衡阳市2015届高三五校联考五校联考理科数学答案

衡阳市2015届高三11月五校联考

（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）

理科数学参考答案

一、选择题(每小题5分，共50分) ：

1.复数

21

i

i =- （ A ） A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -- 2．已知,A B 是非空集合，命题甲：A

B B =，命题乙：A B ?≠，那么 （ B ）

A.甲是乙的充分不必要条件

B. 甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3、已知3cos(),(,2)5

x x πππ+=∈,则sin x =【 B 】

A ．35

-

B ． 45

-

C ．

35 D ． 45

4.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （C ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

5．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CB CA CM λ+-=2，则λ＝（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是（ B ）

7.在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ A ） A ．

3

400

m B ．

3

3

200m C ．

3

3

400m D ．

3

200

m 8．已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且5()(5),()'()02

f x f x x f x =--<

若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是 （ D ）

A ．12()()f x f x <

B ．12()()0f x f x +>

C ．12()()0f x f x +<

D ． 12()()f x f x >

9、设2(),0,()1

,0x a x f x x a x x -≤??

=?++>??

,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为【 D 】 A. [-1,2]

B. [-1,0]

C. [1,2]

D. [0,2]

10．在△ABC 中，已知9,

sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=，P 为线段AB 上的

点，且,||||

CA CB

CP x y xy CA CB =?+?则的最大值为 （ A ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二．填空题 (每小题5分，共25分) ：

11、

1

()x

e x dx +? 等于 ．12

e - 12．函数3

()12f x x x =-在区间[33]-，

上的最小值是 ．16- 13.数列{}n a 中，已知12121,2,()n n n a a a a a n N *++===+∈，则7a =________.1

14．方程x a x

+=-2)2(log 2

1有解，则a 的最小值为_________1

15下列命题中，真命题有___(1)(2)(4)____(写出所有真命题的序号) ⑴在ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ⑵点(

,0)8π

为函数()tan(2)4

f x x π

=+的一个对称中心；

⑶若||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1； ⑷有零点函数a x x x f a -+=>?ln ln )(,02

.

三．解答题：共6个大题，共75分。请在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，只

写答案而无步骤不给分。

16、（本题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2

x x f x x x x x ?

?--<-?

?

=+-≤≤??

?

+>??（x ∈R ），

（1）求函数()f x 的最小值；

（2）已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立；

q ：函数2(1)x y m =-是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的

取值范围．

解：（1）min 1(2)1()3(2)()=f(-2)=12151()2

x x f x x x f x x x ?

?--<-?

?

=+-≤≤??

?

+>??作出图像，可知 （4分）

（2

）

22

:+2-21-31:-1>1p m m m q m m m ?≤?≤≤??（8分）

∵0-3m 11p q p q p q m m ≤≤??∴≤?

≤??1

或为真，且为假若真假时，则解得（10分）

>1<-3

2<-3m m p q m m m m ?????或若假真时，则解得或

故实数m

的取值范围是(-,-3))∞??∞ （12分）

17 （本题满分12分）

设ABC ?的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1

cos 2

a C c

b -

=. (1)求角A 的大小; (2)若1a =,求ABC ?的周长的取值范围. 17. 解(1)由1cos 2a C c b -

=得1

sin cos sin sin 2

A C C

B -= 又sin sin()sin cos cos sin B A

C A C A C =+=+

11

sin cos sin ,sin 0,cos 22

C A C C A ∴=-≠∴=- 又0A π<<23

A π

∴= ……….6分

(2)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==

,C c sin 3

2

=

)())1sin sin 1sin sin l a b c B C B A B =++=+

+=+++

11(sin )1)23B B B π

=+

=++

22,(0,),(,)

33333

A B B πππππ

=

∴∈∴+∈

, sin()3B π∴+∈

故ABC ?的周长的取值范围为1]+ ……….12分

18．（本小题满分12分）

已知数列).2(353,2,}

{111≥+-==--n S a a S a S n a n n n n n n 且有项和为的前

Ⅰ）求数列n a 的通项公式；

Ⅱ）若,)12(n n a n b -=求数列}{n b 的前n 项和.n T 解：（Ⅰ）)2(5331

1≥-=---n a a S S n n n n ……………………2分

2

1

,

211==∴--n n n n a a a a …………………………………………………………3分 又21=a ，

.2

1

2}{的等比数列为首项公比为

是以n a ∴………………………………4分 n n n n a ---==?=∴2212)2

1

()21(2……………………5分

（Ⅱ）n n n b --=22)12(

n n n T --?-+?+?+?=21012)12(252321 …………………………7分

n n n n n T ---?-+?-++?+?=12102)12(2)32(23212

1

……………8分 n n n n T ---?--++++=∴12102)12()222(222

1

……………………9分 n

n n --------+=11

112)12(21])2(1[22

n n -?+-=12)32(6………………………………………………11分 n n n T -?+-=∴22)32(12……………………………………12分

19、（本小题满分13分）直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===14AA =,

点D 在AB 上.

(Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ; (Ⅱ)当

1

3

BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值. 解：(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE , 因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以 E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,

于是1//DE AC ,且D E ?面1B CD , AC 1?平面B 1CD 所以1//AC 平面1B CD ; （6分）

(Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间

直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B 又

13

BD AB =,由平面几何易知4

(2,,0)3D ,

显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n , 又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由

212(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ?⊥=?

?⊥=??

n n ,得340,

4203x x y +=???+=??, 解得4

,23x y =-=,取1z =,则24(,2,1)3

=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ, 则1212|||cos |||||θ?=

==

?n n n n 又由图知 为锐角, （13分）

A

C D

B

C 1 A 1

B

1

E

A

C D

B C 1

A 1

B

1

20．（本小题13分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：

[)[]3

21640,10,3025

401600,30,50x x y x x x ?+∈?=??-+∈?

，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当[]30,50x ∈时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ (Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 19．解析：(Ⅰ)当[]30,50x ∈时，设该工厂获利为S ，则

()()2

22040160030700S x x x x =--+=---，所以当[]30,50x ∈时，0S <，因此，

该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损； ………5分 (Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

()[)[]2164

,10,3025,1600

40,30,50x x y x

P x x x x x ?+∈??==??+-∈??

………………6分

（1）当[)10,30x ∈时，()216425P x x x =+，所以()()

3

'

22

280002642525x P x x x x -=-=

，因为[)10,30x ∈，所以当[)10,20x ∈时，()'

0P x <，()P x 为减函数；当[)20,30x ∈时，

()'0P x >，()P x 为增函数，所以当20x =时，()P x 取得极小值

()220640

20482520

P =+=。………………9分

（2）当[)30,50x ∈时，(

)160000

404040P x x x =+

-≥=，当且仅当

1600

x x

=

，即[]4030,50x =∈时，()P x 取最小值()4040P =，………………12分 因为4840>，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少。………………13分

21．（本小题满分13分）

设函数)1ln()(2++=x a x x f 有两个极值点21,x x ,且21x x <. （1）求实数a 的取值范围； （2）讨论函数)(x f 的单调性；

（3）若对任意的),(1+∞∈x x ,都有m x f >)(成立,求实数m 的取值范围.

21. 解:(1)由)1ln()(2

++=x a x x f 可得1

2212)('2+++=++=x a x x x a x x f )1(->x .

令a x x x g ++=22)(2

)1(->x ,则其对称轴为2

1

-

=x ,故由题意可知21,x x 是方程0)(=x g 的两个均大于1-的不相等的实数根,其充要条件为??

?>=->-=?0

)1(084a g a , 解得2

1

0<

))((2122)('212+--=+++=x x x x x x a x x x f ,其中2

11x x <<-,故 ①当),1(1x x -∈时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),1(1x -上单调递增； ②当),(21x x x ∈时,0)('

③当),(2+∞∈x x 时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),(2+∞x 上单调递增.………8分 (3)由(2)可知)(x f 在区间),(1+∞x 上的最小值为)(2x f . 又由于0)0(>=a g ,因此02

12<<-

x .又由022)(22

2

2=++=a x x x g 可得)22(22

2x x a +-=,从而)1ln()22()1ln()(222

22

222

22++-=++=x x x x x a x x f . 设)1ln()22()(2

2

++-=x x x x x h ,其中02

1

<<-

x , 则)1ln()12(22)1ln()12(22)('++-=-++-=x x x x x x x h . 由021<<-x 知:012>+x ,0)1ln(<+x ,故0)('>x h ,故)(x h 在)0,2

1

(-上单调递增.

所以,42

ln 21)2

1

()()(22-=->=h x h x f . 所以,实数m 的取值范围为4

2

ln 21-≤m .……………………………13分