07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案)

07-13年广东高考数学理科数列真题(含答

案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

5.已知数列{a n }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

21.（本小题满分14分）

已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()

1,(1,2,)()

n n n n f a a a a n f a +==-

=', (1)求αβ、的值；

(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>; (3)记ln

(1,2,)n n n a b n a β

α

-==-,求数列{}n b 的前n 项和n S .

2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =，420S =，则6S =（ ）

A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

21．（本小题满分12分）

设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，

22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，

…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1

4

q =

，求{}n x 的前n 项和n S ．

４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,

n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -++

+=（ ）

Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -

21．（本小题满分14分）

已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（２）证明：13521n n n

x

x x x x y -???

?<

<

4.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a ?=, 且4a 与72a 的等差中项为5

4

,则5S =

A.35

B.33

C.31

D.29

2011年广东高考理科卷

11. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=____________.

20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1

1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n ，1

1 1.2

n n n b a ++≤+

11.已知递增的等差数列{}n a 满足

2

1321,4

a a a ==-，则

n a =

_____________

19. （本小题满分14分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。 求a 1的值；

求数列{a n }的通项公式。 证明：对一切正整数n ，有

121113 (2)

n a a a +++<.

答案解析

2007年广东高考理科卷

5. 答案为：B

解析:由2

9n S n n =-，可根据11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?.

解得210n a n =-.

再根据5＜2k －10＜8,解得7.5＜k ＜9,∴k =8.

21.解:(1) 由 210x x +-=

得12

x -±=

α∴=

β= (2)(数学归纳法)①当1n =时

,11a =>

命题成立; ②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,

即k a >

21511

11822121

2

22

2

k k

k k k a a a a a α+++∴=

=+

-

≥=++

,

又等号成立时k a

=

k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立; 由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.

(3) ()21f x x '=+ 22

111

2121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=

++ 1n a β+∴-=2

222

1()(1)()212121

n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==

+++ 同理 1n a α+∴-=2()21

n n a a α-+21111()ln 2ln n n n n n n n n a a a a a a a a β

βββαααα++++----∴=∴=---- ∴ 12n n b b += 又

1111ln

4ln

2a b a βα-===-

∴数列{}n b 是一个首项为

4ln

公比为2的等比数列; ∴

)(

)14ln

12242112n n n S +-=

=--.

2008年广东高考理科卷

2．答案为： D

【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S

21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ

，得αβ

∴+==p αβ

，==q αβ

（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-

得，+=??=?s t p

st q ，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，

由题意可知，12,==s s αβ ①当≠αβ时，此时方程组+=??

=?s t p

st q

的解记为1212

==???

?

==??s s t t αα

ββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ

即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-=x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ，22221()---==n n n x x βαααα

1()-∴-=-n

n

n x βαβα，即1--∴=-n n n x βαβα，11

++-∴=-n n n x βαβα

②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知

2121()---=-n n n x x x x ααβ，=αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα

即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n α，得

1

1

1--=

+n

n n

n x x α

α

，即

1

1

1---

=n

n n

n x x α

α

∴数列{

}n

n x α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-?=+-=+n n

x x n n n αααα

∴=+n n n x n αα，综上所述，11

,(),()++?-≠?=-?

?+=?

n n n n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q =

代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12

==αβ 11()()22∴=+n n n x n ，232311111111()()()...()()2()3()...()2

2222222n n n S n ????=+++++++++ ? ????? 2311

1111()()2()3()...()22

222n n n ??=-+++++ ???

11111

1()2()()3(3)()2222

n n n n n n -=-+--=-+.

2009年广东高考理科卷

4. 答案为： C

解：在25252(3)n n a a n -?=≥中，令n=5,得25102

5)2(2==a ，令n=3,得6152=?a a ，又0,1,2,

n a n >=，所以552=a ，21=a ，

从而解得，公比2=q ，n n a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ，

所以2123221log log log n a a a -+++=1+3+…+（2n-1）=22

)

121(n n n =-+

21.（1）解：曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-， 所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆，切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，

联立???=+-+=02)1(2

2y nx x x k y n ，消去y 整理，得0)22()1(222

2=+-++n n n k x n k x k ，① 2

22222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=?，0>n k 令0=?，解得1

222

+=n n k n

， 1

2+=n n

k n

此时，方程①化为01

2)2122()121(222

2=++-++++

n n x n n n x n n

整理，得[]0)1(2

=-+n x n ，解得1

+=

n n

x x ， 所以 121)11

(

12++=+++=

n n n n n n n

y n ，

∴数列}{n x 的通项公式为1+=n n x x ，数列}{n y 的通项公式为121++=n n n

y n 。

（２）证明：∵1211

11111+=++

+-

=+-n n n n n x x n n ，

121

21

4)12(4)12(2122

222+-=--<-=-n n n n n n n n ∴121

275533121265432112531+-????<-????=????-n n n n x x x x n

=121+n =n n x x +-11， ∵121+=n y x n n =n n x x +-11，又4311210π<≤+<

n 令x y x n n =，则4

0π

<

0π

<

设函数x x x f sin 2)(-=，40π

<

则x x f cos 21)(-='，4

0π

<

∵ 在区间???

??4,0π上x x f cos 21)(-='为增函数，

∴当40π<

cos 21cos 21)(=-<-='π

x x f ，

∴x x x f sin 2)(-=在区间??

?

??4,0π上为单调递减函数，

∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=

0π

<

∴

x x sin 2<

，即n n x x +-11=

n n n n

y x y x sin 2< 综上，得13521n n n

x

x x x x y -????<

<

2010年广东高考理科卷

4.答案为：C

∵数列{}n a 为等比数列，∴231412a a a a a ==，∴4a ＝2.

又∵4a 与27a 的等差中项为

54，即有475224a a +=?，∴714

a =. ∴37418a q a =

=.∴q ＝12，116a =.∴551161231112

S ??

??-??

???????==-. 2011年广东高考理科卷

11.答案为 10.

由题意可知，94S S = ，所以70a =，则104720a a a +==，10k ∴= 20．解（１）法一：

112(1)n n n a ba n a n --=+-，得111

2(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+?， 设

n n n b a =，则121

n n b b b b

-=?+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1

2

为公差的等差数列， 即111

(1)222

n b n n =

+-?=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=?+，则122

(1)n n b b b b

λ-=?+-，

令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b

-∴+=?+--(2)n ≥，

知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+?--，又11

b b

=，

12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=?-=?---，(2)

2n n n n

nb b a b

-∴=-． 法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1

2

为公差的等差数列， 即111

(1)222

n b n n =

+-?=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，332233

33(2)

242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)

2n n n n

nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：

①当1n =时，猜想显然成立；

②假设当n k =时，(2)

2k k k k

kb b a b -=-，则

11

11

(1)(1)(2)(1)(2)

2(1)(2)2(2)2

k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++?+?-+-===+--+?--， 所以当1n k =+时，猜想成立，

由①②知，*n N ?∈，(2)2n n n n

nb b a b -=-．

（２）（ⅰ）当2b =时， 1

12212

n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；

（ⅱ）当2b ≠

时，22122n n n n b b ++≥=，

21211222n n n n b b b --+?+?≥=，

11111,222n n n n n n b b b +--++?+?≥=，以上n 个式子相加得

2212n n b b -+?+

111122n n n n b b +--++?+?+

2121222n n n n b n b -++?+≥?，

1221212112(2)[(222)2](2)

2(2)2(2)

n n n n n n n n n n n n

n n n

n b b b b b b b a b b +--++?-+?++?+-?-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)

2(2)

n n n n n n n n n

b b b b b b b --++?+

+?+--?-=

- 212111

1(2)222(2)

n n n n n n n n n

b b b b +++++--?+?=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n

b b b b +++++-?+?-=-1

112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

2012年广东高考理科卷

11.答案为21n - .

解析：在递增的等差数列{}n a 满足

2

1321,4

a a a ==-，则()2

1124a d a d +=+-

解得2d =，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-. 19.（1）在

11221

n n n S a ++=-+中

令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+

解得：2123

a a =+，

31613

a a =+

又()213

25a a a +=+，解得11

a =

（2）由

11221n n n S a ++=-+，

212221

n n n S a +++=-+得

1

2132n n n a a +++=+，又

121,5

a a ==也满足

1

2132a a =+

所以132n n n a a n N *

+=+∈对成立，∴

()

11+232n n n n a a ++=+

∴

23n n

n a +=，∴

32n n

n a =-

（3）（法一）∵

()()123211

323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+?+?++≥

∴ 1113n n a -≤∴，21123111311111113...1...1333213n n n a a a a -??

???- ? ? ?????+++≤++++=<-