现代控制理论第五章答案-文档资料
现代控制理论第5章
第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1 概述本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。
我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章5.1节为概述。
5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。
5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。
5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。
5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。
5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。
5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。
5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。
如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。
然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。
本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。
当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。
此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。
5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (5.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量x 1,x 2,…,x n 和t 的n 维向量函数。
现代控制理论第五章-01
（Book 214 )
0
X AX Bu : Y CX
R
0
x
y
F
x
仅讨论标量系统∑0 ,它的经典频域描述是：
G0 s G s y( s) M 0 (s) i.e. m n u ( s ) D0 ( s)
k 0
假定原系统是状态完全能控的，即 X
u
R
框图结
构如右：
考虑实际 D=0
uf
B
x
x
C
y
A
F
or
x
R
uf
u
0
x
y
F
x
10
Thursday, August 17, 2017
Modern Control Theory
于是，可利用框图代数推出状态反馈系统的状态空 间模型：
有, X AX BR BFX Y CX
G F s C SI A BF B
1
2
当然，也可以求得 GF s 和 G0 s 的关系：
G F s G 0 s [I F SI A B] 即：
1 1
(3)
显然，这个关系同经典理论中的结果相类似。
Thursday, August 17, 2017 Modern Control Theory 12
我们可以推导出如下状态空间模型：
H
X A BHC X BR Y CX
(1)
和传递函数矩阵：
GH s
y ( s )R ( s ) C SI A BHC B
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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论李斌第五章课后习题
现代控制理论李斌第五章课后习题现代控制理论第五章部分习题参考答案5.1 设系统的状态⽅程为bu Ax x+= ，⽽ ?---=9432A ，??=13b 。
试确定状态反馈矩阵K ，使闭环系统的极点配置在21j ±-。
解根据题意，要求的特征多项式为52)21)(21()(2*++=++-+=λλλλλj j f设状态反馈阵[]21k k K =，则闭环系统的特征多项式为[]1212212122333()det ()det 49(113)(302414)k k f I A BK k k k k k k λλλλλλ+++??=--=?-+++=++++++⽐较)(*λf 与)(λf 各对应项的系数，可解得181011-=k ，6472=k ，所以??-=64718101K 。
5.2 已知系统的状态空间描述为cxy bu Ax x =+=⽽=0110A ，??=10b ，[]10=c 。
若采⽤状态反馈，试分析当反馈矩阵[]01-=K 时，闭环系统的能控性和能观测性。
解采⽤状态反馈后闭环系统的系统矩阵为=-=02101bK A A 能控性矩阵 []==01101b A b M c ，2=c rankM 。
能观测性矩阵==02101cA c M o ，2=o rankM 。
能控性矩阵和能观测性矩阵均满秩，故闭环系统完全能控且完全能观测。
5.3 设线性定常系统的状态空间描述为cxy bu Ax x =+=⽽ =200120001A ，=101b ，[]011=c 。
试设计⼀个状态观测器，要求将其极点配置在3-，4-，5-上。
画出状态变量图。
解根据题意，状态观测器要求的特征多项式为604712)5)(4)(3()(23*+++=+++=λλλλλλλf设误差反馈阵[]Tg g g G 321=，则观测器的特征多项式为[]--+-+-=--=21201det )(det )(332211λλλλλg g g g g g Gc A I f )424()834()5(3213212213--++++--+-++=g g g g g g g g λλλ⽐较)(*λf 与)(λf 各对应项的系数，可解得1031-=g ，1202=g ，2102=g ，所以[]TG 210120103-=。
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第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（2）A=解：第一种方法：令则，即。
求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
《现代控制理论》课后习题答案(完整版)
1-1
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令 ，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解：由图，令 ，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3
1-4 两输入 ， ，两输出 ， 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
当时，
解之得 令 得
当时，
解之得 令 得
当 时，
解之得令得
约旦标准型
1-10
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结
（2）并联联结
1-11
求系统的闭环传递函数解：
求系统的闭环传递函数解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 ，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6
解：
1-7
‘
（1）画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数解：
（2）
1-8
（3）（3）
解：A的特征方程
解得： 令得
（或-9
（2）
解：A的特征方程
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
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【习题5－2 】设系统状态方程为
0 1 0 0 x 0 1 1 x0u
0 1 10 10 试设计一状态反馈阵将其极点配置为 10,1j 3
【解】第一步：判断能控性
0 0 10
Mb AbA2b 0 1011 0Ra(M n) k3
10100 99 0
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
第二步：化为能控标准I型
系统的能控标准I型为：
0 1 0
A
0
0
1
6 5 2
0
b
0
1
c211
加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
K k1 k2 k3
f()3(a2k3)2(a 1k2)(a0k1) 3(2k3)2( 5k2)( 6k1)
期望的闭环特征多项式
f* () ( 2 )2 ( 3 )3 7 2 1 6 12
1
W(s)
s 1 1
s(s 1)
1
s
1
2
s
解耦，且解耦后系统的极点为 -1，-1，-2，-2
0
0
0
5
1
0 0 0 0 5
4 5 b0 7 0
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 子系统是渐近稳定的。
该状态空间表达式是约旦标准型，利用约旦标准型能控 性判据可知下列状态是不能控的：
x3 2x3
x5 5x5
因其特征值均为负值，所以是渐近稳定的。故系统通过 状态反馈能否镇定
【习题5－7】设计一个前馈补偿器，使系统
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
2 k3 7
5
k2
16
6
k1
12
所求的状态反馈矩阵为
k3 5
k
2
21
k 1 18
K k 1k 2k 3 1 2 8 5 1
闭环系统的模拟结构图如下：
反馈矩阵K输出矩阵C Nhomakorabea【习题5－5】试判断下列系统通过状态反馈能否镇定
闭环系统特征多项式：
f() I ( A b ) K 2 ( 3 k 2 ) 2 k 1 2 k 2
期望的闭环特征多项式
f* () ( 3 )( 3 ) 2 6 9
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
f() 2 ( 3 k 2 ) 2 k 1 2 k 2
1、状态观测器、全维观测器、降维观测器的基本概念; 2、观测器存在的条件； 3、全维观测器的设计。
§5—6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
主要知识点: 1、利用状态观测器实现状态反馈的系统结构； 2、主要特点（极点分离特性、等价性）； 3、利用状态观测器实现状态反馈的系统设计。 （观测器反馈矩阵设计+状态反馈矩阵设计）
第四步：求出期望的闭环特征多项式
f*()(1)0(1j 3)(1j 3) 31222440
第四步：比较 f ()和 f * ( ) 求出反馈矩阵
f() 3 ( 1 k 1 3 )2 ( 1 k 1 2 ) k 1
f*()312 224 40
11
k3
12
11 k 2 24
k1
40
k
3
1
k 2 13
k
1
40
K[40131]
第五步：反变换到原状态变量下
1 0 0 KKTc11 [40 13 1]0 1 0
0 1 1
40 12 1
【习题5－3】有系统
x 0 2 1 1 x 1 0 u y10x
（1）画出模拟结构图； （2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点； （3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。 【解】（1）系统模拟结构图如下
1 2 2 (1) A0 1 1
1 0 1
2 b0
1
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 子系统是渐近稳定的。
2 4 0
Mb AbA2b0 1 0
1 1 5
Ra(M n) k3
系统是能控且能观的，所以系统通过状态反馈能镇定
2 1 0 0 0
0
2
1
0
0
(2) A 0 0 2 0 0
f*()269
32kk12
6 2k2
9
k2 k1
3 2
反馈矩阵为 K k 1k 2 [ 3 2 ]
【习题5－4】有系统的传递函数为
(s1)(s2) (s1)(s2)(s3)
试问可否利用状态反馈将其传递函数变为
(s 1) (s 2)(s 3)
若有可能，试求状态反馈矩阵，并画出模拟结构图。
u
x2
x1 y
1
2
（2）判断状态反馈可否任意配置极点；
M bA b 1 0 1 1 Ra (M n )k 2
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。
设状态反馈矩阵为
Kk1 k2
加入状态反馈矩阵后的系统矩阵为
A b k 0 2 1 1 1 0 k 1 k2 k 1 2 1 1 k2
0
ATc11ATc1 0 0
1
0 11 11
b
T c11b
0
1
第三步：求出加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
K[k1 k2 k3]
0 AbK Tc11ATc1 0
(a0 k1)
1 0 (a1 k2)
0
1
(a2 k3)
0
1
0
0
0
1
(k1) (11k2) (11k3)
f() 3 ( 1 k 1 3 )2 ( 1 k 1 2 ) k 1
精品
现代控制理论第五章答案
§5—3 系统镇定问题 主要知识点:
1、系统能镇定的基本概念; 2、闭环控制系统能镇定的条件。
§5—4 系统解耦问题
主要知识点: 1、什么是解耦问题； 2、解耦的结构形式； 3、状态反馈解耦结构； 4、状态反馈能解耦的条件； 5、状态反馈解耦设计。
§5—5 状态观测器 主要知识点:
IA311211 a00a111a211
能控标准I型为：
1 0 0 10 0 01 0 0
Tc1 A2b Ab ba2 1 0110 10 011 1 0
a1 a2 1 990 1001011 11 1
10 0 0 0 10 0
0 10 10
1 0 0
Tc11 0
1
0
0 1 1
0 1 0
【解】因为系统的传递函数不存在零极点对消的情况，系统 能控且能观，状态反馈能实现极点的任意配置，可其传递函 数变为：
(s 1) (s 2)(s 3)
且相当于闭环极点配置为：-2，-2，-3
W (s)(s (1 s) s 1 () s 2 ( )s 2 ()3 )s3 s2 2s 2s 5 2 s6 a0 6 a1 5 a22 b0 2 b 11 b21 b30