中考数学专题复习八几何证明题
初三几何证明练习题和答案
初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。
本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。
证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。
由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。
所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。
2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。
证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。
代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。
开方可得AB = 13cm。
所以，AB = 13cm得证。
3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。
证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。
所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。
由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。
所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。
4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
经典初二数学几何证明题
A DB C E最新中考数学几何证明（平行四边形，菱形矩形正方形）经典 1．（本题10分）如图，已知： ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．2．在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．3.（本小题满分5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，BD=CE ，∠DBC=∠求证：AB=AC 。
4.（本小题满分7分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
是矩形。
5．(10分)在□ABCD 中，AC 是一条对角线，∠B ＝∠CAD ，延长BC 至点接DE ．(1)求证：四边形ABED 是等腰梯形．(2)若AB ＝AD ＝4，求梯形ABED 的面积． 6、（本小题7分）如图，点A 、E 、B 、D 在同一条直线上，AE=DB ，AC=DF ，AC ∥DF. 请探索BC 与EF 有怎样的位置关系？并说明理由。
7.如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．（1） 请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论．（2）连接BF 、CE ，若四边形BFCE 是菱形，则△ABC 添加一个条件 ▲8．（广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°10.如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数． 11．(本题6分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是： ▲ ；（2）证明：.12.（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）B A CBD FE(第11题)B CDE F A 关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ． 已知：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 13．(本题满分9分)将三角形纸片ABC (AB ＞AC )沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．14．如图10，已知ABC ADE Rt △≌Rt △，90ABC ADE ∠=∠=°，BC 与DE 相交于点F ，连接CD ，EB ．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举. （2）求证：.CF EF = 15．（本小题满分8分）如图，已知：点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB =CE ，AC=DF ．能否由上面的已知条件证明AB ∥ED ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件．．．．．．．，添加到已知条件中，使AB ∥ED 成立，并给出证明． 供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB =ED ； ②BC =EF ； ③∠ACB =∠DFE ． 16．(6分)已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、DA 上的点，且CE =DF ，AE 与BF 交于点M ． （1）求证：△ABF ≌△DAE ；（2）找出图中与△ABM 相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．17．(6分)如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ．(1)求证：EF ∥BC ；(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．18．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、DB 相交于点O ，现给出如下三个条件：AB CD(1)(2) ABDCCDBF AE图10 DE（第15题）A EB DA G EB CF D AB DC AC DB OBC OCB ==∠=∠①②③.（1）请你再增加一个．．条件：________，使得四边形ABCD 为矩形（不添加其它字母和辅助线，只填一个即可，不必证明）；（2）请你从①②③中选择两个条件________（用序号表示，只填一种情况），使得AOB DOC △≌△，并加以证明.19．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o ，AB ＝AD ＝6，DE ⊥CD交AB 于E ，DF 平分∠CDE 交BC 于F ，连接EF ． (1)证明：CF ＝EF ； (2)当tan ∠ADE ＝ 13时，求EF 的长．20．(10分)如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD的中点，AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ．(1)求证：△ADE ∽≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特 殊四边形？请说明你的理由． 21．（本题满分8分）如图，在ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且CF AE =．求证：FDE EBF =∠．22.（8分）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ， ∠DEC=90°。
初中经典几何证明练习题(含问题详解)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
中考数学题型八 几何图形探究题
例2 (2020·东营)如图①，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，
BE，BC的中点．
(1)观察猜想 图①中，线段NM，NP的数量关系是___N__M_＝__N__P____，∠MNP的大小为 ____6_0_°___；
2. (2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上， 抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝ ∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现： (1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结 论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？_是___．(填“是”或“否” )
又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6， 当DE＝2AE＝6时，题图①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE ＋AE＝15， ∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18； 题图②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝ BC－AE＝9－3＝6； 题图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6.
拓展创新：解：AD 的长为 5 .[解法提示]如解图②，过点 A 作 AB 的垂线， 过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交于点 M，连接 BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM ＝60°，∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴MBDD
＝DDCA ，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM
初中数学几何证明题经典例题(超全)
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9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
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10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
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11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
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20
• 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
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21
• 如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADE 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：AD=DE
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15
• 已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
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16
• 已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
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17
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
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18
• 已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
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19
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
初二数学几何证明题（5篇可选）
初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。
2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
3.。
如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。
4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。
5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。
1.求证四边形ABCD是菱形。
2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。
7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。
求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。
M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。
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专题八：几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型．热点探究类型一：关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2．1求证：BD=CE；2求证：∠M=∠N．分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可．解答1证明：在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE；2证明：∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得：△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N．点评本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．类型二：关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG．1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由；2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值．考点平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．分析1结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题．解答解：1四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=．MC=3;∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10．点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型．同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．类型三：关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证：1四边形EBFD是矩形；2DG=BE．考点正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案；2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG．解答证明：1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形；2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．类型四：关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F．1求证：△ACD∽△BFD；2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长．考点相似三角形的判定与性质．分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明．2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题．解答1证明：∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD．2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3．同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=．1试判断△ABC 的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线．1求证：△ADE ≌△CBF ；2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．参考答案类型一：关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．考点等腰三角形的性质．分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论．解答1①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC．在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC．∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．2证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°．∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM．在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN．∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM．点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是：1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；2找出线段AD、DE的长．本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．类型二：关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．考点正方形的性质．分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM．解答解：1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1；2CN=CM．证明：∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM．类型三：关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．思路分析：本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线；对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得；对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得．解题过程：1证明：连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线；2证明：∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD．∴BC2=2CD OE；3解：∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15．又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152．规律总结：熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键．要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可．类型四：关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可；2①BP＝5；②71解析1证明：∵∠ACP＝∠B;∠BAC＝∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC：AB＝AP：AC;∴AC2＝AP·AB；2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP＝x;则P Q＝2x∵∠PBM＝∠ACP;∠PAC＝∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2＝AP·AQ得：22＝3－x35即BP②如图：作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0＝CP 交AB 于点P 0;∵AC ＝2;∴AQ＝1;CQ ＝BQ; 设P0Q ＝PQ ＝1－x;BP －1＋x;∵∠BPM＝∠CP 0A ;∠BMP＝∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C ＝2012P C ==AP 0 BP ＝1＋x;解得x ∴BP ＝－11-．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．考点正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论；2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析．解答解：1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明：∵点E 是AD 的中点;∴AE ＝DE ．∵AF ∥BC;∴∠AFE ＝∠DCE;∠FAE ＝∠CDE ．∴△EAF ≌△EDC ．∴AF ＝DC ．∵AF ＝BD;∴BD ＝DC;即D 是BC 的中点．2四边形AFBD 是矩形．证明如下：∵AF ∥BD;AF ＝BD;∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC ．DC EF B A图6∴□AFBD是矩形．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=．1试判断△ABC的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值．思路分析：1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解．解题过程：解：1△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形；2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===．规律总结：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线．1求证：△ADE≌△CBF；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF；2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．解答：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下：解：由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形．点评：本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．解析：连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=．解答：证明：连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=．6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有分析： 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论；2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答： 1证明：∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP；2解：由勾股定理得;BP===4．∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=．由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．考点：切线的判定．分析： 1如图;连接OE．欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可；2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论；3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长．解答： 1证明：如图;连接OE．∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°．∵OC=OE;∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线；2证明：∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等．又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP；3解：设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=．点评：本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键．。