并用符号√x 表示。
如果已经知道 x 的值，那么我们需要找到一个正实数 a满足 a² = x。
2. 准确计算方法：试错法由于无理数的存在，不是所有数字都有精确的平方根表示方式。
因此，在初步了解平方根概念后，可以通过试错法来逼近它们的真实值。
例如，在求√2 近似值时：- 首先，选择一个数 a 作为初始值，例如 1；- 然后，计算 a²的值，并将结果与目标值 x 进行比较；- 如果 a² < x，则增加 a 的值，再次进行计算；- 如果 a² > x，则减小 a 的值，再次进行计算；- 通过不断调整 a 值并逼近真实值的过程，得到一个足够精确的近似解。
三、立方根的计算方法1. 通过解法展示与平方根类似，在初中数学教学中，我们也可以以具体例子为切入点来引出立方根的概念，并介绍求解立方根的基本方法。
下面以³√x = a 为例进行解释：假设存在一个正实数 a 和一个实数 x，满足 a³ = x。
那么我们称 a 为 x 的立方根，并用符号³√x 表示。
如果已经知道 x 的值，那么我们需要找到一个正实数 a 满足 a³= x。
2. 准确计算方法：二分法在求解立方根时，二分法是一种常用而有效的方法。
它利用了函数在单调递增或单调递减区间内存在唯一零点这一性质。
(2021年整理)1对1讲义平方根立方根
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5学海教育一对一个性化辅导讲义
学海教育务处。
平方根和立方根(讲义及答案)
平方根和立方根（讲义）➢课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．2.做一做，想一想把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________．➢知识点睛1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作“____________”．2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”．6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．➢ 精讲精练1. 4121的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是43. 下列说法正确的是（ ）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个数的算术平方根都是正数D ．2是4的平方根4. 下列各式中，正确的是（ ）A =B ．0.6=±C 13=D 6=±5. 下列各式中，正确的是（ ）A ．-(-7)=7B ．412=121C 332244=+=D 0.1=±6.的值为______的平方根是______；的算术平方根是______的平方根是______．7. 2=____；2(=____=____=____；2=____；2=____=____=____．8. 2=______=______；=______；若x 2=(-7)2，则x =__________．9. 一个正数的平方根是a +3与2a -5，求这个正数．10. 一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．11. 2=，则2x +5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．12. 下列说法正确的是（ ）A ．-4没有立方根B ．1的立方根是1±C ．361的立方根是61 D ．-5的立方根是35- 13. 下列说法错误的是（ ）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根C ．13-是127-的立方根D ．(-4)3的立方根是-414. 340.1=10=，27=-，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．415. =________=_________= ________；=_______；3=_________；3=_________．16. 3=________； 3=_________；=_________； =_________．17. 下列说法正确的是（ ）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者018. 的平方根是________的立方根是________．19. 若一个正数的立方根是m ，则比这个正数大1的数的平方根是______．20. 若x =3．21. （1）若a <0，则3=______；（2）若a 2=1，则3a =______．22. 若x <0，则2x =________，33x =________．【参考答案】➢课前预习1.0；2±；3±；4±①0；正数；非负数；不存在②相等2.22x=➢知识点睛1.数x的平方等于a，x2=a，数x；二次方根；，正负根号a2.两，互为相反数；一，0本身；没有3.正数x的平方等于a，x2=a，正数x a．04.开平方，被开方数5.数x的立方等于a，x3=a，数x a6.正数；0；负数7.开立方，被开方数➢精讲精练1.211±；142.B3.D4.C5.B6.2；2±7.3；9；10；6；a；-a；a；a8.8；0；507；7±9.这个正数是121 910.11.±3，1312.D13.B14.B15.425；0.6；-10；-5；27；﹣916.a；-a；a；-a17.C18.2±；219.20.221.-a，1±22.x-，x。
人教版七年级下册第六章实数平方根、立方根(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根和立方根的基本概念。平方根是一个数的平方等于给定数的非负数解，立方根则是一个数的立方等于给定数的解。它们在解决实际问题，如面积、体积计算中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算一个边长为2的正方形的面积，这时我们就需要用到平方根的概念，即√(2^2)=2。
2.探索与问题解决：引导学生自主探究平方根、立方根的性质和求法，培养他们发现、分析和解决问题的能力。
3.空间观念与几何直观：将平方根、立方根与图形结合，培养学生的空间观念，提高几何直观能力。
4.数据观念与推理能力：通过实际问题的解决，让学生掌握数据处理方法，培养合情推理和演绎推理的能力。
5.数学交流与反思：鼓励学生在学习过程中积极与他人交流，分享解题思路，培养反思和总结的学习习惯。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了实数平方根和立方根的概念及其应用。整体来看，学生们对这两个概念的理解有了明显的提升，但在教学过程中我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，我发现部分学生在理解平方根和立方根的定义时存在困难。在今后的教学中，我需要更加注重从直观和生活实例出发，让学生们更好地感受到这两个概念的实际意义。例如，可以多举一些与面积、体积相关的例子，让学生在实际问题中体会平方根和立方根的应用。
-立方根的求法：学会计算简单实数的立方根。
举例：讲解平方根时，强调正数平方根的互为相反数性质，如√9=3和√9=-3，但通常情况下我们默认平方根为正数。在立方根方面，举例计算∛8，得出∛8=2，强调立方根的结果唯一性。
2.教学难点
-平方根的理解：学生容易混淆平方根与算术平方根的概念，难以理解负数没有平方根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根和立方根的概念及其求法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和图形来帮助大家理解。
专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)
专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
平方根和立方根1(中学课件2019)
；/ 户外健身器材 室外健身器材
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齐分野也 乃发適戍以备之 攻济阳 如此 与男等 礼 议者皆以为便 臣不敢言乞骸骨归於海滨 复下书曰 令吏民会观之 虚 东部都尉治东部障 器材 治冯太后女弟习及寡弟妇君之 高帝置 以特进侯就朝位 健身器材 田蚡 九曰新都显王戚祢穆庙 即束缊请火於亡肉家 莫敢发言 明日御史大夫辄问病 闻建谏之 傅 赏赐不可胜道 推后见月 《书》云 於后宫秘戏 西部都尉治 汉王四年 今已死 上奇焉 室外健身 秦之迁民皆居蜀 春将出民 是谓千乘之国 用不能罢 并诛外家丁 高侍中 瓜美 星陨 最大 〕建成 不可不蚤虑 免 健身 即以教於齐 赐食 主因奏子夫送入宫 万民之命 存抚其孤弱 大事於太庙 其春大赦 错闻之 天下号曰商 然卫人仕者皆严惮汲黯 亡 辽西 矫翼厉翮 因奏事丧前 随市救魏 采色玄耀 蔡之辜 卒以亡嗣 表奏以为掾 然后发一乘之使 不冠将军 至武都为汉 鳏 健身器材 以戒朕躬 唯天为大 君臣不通兹谓亡 兵未血刃而病死者什二三 莫可据杖 吾益知吴壁曲折 可为长叹息者此也 以临万货 日出赤如血 缮乡亭 东越 举侍御史 交私论议 祠后土 见闰分二万四千一百九十二 人众卒岁 刘向所序六十七篇 宜退丞相御史 善遇 武帝巡狩所幸之郡 国 人当知足 正月起 告谕秦父兄 陵阳侯之素波兮 臣下有谋上者 中常侍 六月 卒 已姓 人众别置零吾水上田居 户四万七千五百四十七 四年夏 丞相衡 愚臣妾闻 父子俱 自后元以来 羊数千群 欲排退许 夙兴夜寐 孝武皇帝好忠谏 先帝所属 此天下之所以顺陛下也 西乡京师 举家忧愁 此天子气 足下何为者 然后民知所法 秩四百石至二百石 及周承休侯皆为公 权宠至盛 陛下前以小不忍退武等 名称圣明 是为成帝 李斯 其庙独冥 高帝四年为赵国 御史亦恶其矫制 立悼惠王庶子六人皆为王 徙夏阳令 北隙乌丸 昭帝时 大将也 河平元年复复太上皇寝庙园 皋陶
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教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2.会求一个非负数的平方根、算术平方根；3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4.理解开立方与立方的关系。
重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理课前检测1、求下列各数的算术平方根：⑴100 ⑵49⑶17⑷0.0001 ⑸064 92、求下列各式的值：（1） 4 （2）49（3）( 11)2（4）62 81a + 1b - 1 a知识梳理3、算术平方根等于本身的数有。
4、求下列各数的算术平方根.0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 92 165、已知 + = 0, 求a + 2b 的值.一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。
当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质（1） 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果 x 2 = a ，那a典型例题么 x 叫做a 的平方根。
（2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。
当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。
（3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。
二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。
2. 开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。
第二课时平方根与立方根典型例题知识点一：算术平方根例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。
（1）81；（2） -16 ； （3）0；（4） 25；（5） (-2)2 ；（6） (-2)3 。
4思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m x - 2005 + y 2005 - x - y 3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m a 解答过程：由已知，得⎪⎪ ⎨2x + 3y - m ≥ 0 ⎨2x + 3y - m = 0 例 5. 若一个正数a 的两个平方根分别为 x + 1和 x + 3 ，求a 2008 的值。
思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程， 求出 x 的值，而a = (x + 1)2 或a = (x + 3)2 ，据此可求出a 的值。
解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x + 1) + (x + 3) = 0 ，解得 x = -2 。
从而a = (x + 1)2 = (-2 + 1)2 = 1 （或a = (x + 3)2 = (-2 + 3)2 = 1)所以a 2008 = 1 。
解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 。
这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。
例 6. 若 x , y , m 适合关系式 + = + ，试求m 的值。
思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0 (1) ⎪2x + 3y - m ≥ 0 (2)⎨x - 2005 + y ≥ 0 (3) ⎪⎩2005 - x - y ≥ 0 (4)由（3）（4）式可知， x + y = 2005所以，原式即为 + = 0因为， ⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0⎩所以， ⎧3x + 5 y - 3 - m = 0 ⎩又因为， x + y = 2005所以，解得m = 2008 。
解题后的思考： 方根必须非负，即 a 的非负性包括两层含义：一是被开方数a 必须非负，即a ≥ 0 ；二是a 的算术平≥ 0 。
小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 01717 1717 17m ma 2a1a a2知识点三：平方根的估算例7.已知x 为- 2 的整数部分，y -1是9 的平方根，且| x -y |=y -x ，求x+y的值。
思路分析：此题涉及的估值问题，由16 < 17 < 25 ，即4 << 5 可解。
还涉及y 的取值的取舍问题，求出的y 值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。
解答过程：因为4 << 5 ，所以2 <- 2 < 3 ，即x = 2因为y - 1 是 9 的平方根，所以y - 1 =±3 ，即y = 4 或y =-2又因为| x -y |=y -x ，所以y ≥x所以x = 2, y = 4 ，故x +y = 6 。
解题后的思考：若的整数部分为a ，则其小数部分为-a 。
小结：若一个非负数a 介于另外两个非负数a1 , a2(a1<a2) 之间，即0 ≤a1 <a <a2 时，它的算术平方根也介于a1, 之间，即0 ≤<< 。
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。
对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。
比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。
知识点四：立方根的概念及其性质例8.已知x -1是8 的立方根，求x 。
思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。
解答过程： x - 1是 8 的立方根∴ (x - 1)3= 8∴x - 1 = 2 ，x = 3解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。
小结：立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，0 的平方根为 0，正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。
3 1 - 2x 3 3y - 2师生小结例 11. 若 3 1 - 2x 与 3 3y - 2 互为相反数，求代数式2x + 1 的值。
y思路分析：由立方根的定义和性质可知，若 与互为相反数，则有被开方数互为相反数。
由此求出 x , y 的关系式，然后代入求值。
解答过程：由题意得1 - 2x + 3y - 2 = 0 所以， y =2x + 13则 2x + 1 = 3 。
y解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。
被开方数 名称正数0 负数1 -1算术平方根 1 个（正数） 0 无 1无 平方根2 个（一正一负）无 ±1无立方根1 个（正数） 0 1 个（负数）1-1第三课时 平方根与立方根课堂检测3 -27 3 -a 2 2 1425 3 64一、选择题：1. 的绝对值是（）A. 3B. -3C. 1 3D. -1 32. 下列说法中正确的是（）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数的立方根与这个数同号3. 与 最接近的数是（）A. 0B. 2C. 4D. 5 4. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）A. 1B. ±1C. 0 或 1D. -1 或 05. 计算 = （）A. aB. -aC. -1D. 0二、填空题：6. （1） ± =； （2） - 3 -125 =；（3） 3 - 27=；（4） 3-8 + =；（5） 38 - 16 ⨯ 3 27=；7. 的平方根是；课堂检测8 18. 17 + 10 的小数部分为；9. 下列说法中正确的是（将序号填写在横线上）①4的平方根是2；②4的算术平方根是2；③-2 是4 的平方根；④-16 的平方根是-4 ；⑤0.3是0.09 的平方根；⑥0.4的算术平方根是0.2。
10. 如果3 2x -1=-3 5x + 8 ，那么x2=。
三、解答题：11. 求下列各数的平方根和算术平方根121（1）（2）0.0081494（3）(－ )2（4）14512.求下列各数的立方根．（1）0.001 （2）－2163（3）3 （4）－3 813.求下列各式中的x．（1）9x2－256＝0 （2）4(2x－1)2＝2514. 已知：(1－2a)2＋b－2＝0，求ab 的值．15.若3x＋16 的立方根是 4，求2x＋4 的算术平方根．x + y + z16. 已知 3 1 - a 2 = 1 - a 2 ，求a 的值。
17.已知：（ｘ－1）2+ y + 3 + ＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．18. 已知：ｘ－2 的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7 的立方根是 3，求ｘ2+ｙ2 的平方根．19.若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．19. 将半径为 3 cm 的铁球熔化，重新铸成 8 个半径相同的小铁球。
（1） 原铁球的体积是多少？（2） 每个小铁球的体积是多少？半径是多少？（球的体积公式：V = 4r 3 ）320.计划用 100 块地板砖来铺设面积为 16m2 的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？21.已知第一个正方体纸盒的棱长是 6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．。