招聘考试学科专业知识小学数学

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小学数学

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

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第一部分 集合与简易逻辑

一、函数

1.（函数）若函数???

??<->=0)(log 0log )(2

1

2x x x x x f ，，，若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是-11。

【解析】 当a>0时，由f(a)>f(-a)得log2a>log1/2a,即log2a>-log2a,可得：

a>1;

当a<0时，同样得log1/2(-a)>log2(-a),即-log2（-a ）>log2(-a).可得：-

1

综上得：-11.

二、数列

2.（数列）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且An/Bn=(7n+45)/(n+3),则使得An/Bn 为整数的正整数3的个数是 5 。

【解析】 an/bn=(7n+21+24)/(n+3)

=(7n+21)/(n+3)+24/(n+3)

=7+24/(n+3)

所以24/(n+3)是整数

所以n+3=1,2,3,4,6,8,12,24

且n>=1

所以n=1,3,5,9,21

有5个

3.（数列）等比数列{a

n

}中，a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f(0)=0【解析】因为里面有一个因式x，x等于0，所以f(x)=0

4. （数列）（2010江西）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f′（0）=（C）

A．26B．29C．212 D．215

【考点】导数的运算；等比数列的性质．

【分析】对函数进行求导发现f’（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．

【解析】考虑到求导中f’（0），含有x项均取0，

得：f’（0）=a1a2a3…a8=（a

1a

8

）4=212．

故选C

【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．

三、三角函数

5. （三角函数）θ=2π/ 3 是tanθ=2cos（π/ 2+θ)的什么条件

【解析】当θ=2π/3时，

tanθ=tan(2π/3)=tan(-π/3)=-tan(π/3)= - 根号3

2cos(π/2+θ)=2cos(π/2+2π/3)= - 2sin(2π/3)= - 2sin(π/3)= - 根号3

所以tanθ=2cos(π/2+θ)

但当θ=2π/3+2π时，显然tanθ=2cos(π/2+θ)也成立，

所以θ=2π/3 是tanθ=2cos（π/2+θ)的充分不必要条件

6. （三角函数）在三角形OAB中，O为坐标原点，A（1,cosθ），B（sinθ,1）, θ∈(0,π/2]，则当三角形OAB的面积达最大值时，θ=π/2

【考点】正弦定理．

【专题】综合题；数形结合．

【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位

圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平

行线交于P ，角θ如图所示，所以三角形AOB 的面积就等于正方形OMPN 的面积减去三角形OAM 的面积减去三角形OBN 的面积，再减去三角形APB 的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大时θ所取的值．

【解析】如图单位圆O 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ，

过M ，N 作y 轴和x 轴的平行线交于P ，

则S △OAB =S 正方形OMPN -S △OMA -S △ONB -S △ABP

=1 -

21（sin θ×1）- 21（cos θ×1）- 2

1

（1-sin θ）（1-cos θ） =

21 - 21sincosθ= 21 - 4

1

sin2θ 因为θ∈（0，π/2]，2θ∈（0，π]，

所以当2θ=π即θ=π/2时，sin2θ最小，

三角形的面积最大，最大面积为

2

1

． 故答案为：π/2

【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．

7. （三角函数）E,F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF 等于

【解析】设∠ECF=α，∠ACE=∠BCF=β，则α=90°-2β

故tanα=tan(90°-2β)=cot2β=1/tan2β=(1-tan2β)/2tan

β (1)

过F作FD⊥BC，D为垂足，则△BFD～△BAC，BF/BA=BD/BC=FD/AC=1/3，设AC=BC=1，故

BD=FD=1/3，tanβ=FD/CD=(1/3)/(1-1/3)=1/2，代入(1)式即得：

tan∠ECF=tanα=(1-1/4)/(2×1/2)=3/4

8. （三角函数）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，b/a+a/b=6cosC，则tanC/tanA+tanC/tanB= 4

【解析】∵a/b+b/a=6cosC，

∴a/b+b/a=6(a2+b2-c2)/2ab

∴c2=2(a2+b2)/3 ①

tanC/tanA+tanC/tanB

=tanC(cosA/sinA+cosB/sinB)

=tanC(cosAsinB+sinAcocB)/(sinAsinB)

=tanCsinC/(sinAsinB)

=sin2C/(sinAsinBcosC)

=c2/（abcosC）

=c2/ab*[(a2+b2)/6ab] （由 b/a+a/b=6cosC替换）

=6c2/(a2+b2) （由①替换） =4

9. （三角函数）（2010江西）已知函数f （x ）=（1+cotx ）sin 2x+msin （x+π/4）sin （x-π/4）．

（1）当m=0时，求f （x ）在区间[

8π,4

3π]上的取值范围； （2）当tana=2时，f(α)=3/5，求m 的值． 【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化． 【专题】综合题．

【分析】（1）把m=0代入到f （x ）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f （x ）化为一个角的正弦函数，利用x 的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f （x ）的值域；

（2）把f （x ）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x 和cos2x 的式子，把x 换成α，根据tan α的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f （α）=中得到关于m 的方程，求出m 的值即可． 【解析】（1）当m=0时，

f （x ）=（1+cotx ）sin 2x=（1+

x

x

sin cos ）sin 2x =sin 2x+sinxcosx=

2sin2x +cos2x -1=]1)4

2sin(2[21+-π

x ，

由已知x ∈[

8π,43π]，得4

2π

-x ∈[22-,1]，从而得：f （x ）的值域为[0, 221+]．

（2）因为f （x ）=（1+cotx ）sin 2x+msin （x+

4π）sin （x-4

π

）

=sin 2

x+sinxcosx+2

)

cos -x m(sin 22x

=

2cos2-1x +2sin2x -2

mcos2x

=2

1]2cos )1(2[sin 21++-x m x 所以5

3

21]2cos )1(2[sin 21)(=++-=αααm f ……①

当tan α=2，得：5

4tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222=+=+=

ααααααα，53

2cos -=α，

代入①式，解得m=-2． 四、向量代数与空间解析几何

10. （向量代数与空间解析几何）设向量a 同时与向量b =a （3，1，4）及向量c

=（1，

0，1）垂直，则下列向量中为与a 同方向的单位向量的是 )1,1,1(31

-±=a 【解析】b ×c

=（3，1，4）×（1，0，1）=（1，1，-1）

由a 与b ，c 都垂直，可设AB ，AC ，AD ，a

=λ（1，1，-1）

由a 为单位向量，13=λ，故31±=λ，于是a

=3

1±（1，1，-1）

【知识点】向量积行列式表示

)x b y a y b x ,a z b x a x b z ,a x b z a z b y (a k y

b

x

b

y a

x a j x

b z

b

x a z a i z

b y

b

z a y a z b y

b x

b

z a y a x a

k j i b a ---=++=

=?

11. （向量代数与空间解析几何）直线L1：???=--+=+--010

8732z y x z y x 与直线L2：

?

?

?=++-=+--0750

22z y x z y x （ A ） A 、异面 B 、相交于一点

C 、平行但不重合

D 、重合

【解析】列出增广矩阵，用高斯消元法求解：

7

52218732---------z

y

x

z y x z y x z y x →

代入发现方程组无解，所以两直线异面

12. （向量代数与空间解析几何）直线2x-3y-7z+8=0 x+y-z-2=0 与直线2x-5y+z+2=0 x-5y+z+7=0的位置关系是

A 、异面

B 、相交于一点

根据答案选项可以知道没有平行这一项，则2直线方向向量必定不平行，所以只考虑两条直线有没有交点

题目给出的是直线的交面式，若两直线有交点，那么题目中的4个平面一定有一个交点 列出增广矩阵，用高斯消元法求解：

| 2x -3y -7z -8 | | 2x -3y -7z -8 | | 2x -3y -7z -8 |

| x y -z 2 | ------> | x y -z 2 | ------> | 0 0 z 27/4 |

| 2x -5y z -2 | | 2x -5y z -2 | | 0 y 0 15/4 |

| x -5y z -7 | | x 0 0 5 | | x 0 0 5 |

代入发现方程组无解，所以两直线异面

13.（向量代数与空间解析几何）方程??

?-==+-3254222x z y x 表示（ D ） A 、单叶双曲面

B 、双曲柱面

C 、双曲柱面在平面x=0上投影

D 、x=-3平面上双曲线

【解析】1.单叶双曲线

2.双叶双曲面

五、直线和圆

14. （直线和圆）已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x^2+y^2=2x,两个交点，求斜率K取值范围

【解析】依题意

得:

y^2+x^2-2x=0

(x-1)^2+y^2=1

是一个以（1,0）为圆心，1为半径的圆

设直线为y=kx+b

过点（-2,0）b=2k

y=kx+2k 也就是 kx-y+2k=0

如果有两个交点，那么圆心到直线的距离要小于1

距离公式d=|k+2k|/(k^2+1) <1

得到k^2<1/8

那么 k的取值（-根号2/4,根号2/4）

15.（直线和圆）从点P（m,3）向圆C：(x+2)^2+(y+2)^2=1，引切线，则切线长的最小值为2√6

【解析】圆心到点P(m,3)的距离d=√[(m+2)^2+(3+2)^2]=√(m^2+4m+29)

切线长=√(d^2-r^2)

=√(m^2+4m+28)

=√[(m+2)^2+24]

当 m=-2时，切线长的最小值=√24＝2√6

验证：当P(-2，3)，

则圆心(-2,-2)到点P(-2,3)的距离d=5，r=1，

所以用勾股定理求切线长，是切线长=√(d^2-r^2)=√24＝2√6

16.（直线和圆）P为双曲线x^2/9-y^2/16=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)^2+y^2=4和(x-5)^2+y^2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为

【解析】设左焦点为E，右焦点为F

要使目标最大，则PM尽可能的大，而PN尽可能的小

于是PM最大为PE＋2，而PN最小为PF－1（圆外一点到圆上距离最大最小的点是连接这一点与圆心的线与圆的交点）

故目标的最大值为（PE+2)-(PF-1)＝PE-PF+3＝8-2＋3＝9

17.（直线和圆）设直线ax-y+3=0与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2√3，则a=0

【解析】由题得圆心（1，2），半径=2

又因为弦AB的长为2√3

所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O的距离=√(2^2-√3^2)=1（已知弦长，半径，利用勾股定理，可求得圆心到弦长的距离）

所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O 的距离=｜a-2+3｜/√(a^2+1)=1（点到直线的距离d=|Aa+Bb+C|/√(A^2+B^2)）

解得a=0

18.（直线和圆）过点（1，2）总可以作两条直线与圆x^2+y^2+kx+2y+k^2-15=0相切，则实数k 的取值范围（2,8√3/3）∪(-8√3/3,-3)

【知识点】圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x

1）

当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心C )2

,2(E

D --

，半径r=2422F E D -+。

2）

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2

,2(E D --

。 3）

当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）。

4）

注意：○1圆的参数方程：)(sin cos 为参数θθ

θ???+=+=r b y r a x 。○2方程0A 22=+++++F Ey Dx Cy Bxy x 表示圆的充要条件是：B=0且A=C ≠0且

0422>-+AF E D

5） 点的圆的位置关系

给定点M （x 0,y 0）及圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2。

○

1M 在圆C 内 等价于 (x-a)2+(y-b)2

2M 在圆C 上 等价于 (x-a)2+(y-b)2=r 2;

○3M在圆C外等价于 (x-a)2+(y-b)2>r2.

【解析】首先…由题意判断点在圆外。圆心坐标,-1)，半径为√(16－

根据等量关系“点到圆心距离大于半径”列式，

即(1+k/2)2+(2+1)2>，解得k>2或k<-3。

验证半径是否存在，也就是D^2+E^2-4F>0，

即√(16－^2)>0，解得k2<64/3即-8√3/3

因此（2,8√3/3）∪(-8√3/3,-3)。

19.（直线和圆）直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2√3，则k的取值范围-3/4≤k≤0

【解析】根据题意知：kx-y+3=0，r=2

∵MN≥√3/2

∴圆心距≤√[r2-(MN/2)2]=1

即|3k-2+3|/√(k2+1)≤1

9k2+6k+1≤k2+1

8k2+6k≤0

-3/4≤k≤0

20.（直线和圆）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B两切点，那么向量的最小值为-3+2√2

【解法一】

设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，

则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），

sinα=1/根号（1+x^2），

向量PA向量PB=|PA||PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)

=（x^4-x^2）/（1+x^2），

令向量PA向量PB=y，

则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），

即x^4-（1+y）x^2-y=0，

由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，

y^2+6y+1≥0

解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,

方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,